Класичне означення ймовірності
Частота випадкової події. Нехай ? ? простір елементарних подій. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Повторимо експеримент n раз. Позначимо через Kn(А) - число експериментів, в яких відбулася подія А . Частотою подій А називається відношення
EMBED Equation.2 .
Частота може бути обчислена лише після того, як проведена серія експериментів, і, взагалі кажучи, частота змінюється, при переході від однієї до інщої серії з n експериментів, або з зміною n. Але, як показує досвід, при достатньо великих n для більшості таких серій експериментів частота зберігає майже постійну величину, причому великі відхилення спостерігаються тим рідше, чим більше n.
Якщо при великих n частота EMBED Equation.2 події А мало відрізняється від деякого фіксованого значення р, то говорять, що подія А стохастично стійка, а число р є ймовірностю події А. Тобто, ймовірність події А є число близьке до частоти появи події А в довгій серії тотожніх експериментів.
Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій. Простір елементарних подій називається дискретним, якщо множина ? скінченна або зліченна.
Нехай простір ? ={ ?1, ?2 , … , ?n, …}елементарних подій дискретний. Припустимо, що кожній елементарній події ?к можна поставити у відповідність невід’ємне число рк (ймовірність ? к ), причому EMBED Equation.2 . Якщо А?випадкова подія ( А ? ? ), то EMBED Equation.2 , де р(А) ? називається ймовірністю події А.
Мають місце властивості:
P(A)?0,
P (А EMBED Equation.2 В)=P(A)+ P(B), якщо А та В несумісні.
Р(? )=1.
Приклад 1 . Нехай підкидають симетричний шестиграний кубик. Тоді в якості ? природньо розглянути множину ? =?1,2,3,4,5,6?. Якщо кубик симетричний, то кожна елементарна подія ?і=і є рівноможливою, тому припишемо їй ймовірність 1/6. Тим самим буде побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні шестигранного симетричного грального кубика. Якщо А?випадкова подія, яка полягає в тому, що число очок, яке з’явиться, кратне 3, тобто А={3,6}, то Р(А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
Приклад 2. Нехай симетричну монету підкидають до того часу, поки вперше не з’явиться герб. Тоді ? ={W1,W2 , … , Wn , … W?}, де Wn = Р … РГ означає, що герб вперше з’явиться при n-тому підкиданні монети, а W? ? елементарна подія, яка означає що герб ніколи не з’явиться. Припишемо Wn ймовірність ½n , а W? ? ймовірність 0. Тоді EMBED Equation.2 . Таким чином, побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні монети до першої появи герба. Підрахуємо тепер ймовірність події А , яка полягає в тому, що буде проведено не більше трьох підкидань монети (А={Г, РГ, РРГ}). Маємо EMBED Equation.2 .
Класична схема. Нехай простір ? складається з n елементарних рівноможливих подій, тобто EMBED Equation.2 для довільного ??? . До складу А входить m з цих подій. В цьому випадку ймовірність події А визначається формулою EMBED Equation.2 .
Це так зване класичне означення ймовірності.
При розрахунках ймовірностей в класичній схемі мають справу з елементами комбінаторики.
Основний принцип комбінаторики (правило множення).
Нехай треба послідовно виконати к дій. Якщо першу дію можна виконати n1 ? способами, після чого другу ? n2 ? способами, потім третю ? n3 ? способами і т.д. до к-ї дії, яку можна виконати nк ? способами, то всі к-дій можуть бути виконані
n1 ? n2 ? n3? …? nк
способами.
Комбінації (сполуки) з n елементів по к. Нехай є множина А, що містить n елементів. Тоді число підмножин множини А, що містить к елементів, дорівнює
EMBED Equation.2 .
Комбінаціями з n елементів {а1, а2,…, аk} по к називають к-елементні підмножини множини А ={а1, а2,…, ап}.
Упорядковані множини. Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлене у відповідність певне число (номер елементу) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа. Упорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або їх порядком.
Перестановки даної множини. Різні впорядковані множини, які відрізняються порядком елементів (тобто можуть бути утворені з тієї ж самої множини), називаються перестановками цієї множини. Число перестановок множини з n елементів дорівнює Рn=n!
Розміщення з n по к. Упорядковані к-елементні підмножини множини, що містять n елементів, називаються розміщеннями з n по к. Число розміщень зn по к дорівнює
EMBED Equation.2 .
Задача 1. Товариство з n чоловік сідає за круглий стіл. Знайти ймовірність того, що певні дві особи займуть місця поряд? Відповідь.р= EMBED Equation.3 .
Задача 2 . З послідовності чисел 1,2,…., n відмічено число k . Знайти ймовірність того, що серед двох чисел вибраних навмання з цієї послідовності, одне буде меньше k, а друге більше k.
Задача 3 .Замок містить на загальній осі 4 диски, кожний з яких розділений на 5 секторів, які відмічені певними літерами. Замок відкривається тільки в тому випадку, коли літери утворюють певну комбінацію. Яка ймовірність відкрити замок, якщо установити довільну комбінацію літер? Відповідь р= EMBED Equation.2 .
Задача 4. Підкидають 4 гральних кубика. Знайти ймовірність того, що на всіх кубиках випаде одинакове число очок. Відповідь р= EMBED Equation.3 .
Задача 5. Кожна з букв А, У, К, С, З записані на одній із 5-ти карток. Картки розкладаються в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що при цьому утворюється слово КАЗУС .Відповідь р=1/120.
Задача 6. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри і, пам’ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри. Відповідь р=1/720.
Задача 7. У ліфті 7 пасажирів; ліфт зупиняється на 10-ти поверхах. Яка ймовірність того, що жодного разу два пасажири не вийдуть на одному поверсі? Відповідь.р= EMBED Equation.3 .
Задача 8. Обчислити ймовірності того, що дні народження 12 осіб припадатемуть на різні місяці року. Відповідь р= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0,0005.
Задача 9. В групі r студентів. Яка ймовірність того, що принаймі у двох із них збігаються дні народження? Відповідь. 1- EMBED Equation.3 .
Задача 10.В урні а білих та в чорних куль. З урни виймаються дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими
Розв’язання . Позначимо через А подію, яка полягає в появі двох білих куль. Число елементів ? -простору елементарних подій дорівнює EMBED Equation.2 . Число елементів ? , які сприяють появі події А дорівнює EMBED Equation.2 . Таким чином, згідно класичній схемі EMBED Equation.2 .
Задача 11. Із колоди в 32 карти навмання вибирається 4. Знайти ймовірність того, що серед них буде хоча б один туз.
Розв’язування.
EMBED Equation.2
Задача 12. Із урни, яка містить кулі з номерами 1, 2, …, N, k раз виймається куля і кожен раз повертається назад. Знайти ймовірність того, що номери витягнутих куль утворюють зростаючу послідовність.
Задача 13. Розв’язати попередню задачу при умові, що витягнуті кулі до урни не повертаються. Відповідь р= EMBED Equation.3 .
Задача 14. Товариство складається з 5 чоловіків та 10 жінок. Знайти ймовірність того, що при випадковому групуванні їх на 5 груп по 3 особи в кожній групі серед трьох осіб буде 1 чоловік. Відповідь р= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Задача 15.Повна колода карт (52 карти) ділиться пополам. Знайти ймовірність того, що число чорних карт в обох пачках буде однаковим (13). Відповідь р ? 0,22.
Задача 16. Літак –бомбардирувальник для виконання бойового завдання повинен пройти через зону зенітної оборони противника, в якій по ньому, незалежно один від одного, ведуть вогонь чотири зенітні гармати. Кожна гармата проводить 10 пострілів, ймовірність попадання в літак при кожному із яких дорівнює 0,02. Для того щоб збити літак достатньо одного попадання. В випадку якщо літак не буде збитий вогнем зенітної артилерії, він виходить на ціль і скидає бомби. Ймовірність виконання бойового завдання прои цьому дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що бомбардирувальник виконає завдання , незважаючи на протидію зенітної артилерії. ( Вказівка. Розглянути випадкову подію А={непопадання при всіх 40 пострілах}.Відповідь р=0, 268.
Задача 17. Проводиться стрільба по деякій цілі, ймовірність попадання в яку при одному пострілі дорівнює 0,2. Стрільба припиняється при першому попаданні. Знайти ймовірністьтого, що буде проведено рівно 6 пострілів Відповідь р=0,066.
Задача 18. Послідовність чисел 1,2,…,N розбивається навмання на дві рівні групи. Знайти ймовірність того, що а) в кожній групі буде порівно парних та непарних чисел; б) всі числа , кратні N, виявляться в першій групі; в) числа кратні N, поділяться порівну між групами.Відповідь до пункту в), р= EMBED Equation.3 .
Задача 19. З урни, яка містить n білих та m чорних куль, взяли навмання к куль. Яка ймовірність ймовірність того, що серед винятих куль буде r білих куль(r ? n ) ?
Задача 20. Вкладники банку за сумами вкладів та віком мають такий процентний розподіл:
Сума вкладу
Вік EMBED Equation.3 $1000 EMBED Equation.3 $1000-5000 EMBED Equation.3 $ 5000
Нехай А та В – такі події:
А={ у навмання вибраного клієнта вклад більший $ 5000}.
B={ вік навмання вибраного клієнта більший 30 років}.
Визначити: Р(А), Р (В), Р(А?В).