Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола).
План
Канонічні рівняння кривих другого порядку
Еліпс.
Гіпербола.
Парабола.
Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярних координатах.
1. Криві другого порядку на площині
Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням.
Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET , (3.36)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET - деякі коефіцієнти.
Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його частинний випадок – коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита “на кінчику олівця”.
З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі (рис.3.16).
Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.
3.6.1. Еліпс
Нехай у рівнянні (3.40) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнюють нулю, коефіцієнти INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET мають однаковий знак, протилежний знаку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді рівняння кривої матиме вигляд INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET ,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET .
Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET , то можна покласти INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді рівняння набере вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET . (3.37)
Крива, що описується цим рівнянням, називається еліпсом. При заміні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET рівняння не змінюється, тому крива (3.37) є центрально-симетричною фігурою, тобто її центром є початок координат INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET .
При INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET матимемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET , а при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET . Виразимо з (3.37)
Виразимо з (3.37) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді для першої чверті матимемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET . (3.38)
Очевидно, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET .
Це означає, враховуючи центральну симетричність кривої (3.37), що еліпс розміщений між двома прямими INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET . Аналогічно можна показати, що еліпс (3.37) розміщений і між прямими INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника, визначеного вказаними чотирма прямими. З центральної симетричності еліпса і попередніх міркувань випливає, що еліпс дотикається до сторін вказаного прямокутника в точках з координатами: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET .
Ці точки називаються вершинами еліпса, а відрізки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET - його осями. Початок координат – точка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET є центром еліпса. Відрізки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET - його осями. Початок координат – точка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET є центром еліпса. Відрізки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET - осі еліпса, а їх половини – півосі. При цьому вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET називатимемо великою віссю еліпса, а вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET - малою.
Розглянемо на осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET дві точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET , а на кривій довільну точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET . Нехай сума INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнює деякому числу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET
Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей (пропонується читачеві виконати це самостійно), одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET .
Щоб ця рівність збігалася з (3.41), треба прийняти INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET і
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET . Звідси випливає, що на осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET всередині прямокутника існують дві точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET ,
що сума їх віддалей від довільної точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET еліпса дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET - великій осі еліпса.
З цих міркувань одержуємо таке означення: еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей яких від двох даних точок (фокусів) є величина стала і дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET .
З формули (3.38) очевидно, що при збільшенні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET величина INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET зменшується від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET
Оскільки друга похідна функції (3.42) по INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET від’ємна INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET то у першій чверті крива опукла.
Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер можна здійснити його схематичну побудову (рис.3.17).
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.3.17
Точну побудову еліпса можна здійснити так: у точках INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім, тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і буде згідно з означенням еліпсом.
Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми (рис.3.18).
Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал.
Ексцентриситетом еліпса називається відношення віддалі
між фокусами еліпса до довжини великої осі: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис. 3.18
Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET . Для кола INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET . Тому ексцентриситет кола дорівнює нулю.
Позначимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET Величини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET назвемо фокальними радіусами. З означення еліпса маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET Легко встановити, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET З останніх двох рівнянь одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET . (3.39)
На рис. 3.19 зображено еліпс і прямі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET , довільна точка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET , її віддаль INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET від прямої INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET . Розглянемо відношення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET Те саме можна виконати і з прямою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже, одержимо дві прямі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET . Ці дві прямі називаються директрисами еліпса. Із сказаного приходимо до такого висновку: відношення віддалей будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси є величина стала, що дорівнює ексцентриситету INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET еліпса.
Якщо ексцентриситет еліпса зменшується, то директриса еліпса віддаляються від нього, сам еліпс стає все більш опуклим і у граничному випадку, коли він стає рівним нулю, директриси віддаляються на нескінченність. Це означає, що коло не має директрис. При збільшенні ексцентриситету еліпс стає все більше розтягнутим, а директриси при цьому стають все ближчими до еліпса.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис. 3.19
Нехай потрібно знайти дотичну до еліпса INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET у точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET , що належить еліпсу. Розглянемо довільну пряму INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET , що проходить через точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET . У рівняння еліпса замість INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET підставимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET і розв’яжемо квадратне рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET
В результаті одержимо квадратне рівняння відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET . Щоб одержане рівняння мало лише один розв’язок, тобто щоб вказана пряма була дотичною до еліпса у точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET , необхідно і достатньо, щоб дискримінант квадратного рівняння відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнював нулю. З цієї умови знайдемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET . Після цього вже легко записати рівняння дотичної. Читачеві пропонується довести вказаним способом, що рівняння дотичної матиме вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET
Цю ж задачу можна розв’язати і за допомогою похідної.
Приклад. Написати рівняння дотичної, що проходить через точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET , до еліпса INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET
Р о з в ’ я з о к. Нехай рівняння дотичної має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET
Тоді, підставивши INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET у рівняння еліпса, одержимо:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET .
Після спрощення, це рівняння матиме вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET .
Щоб пряма INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET була дотичною до еліпса, треба, щоб попереднє рівняння мало лише один розв’язок. Це буде тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET .
Після скорочення на 4 матимемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET
У результаті спрощень приходимо до рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET
звідки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже через задану точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET до еліпса можна провести дві дотичні:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image102.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET Зауваження. У цьому прикладі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET не лежить на еліпсі. Тому безпосередньо скористатись наведеною формулою для дотичної неможливо, бо формула виведена для того випадку, коли точка, через
яку треба провести дотичну, лежить на еліпсі.
Рівняння еліпса у прямокутних координатах має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET
Очевидно, що коли в рівняння еліпса замість INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET підставити відповідно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET , то одержимо тотожність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET , то одержимо тотожність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто формули INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET задовольняють рівняння еліпса. Тому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET теж є рівняннями еліпса. Ці рівняння називають параметричними рівняннями еліпса, бо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image113.gif" \* MERGEFORMATINET тут залежать від параметра INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET . Параметричними рівняннями можуть описуватись і криві, значно складніші за еліпс. Наприклад, крива
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image115.gif" \* MERGEFORMATINET
не є еліпсом. Але її теж можна описати параметричними рівняннями:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image116.gif" \* MERGEFORMATINET .
Вони значно простіші, ніж рівняння, задане в прямокутній системі координат.
3.6.2. Гіпербола
Якщо в рівняння (3.40) всі коефіцієнти, крім INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image117.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнюють нулю, причому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image118.gif" \* MERGEFORMATINET мають різні знаки, то одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image119.gif" \* MERGEFORMATINET .
Останнє рівняння можна записати у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image120.gif" \* MERGEFORMATINET , (3.40)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image122.gif" \* MERGEFORMATINET
Далі детально зупинимось на першому з рівнянь (3.40) (із знаком “+ “ в правій частині). Крива, що описується цим рівнянням, називається гіперболою. Як у випадку еліпса, вона є центральносиметричною кривою. (Чому?) Виразимо з рівняння гіперболи змінну INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET , вважаючи, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image124.gif" \* MERGEFORMATINET (перша чверть):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET (3.41)
Областю визначення цієї функції є INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image126.gif" \* MERGEFORMATINET , причому при
зростанні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET зростає від нуля до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET . Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET , то крива (3.41) опукла.
Розглянемо пряму INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image130.gif" \* MERGEFORMATINET і оцінимо різницю
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET .
Очевидно, що при будь-яких INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET матимемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET прямує до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET , то вираз в дужках є невизначеністю типу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image134.gif" \* MERGEFORMATINET . Для її розкриття помножимо і поділимо праву частину на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image136.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тепер уже очевидно, що при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET різниця INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image138.gif" \* MERGEFORMATINET прямує до нуля, тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET прямує до злиття з кривою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET .
На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що зображається першим з рівнянь (3.40), якщо врахувати при цьому, що відповідна крива центральносиметрична (рис. 3.20).
Побудову гіперболи найкраще виконувати, перш за все побудувавши її асимптоти. Точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image140.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET називаються вершинами гіперболи, вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET - дійсною, а вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET - уявною осями гіперболи.
Як і у випадку еліпса, розглянемо дві точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET ,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image144.gif" \* MERGEFORMATINET , а також точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET на кривій. Запишемо різницю:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image146.gif" \* MERGEFORMATINET .
Після тотожних перетворень одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET .
Щоб ця рівність збігалася з (3.40), повинно бути INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис. 3.20
Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image144.gif" \* MERGEFORMATINET , то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image150.gif" \* MERGEFORMATINET . Звідси одержуємо таке означення гіперболи.
Гіперболою називається множина точок, різниця віддалей яких INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET від двох даних точок є сталою величиною. Точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET називаються фокусами гіперболи. Якщо у рівнянні гіперболи INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image151.gif" \* MERGEFORMATINET , то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні між собою.
Вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image152.gif" \* MERGEFORMATINET називається уявною, тому що з рівняння гіперболи при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image153.gif" \* MERGEFORMATINET одержуємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image154.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image155.gif" \* MERGEFORMATINET - уявна одиниця.
Введемо в розгляд фокальні радіуси гіперболи INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image156.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді на основі означення гіперболи одержимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image157.gif" \* MERGEFORMATINET . Як і у рівнянні еліпса, маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image158.gif" \* MERGEFORMATINET .
З цих двох рівнянь маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image159.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image160.gif" \* MERGEFORMATINET .
Величина INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку
еліпса, прямі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image161.gif" \* MERGEFORMATINET називаються директрисами гіперболи. Через те, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image162.gif" \* MERGEFORMATINET , директриси розміщені між вітками гіперболи.
Так само, як і у випадку еліпса, можна довести, що відношення віддалей будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET .
У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах велику роль відіграють гіперболічні функції
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image163.gif" \* MERGEFORMATINET .
Легко довести, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image164.gif" \* MERGEFORMATINET .
Розглянемо тепер гіперболу
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image165.gif" \* MERGEFORMATINET .
Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image166.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET - змінний параметр. Підставивши у рівняння гіперболи вирази для INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image167.gif" \* MERGEFORMATINET , одержимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image164.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто вони задовольняють рівнянню гіперболи. Тому рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image168.gif" \* MERGEFORMATINET
є параметричним рівняння гіперболи.
Рівняння дотичної прямої до гіперболи в точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET , що лежить на гіперболі, має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image170.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклад. На площині задано дві точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image171.gif" \* MERGEFORMATINET (рис. 3.21). Дві прямі обертаються навколо цих точок у протилежних напрямках з однаковою кутовою швидкістю. Перед початком руху одна з прямих збігається з прямою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET , друга - перпендикулярна до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET . Знайти рівняння кривої, що описується точкою перетину прямих, що обертаються.
Р о з в ’ я з о к. Вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET проведено через точки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image173.gif" \* MERGEFORMATINET , а вісь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET через точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image174.gif" \* MERGEFORMATINET - середину відрізка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET перпендикулярно до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET . Розглянемо проміжне положення двох прямих, що обертаються. Нехай вони перетинаються у точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET , причому їх кутові швидкості обертання дорівнюють INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image175.gif" \* MERGEFORMATINET . Нехай від початку руху пройшов час INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image176.gif" \* MERGEFORMATINET .
З рис .3.29 маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image177.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image178.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET ; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image180.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image181.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image182.gif" \* MERGEFORMATINET .
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image183.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис. 3.21
Отже траєкторією точки перетину прямих є рівнобічна гіпербола.
3.6.3.Парабола
Нехай в (3.36) всі коефіцієнти, крім INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image184.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image185.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнюють нулю. Тоді матимемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image186.gif" \* MERGEFORMATINET або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image187.gif" \* MERGEFORMATINET , (3.42)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image188.gif" \* MERGEFORMATINET . Зрозуміло, що коли INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image189.gif" \* MERGEFORMATINET , то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET , і коли INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image191.gif" \* MERGEFORMATINET , то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image192.gif" \* MERGEFORMATINET .
Розглянемо випадок, коли INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET .
Крива, що описується рівнянням (3.42), називається параболою.
Виходячи лише з рівняння (3.42), вивчимо її властивості, форму і побудуємо графік.
З самого рівняння ясно, що відповідна крива симетрична відносно осі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET , бо при заміні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image193.gif" \* MERGEFORMATINET рівняння не змінюється. Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET , то графік параболи розміщений у І-й і ІУ-й чвертях. Обмежуючись тимчасово І чвертю, встановимо її властивості. Маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image194.gif" \* MERGEFORMATINET . Ясно, що крива проходить через початок координат, що при зростанні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET зростає і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET , що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET , а це означає, що відповідна крива є опуклою.
Отже, її графік має вигляд рис.3.22.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image195.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис. 3.22
Розглянемо деяку точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image196.gif" \* MERGEFORMATINET і пряму INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image197.gif" \* MERGEFORMATINET і обчислимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image198.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image199.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image200.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image201.gif" \* MERGEFORMATINET . Вияснимо, при яких INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image202.gif" \* MERGEFORMATINET рівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image203.gif" \* MERGEFORMATINET збігається з (3.42).
Звільнившись від ірраціональності, після спрощення, одержимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image204.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image205.gif" \* MERGEFORMATINET . Враховуючи все це, приходимо до висновку, що співпадання з рівнянням (3.42) відбудеться при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image206.gif" \* MERGEFORMATINET тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image207.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET а це означає, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image208.gif" \* MERGEFORMATINET .
Виходячи з цього, маємо таке означення параболи: параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом, і даної прямої, що називається директрисою.
З описаного випливає, що парабола має лише одну директрису INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image209.gif" \* MERGEFORMATINET , що фокус параболи знаходиться в точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image210.gif" \* MERGEFORMATINET і що її ексцентриситет INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image211.gif" \* MERGEFORMATINET .
Всі три криві (еліпс, гіпербола і парабола) визначають множину точок площини, відношення яких від даної точки (фокуса) до віддалі від даної точки до даної прямої (директриси) є величина стала .
3.6.4. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних
координатах
Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image212.gif" \* MERGEFORMATINET - один із фокусів еліпса або гіперболи, або фокус параболи, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image213.gif" \* MERGEFORMATINET - дуга однієї з вказаних кривих (рис. 3.23). Із рисунка маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image214.gif" \* MERGEFORMATINET З останньої рівності маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image215.gif" \* MERGEFORMATINET (3.43)
Рівняння (3.43) описує одну з кривих (еліпс, гіперболу або параболу) залежно від того, яким є INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET :
якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image216.gif" \* MERGEFORMATINET , то рівняння описує еліпс;
якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image217.gif" \* MERGEFORMATINET , то рівняння описує гіперболу;
якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image218.gif" \* MERGEFORMATINET , то рівняння описує параболу.
Універсальність полягає в тому, що одним і тим самим рівнянням описуються всі криві (еліпс, гіпербола і парабола). Рівнянням (3.43) користуються в механіці та астрономії при вивчені руху планет.
Вказані три криві мають спільне походження: всі вони є певними перерізами двопорожнинного конуса. Цей факт чудово ілюструється рис.3.24 і вказує на джерело універсальності трьох розглянутих кривих.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\07_files\\image219.gif" \* MERGEFORMATINET
