Кореляційний і регресивний методи аналізу зв’язку.
Основне завдання кореляційного і регресійного методів полягає в аналізі статистичних даних для виявлення метематичної залежності між досліджуваними ознаками і встановлення за допомогою коефіцієнта кореляції порівняльної оцінки щільності взаємозв’язку.
Після того, як через економічний аналіз встановлено, що зв’язок між явищами є, і визначено загальний характер цього зв’язку, статистика за допомогою кореляційного і регресійного методів надає цим зв’язкам числового виразу.
Кореляційний і регресій ний методи аналізу вирішують два основні завдання :
визначають за допомогою рівнянь регресії аналітичного форму зв’язку між
варіацією ознак X i Y,
встановлюють ступінь щільності зв’язку між ознаками.
Найчастіше трапляються такі типи кореляційних зв’язків:
факторна ознака безпосередньо пов’язана з результативною,
результативна ознака визначається комплексом діючих факторів,
дві результативні ознаки спричинені дією однієї загальної причини.
У практиці економіко- статистичних досліджень часто доводиться мати справу з прямолінійною формою зв’язку описує рівняння регресії ( рис.1 ) .
На цьому графіку середній арифметичній результативної ознаки Y відповідає пряма, паралельна осі абцис, лінійне кореляційне рівняння Y(X) зображує похила пряма, а кут нахилу між ними характеризує щільність зв’язку.
Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки Y залежно від зміни факторної ознаки X. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки.
У разі лінійної форми зв’яку результативна ознака змінються під впливом факторної ознаки рівномірно:
Yx = a0 +a1 X,
Де, Yx - згладжене середнє значення результативної ознаки , X - факторна ознака,
a0 і a1 - параметри рівняння , a0 – значення Y при X = 0, a1 – коефіцієнт регресії.
Коефіцієнт регресії a1, вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака Y внаслідок зміни факторної ознаки X на одиницю.
Якщо a1 має позитивний знак, то зв’язок прямий, якщо від’ємний - зв’язок обернений.
Y X
Y(X)
Y
0
X
Рис. 1. Теоретична лінія регресії .
Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і розв’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими:
? Y= na0 +a1 ? X ,
? YX= a0 ? X + a1 ? X 2,
де n - число членів у кожному з двох порівнюваних рядів,
? X - сума значень факторної ознаки , ? X 2 - сума квадратів значень факторної ознаки , ? Y - сума значень результативної ознаки, ? YX - cума добутків значень факторної та результативної ознак.
Розв’язавши дану систему рівнянь, дістанемо такі параметри:
? X 2 ? Y - ? X ? XY n ? XY - ? X? Y
a0 = , a1 =
n? X 2 - ? X ? X n ? X 2 - ? X ? X
Обчисливши за фактичними даними всі записані вище суми й підставивши їх у наведені формули, знайдемо параметри прямої.
Розглянемо розрахунок параметрів лінійного рівняння зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції за даними десяти однорідних підприємств. (табл.1.)
Табл. 1
Розрахунки для визначення параметрів лінійного рівняння зв’язку факторної та результативної ознак.
10 · 539.1 – 108 · 47.2 5391.0 – 5097.6 293.4
a1 = = = = 0.421
696.0 696.0 696.0
Тоді лінійне рівняння регресії зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції матиме такий вигляд :
Yx = 0.167 + 0.421X.
Отже, при збільшенні вартості основних виробничих фондів на 1 млн грн. Випуск продукції зросте на 0,42 млн грн.
Послідовно підставляючи в дане рівняння значення факторної ознаки X , дістанемо згладжені значення результативної ознаки Yx, які й укажуть на те, яким має бути середній розмір випущеної продукції для даного розміру основних виробничих фондів ( за інших рівних умов ).
Згладжені ( теоретичні ) значення ( із заокругленням до десятих ) наведено в останній графі табл. 1. Якщо параметри рівняння визначено правильно,то
? Y = ? Yх = 47,2.
Побудуємо графік, який покаже згладжування емпіричних даних рівняння прямої ( рис.1.).
7
6
5
4
3
2
1 X 1 2 3 Y
5 7 9 11 13 15 17
Рис. 2. Емпіричний і згладжені рівні ряду : 1 - Y, 2 - Yx =0.167+ 0.421 X, 3- Y = 4.72
Для економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв’язків між двома досліджуваними явищами часто використовують розраховані за рівняннями регресії коефіцієнти еластичності.
Коефіцієнт еластичності показує,на скільки процентів зміниться в середньому результативна ознака Y при змінені факторної ознаки X на 1 %.
Відповідно до лінійної залежності коефіцієнт еластичності визначається за формулою
X X
? = a1 або ? = a1 ,
Yx Y
де ?, коефіцієнт еластичності.
Підставивши в формулу різні значення X, дістанемо різні ?.
У наведеному прикладі коефіцієнт еластичності на першому підприємстві при X= 12:
X 12
?1 = a1 = 0.421· = 0.97. Отже, 1% приросту вартості основних виробничих
YX 5.2
9
фондів випуск продукції зростає на 0,97%. На п’ятому підприємстві при X=9: ?5 =0.421· = 0.95,
4
На десятому при X = 10: ?10 =0.96%.
Для всіх підприємств разом коефіцієнт еластичності
X 10.8
?= a1 = 0.421 · = 0.963 % .
Y 4.72
Це означає, що при збільшенні середньої вартості основних виробничих фондів на 1 % випуск продукції зростає в середньому на 0,963 %.
Якщо залежність між ознаками представити за даними,згладженими параболою другого порядку, то коефіцієнт еластичності має такий вигляд:
X
?= (a1 + a2 X ) .
Y
Визначення щільності зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі ґрунтується на правилі додавання дисперсій, як і в методі аналітичного групування. Але на відміну від нього, де для оцінки лінії регресії застосовують групові середні результативної ознаки, в кореляційно-регресійному аналізі для цієї мети використовують теоретичні значення результативної ознаки.
Зобразити і обґрунтувати кореляційно-регресійний аналіз можна на прикладі графіка на рис. 1. На ньому є три лінії Y – ламана лінія фактичних даних(1),YX - пряма похила лінія 2 теоретичних значень Y при абстрагуванні від впливу всіх факторів, крім фактора X(змінна середня) ,Y – пряма горизонтальна лінія 3, із середнього значення якої виключено вплив на Y всіх без винятку факторів ( стала середня ).
Розбіг лінії змінної середньої Yх з лінією сталої середньої Y пояснюється впливом факторної ознаки Х, що,в свою чергу , свідчить про існування між ознаками Y і X наповного не функціонального зв’язку. Для визначення щільності цього зв’язку потрібно обчислити дисперсію відхилень Y і Yх , тобто залишкову дисперсію, яка зумовлена впливом усіх факторів, крім Х. Різниця між загальною і залишковою дисперсіями дає теоретичну
( факторну ) дисперсію , яка вимірює варіацію,зумовлену фактором Х . На зіставленні цієї різниці із загальною дисперсією побудовано індекс кореляції, або теоретичне кореляційне відношення:
?2 заг - ?2 е ?2 е ?2 у
R = ? = ? 1 - , або R = ?
?2 заг ? заг ?2 заг
де ?2 заг - загальна дисперсія, ?2 е - залишкова дисперсія, ?2 у - факторна ( теоретична ) дисперсія.
Факторну дисперсію обчислюють з теоретичних значень за формулою :
? ( Yx - Y ) 2
?2Y =
n
або за формулою без теоретичних значень:
( a 0 ? Y + a 1 ? XY ) – (Y) 2
?2Y = .
n
? ( Y – Y x )
Залишку дисперсію визначають або за формулою ?2 е =
n
або за правилом додавання дисперсій ?2 е = ?2 заг - ?2 Y .
У наведеному прикладі ( за даними розрахунків у табл..1 ) факторна дисперсія
( 0.167 · 47.2 + 0.421 · 539.1 ) - 4.72 2
?2 Y = = 1.206.
10
Загальну дисперсію обчислимо за формулою
?2 заг = Y2 - ( Y )2 = 23.974 – 22.278 = 1.696.
Залишкову дисперсію визначаємо як різницю між загальною і факторною дисперсіями :
?2 е = ?2 заг - ?2Y = 1.696 –1.206 = 0.409
Отже, знаходимо індекс кореляції за наведеними вище формулами :
?2 заг - ?2 е 1.696 - 0.490
R = ? = ? = 0.843.
?2 заг 1.696
або ?2 е 0.490
R = ? 1 - = ? 1 - = 0.843
?2 заг 1.696
?2 Y 1.206
або R = ? = ? = ? 0.711 = 0.843
?2 заг 1.696
Індекс кореляції вказує на щільну залежність випуску продукції від вартості основних виробничих фондів.
Коефіцієнт детермінації ( R 2 ) характеризує ту частину варіації результативної ознаки Y, яка відповідає лінійному рівнянню регресії :
?2Y 1.206
R2 = = = 0.711
?2 заг 1.696
Отже, в обстеженій сукупності заводів 71.1% варіації випуску продукції пояснюється різними рівнями оснащеності заводів основними виробничими фондами.
Індекс кореляції набирає значень від 0 до 1. Коли R=0, то зв’язку між варіацією ознак Y i X немає. Залишкова дисперсія дорівнює загальній, ?2 е = ?2 заг , а теоретична дисперсія дорівнює нулю, ?2 заг= 0, Всі теоретичні значення YX збігаються із середніми значеннями Y, лінія YX на графіку збігається з лінією Y, тобто набуває горизонтального положення .
При R=1 теоретична дисперсія дорівнює загальний, ?2 Y = ?2 заг , а залишкова ?2 е = 0.
Фактичні значення Y збігається з теоретичними YX , зв’язок між досліджуваними ознаками лінійно-функціональний.
Індекс кореляції оцінює щільність зв’язку. Він, як і емпіричне кореляційне відношення, вимірує лише щільність зв’язку і не вказує на її напрямок.
Аби доповнити дослідження визначенням напрямку зв’язку в разі лінійної залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції.
XY – X Y
r = .
? x ? у
Значення r коливається в межах від – 1 до +1. Додатне значення відповідає прямову зв’язку між ознаками, а від’ємне – зворотному. Оцінюють щільність зв’язку за схемою ( табл. 1 )
Таблиця 2
Всі дані для обчислення лінійного коефіцієнта кореляції в наведеному прикладі є в табл.1.
? x= ? Х2 - (Х)2 = ? 123.6 – 10.82 = ?6.96 = 2.638
? y= ? Y2 - (Y)2 = ? 23.974 – 4.722 = 1.302
XY – X Y 53.91 – 10.8 · 4.72 2.9340
r = = = = 0.854
? x ? у 2.638 · 1.302 3.4349
Скористаємося для знаходження лінійного коефіцієнта кореляції іншою формулою:
? x 2.638
r = а1 = 0.421 · = 0.853,
? у 1.302
тобто відповідь вийшла ідентичною. Це означає,що зв’язок між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції сильний ( щільний ) і прямий.
Абсолютне значення лінійного коефіцієнта кореляції збігається з індексом кореляції ( відхилення становить 0.01 ).
З наведених формул коефіцієнта кореляції можна визначити коефіцієнт регресії, не розраховуючи рівняння зв’язку:
XY – X Y 2.934
a1 = = = 0.421
?2x 6.960
або ? y 1.302
а1 = r = 0.853 · = 0.421.
?x 2.638
Перевірку сили зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв і процедур, що й у аналітичному групуванні. Ступені вільності залежать від числа параметрів рівняння регресії k1 = m –1 і кількості одиниць досліджуваної сукупності
k2 = n – m.
Істотність зв’язку коефіцієнта детермінації R2 перевіряють за допомогою таблиці критерію F для 5 % - го рівня значущості. Так, при k1 = m –1= 2 – 1 = 1 ( для лінійної моделі) і k2 = n – m = 10 – 2 = 8.
Фактичне значення F-критерію у наведеному вище прикладі визначають за формулою
R2 k2 0.711 8
F ф = = · = 19.68.
1 - R2 k1 1 – 0.711 1
Критичне значення Fт ( 0.95 ) = 5.32 набагато менше від фактичного Fт ( 0.95 ) ? Fф ( 5.32 ?19.68) , що підтверджує істотність кореляційного зв’язку між досліджуваними ознаками.
Для встановлення достовірності обчисленого нами лінійного коефіцієнта кореляції використовують критерій Стьюдента ( t – критерій ):
r
tr = ,
?r
де ?r - середня похибка коефіцієнта кореляції,яку визначають за формулою :
1 – r2
?r =
n – 1
При достатньо великому числі спостережень ( n > 50) коефіцієнт кореляції можна вважати достовірним, якщо він перевищує свою похибку в три і більше разів, а якщо він менший ніж три, то зв’язок між досліджуваними ознаками X i Y не доведено.
У наведеному прикладі середня похибка коефіцієнта кореляції
Відношення коефіцієнта кореляції до його середньої похибки
0.853
tr = = 9.27
0.092
Це дає підставу вважати, що обчислений лінійний коефіцієнт кореляції достатньо точно характеризує щільність зв’язку між досліджуваними ознаками.
