Лінійна алгебра. Матриці та вектори.
Означення. Матрицею розміром n×m називається прямокутна таблиця чисел
EMBED Equation.3
Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для всіх значень i та j).
Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де
cij=aij+bij (i=1,…,m; j=1,…,n). (1.1)
Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=k?A вигляду B=k?A=(k?aij).
Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).
Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо
EMBED Equation.3 ,
тобто ця матриця має вигляд
EMBED Equation.3 .
Означення. Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями: EMBED Equation.3 .
Означення. Добутком матриці EMBED Equation.3 на матрицю EMBED Equation.3 називається матриця EMBED Equation.3, елементи якої обчислюються за формулою
EMBED Equation.3 (1.2)
Приклади.
1. Нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3.
Тоді EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3.
2. Нехай, крім того,
EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3.
Тоді EMBED Equation.3,
D?C - не має сенсу,
EMBED Equation.3
Зазначимо, що в останньому прикладі А?В ? В?А .
Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:
Е?А = А?Е = А (властивість множення на одиничну матрицю);
О?А = А?О = О (властивість множення на нульову матрицю);
k?O = O?k = O A+O = O+A =A;
?(?A) = (??)A; (A?)? = A(??);
A+B = B+A (комутативна властивість додавання);
A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);
(?+?)A = ?A+?A;
?(AB) =(?A)B;
(A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB.
Означення.  Матрицею  AT,  транспонованою до матриці EMBED Equation.3, називається матриця EMBED Equation.3 .
Виконуються такі властивості:
(AB)T = BTAT;
(?A+?B)T = ?AT+?BT;
(AT)T = A.
Частковим випадком матриці є вектор (упорядкована послідовність чисел). Розрізняють вектор-рядок (матрицю-рядок) EMBED Equation.3 та вектор- стовпець (матрицю-стовпець) EMBED Equation.3.
Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення матриць:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3.
Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1, d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:
Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із виробів W1 та W2.
На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей облислюється як добуток матриць
EMBED Equation.3 .
Отриманий результат такий:
Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.
Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:
Таблиця A
Таблиця B
Таблиця C
Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих місцях щодо кожного замовлення:
Справді, EMBED Equation.3 .
Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:
Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:
EMBED Equation.3.
Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на рисунку 1.1 :
Виріб
4 3 10 15
Комплектуюча Комплектуюча Деталь Деталь
K1 K2 D1 D2
2 3 4 5
D1 D2 D1 D2
Рис. 1.1.
Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.
Побудуємо відповідні матриці.
Матриця входжень деталей у комплектуючих: EMBED Equation.3. Тут рядки відповідають деталям, а стовпці комплектуючим.
Безпосереднє входження деталей у виробі – це вектор EMBED Equation.3, а входження комплектуючих у виробі – вектор EMBED Equation.3 .
Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою
EMBED Equation.3 .
Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі D2 .
Означення. Нехай A=(aij)i=1,…,n;j=1,…,n  квадратна матриця. Оберненою до неї матрицею A-1 називається матриця, для якої має місце
A?A-1=A-1?A=E .
Якщо обернена до A матриця існує, то (A-1)-1=A.
Приклад.
Нехай EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 .
Справді,
EMBED Equation.3,
EMBED Equation.3.
За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, оскільки запис
EMBED Equation.3є рівнозначний до запису
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3EMBED Equation.3
Розв’язок EMBED Equation.3 системи EMBED Equation.3 знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену матрицю A-1 :
EMBED Equation.3,
EMBED Equation.3, (1.3)
EMBED Equation.3 .
Відшукання оберненої матриці досить складна математична задача. Проте дії над матрицями реалізовані у багатьох комп’ютерних системах. Зокрема, в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою так званої функції масиву MINVERSE, а множення матриць –за допомогою функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш – Shift, Ctrl та Enter).