Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку диференціальних рівнянь. Але, щоб використовувати ці методи, треба бути впевненим в існуванні розв’язку шуканого рівняння та в його єдиності.
Зараз значна частина теорем існування та єдиності розв’язків не тільки диференціальних, але й рівнянь інших видів доводиться методом стискуючих відображень.
Визначення. Простір EMBED Equation.3 називається метричним, якщо для довільних двох точок EMBED Equation.3 визначена функція EMBED Equation.3, що задовольняє аксіомам:
1.EMBED Equation.3, причому EMBED Equation.3 тоді і тільки тоді, коли EMBED Equation.3;
2. EMBED Equation.3 (комутативність);
3. EMBED Equation.3 (нерівність трикутника).
Функція EMBED Equation.3 називається відстанню в просторі EMBED Equation.3 (метрикою простору EMBED Equation.3).
Приклад 1.6.1. Векторний EMBED Equation.3- вимірний простір EMBED Equation.3 .
Нехай EMBED Equation.3. За метрику можна взяти: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.
Приклад 1.6.2. Простір неперервних функцій на відрізку EMBED Equation.3 позначається - EMBED Equation.3. За метрику можна взяти
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Визначення. Послідовність EMBED Equation.3 називається фундаментальною, якщо для довільного EMBED Equation.3 існує EMBED Equation.3 таке, що при EMBED Equation.3 і довільному EMBED Equation.3 буде EMBED Equation.3.
Визначення. Метричний простір EMBED Equation.3 називається повним, якщо довільна фундаментальна послідовність точок EMBED Equation.3простору EMBED Equation.3 збігається до деякої точки EMBED Equation.3 простору EMBED Equation.3.
Теорема (принцип стискуючих відображень). Нехай в повному метричному просторі EMBED Equation.3 задано оператор EMBED Equation.3, що задовольняє умовам.
1. Оператор EMBED Equation.3 переводить точки простору EMBED Equation.3в точки цього ж простору, тобто якщо EMBED Equation.3, то і EMBED Equation.3.
2. Оператор EMBED Equation.3 є оператором стиску, тобто
EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3- довільні точки EMBED Equation.3.
Тоді існує єдина нерухома точка EMBED Equation.3, яка є розв’язком операторного рівняння EMBED Equation.3 і вона може бути знайдена методом послідовних відображень, тобто EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3, причому EMBED Equation.3, вибирається довільно.
Доведення. I. Візьмемо довільну точку EMBED Equation.3 і побудуємо послідовність EMBED Equation.3. Покажемо, що побудована послідовність є фундаментальною. Дійсно
EMBED Equation.3
Оцінимо EMBED Equation.3. Застосувавши EMBED Equation.3-разів правило трикутника, отримуємо
EMBED Equation.3
Таким чином EMBED Equation.3. И при достатньо великому EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3, тобто послідовність EMBED Equation.3 є фундаментальною і, в силу повноти простору EMBED Equation.3, збігається до деякого елемента цього ж простора EMBED Equation.3.
II. Покажемо, що EMBED Equation.3 є нерухомою точкою, тобто EMBED Equation.3 .
Нехай від супротивного EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Застосувавши правило трикутника, одержимо EMBED Equation.3 . Оцінимо кожний з доданків.
1) Оскільки EMBED Equation.3 , то при EMBED Equation.3 буде EMBED Equation.3 .
2)Оскільки послідовність є фундаментальною, то при EMBED Equation.3 буде EMBED Equation.3 .
3) І, нарешті, EMBED Equation.3
Таким чином EMBED Equation.3 , причому EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 фіксовані, а EMBED Equation.3 можна вибрати як завгодно малим. Отже EMBED Equation.3 , а в силу другої аксіоми метричного простору це значить, що EMBED Equation.3 .
III. Покажемо, що нерухома точка єдина. Нехай, від супротивного, існують дві точки EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Але тоді EMBED Equation.3 що суперечить припущенню про стислість оператора.
Таким чином, припущення про неєдиність нерухомої точки помилкове. З використанням теореми про нерухому точку доведемо теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної.
Теорема (про існування та єдиність розв’язку задачі Коші). Нехай у диференціальному рівнянні EMBED Equation.3 функція EMBED Equation.3 визначена в прямокутнику
EMBED Equation.3 і задовольняє умовам:
1) EMBED Equation.3 неперервна по EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 у EMBED Equation.3 ;
2) EMBED Equation.3 задовольняє умові Ліпшиця по змінній EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3
Тоді існує єдиний розв’язок EMBED Equation.3 диференціального рівняння, який визначений при EMBED Equation.3 , і задовольняє умові
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3
Доведення. Розглянемо простір, елементами якого є функції EMBED Equation.3 , неперервні на відрізку EMBED Equation.3 й обмежені EMBED Equation.3 . Введемо метрику EMBED Equation.3 . Одержимо повний метричний простір EMBED Equation.3 . Замінимо диференціальне рівняння
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
еквівалентним інтегральним рівнянням
EMBED Equation.3
Розглянемо оператор EMBED Equation.3 Через те, що EMBED Equation.3 , то оператор EMBED Equation.3 ставить у відповідність кожній неперервній функції EMBED Equation.3 , визначеній при EMBED Equation.3 й обмежений EMBED Equation.3 також неперервну функцію EMBED Equation.3 , визначену при EMBED Equation.3 й обмежену EMBED Equation.3 .
Перевіримо, чи є оператор EMBED Equation.3 оператором стиску.
EMBED Equation.3
І оскільки EMBED Equation.3 , то оператор EMBED Equation.3 є оператором стиску EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Відповідно до принципу стислих відображень операторне рівняння EMBED Equation.3 має єдиний розв’язок, тобто інтегральне рівняння EMBED Equation.3 , чи задача Коші для диференціального рівняння
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
також має єдиний розв’язок.
Зауваження. Умову Ліпшиця EMBED Equation.3 можна замінити іншою, більш грубою, але легше перевіряємою умовою існування обмеженої по модулю частинної похідної EMBED Equation.3 в області EMBED Equation.3 . Дійсно,
EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 .
Використовуючи доведену теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші розглянемо ряд теорем, що описують якісну поведінку розв’язків.
Теорема. (про неперервну залежність розв’язків від параметру) Якщо права частина диференціального рівняння
EMBED Equation.3
неперервна по EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 і при кожному фіксованому EMBED Equation.3 задовольняє умовам теореми існування й єдиності, причому стала Ліпшиця EMBED Equation.3 не залежить від EMBED Equation.3 , то розв’язок EMBED Equation.3 , що задовольняє початковій умові EMBED Equation.3 , неперервно залежить від EMBED Equation.3 .
Доведення. Оскільки члени послідовності
EMBED Equation.3
є неперервними функціями змінних EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , а стала EMBED Equation.3 не залежить від EMBED Equation.3 , то послідовність EMBED Equation.3 збігається до EMBED Equation.3 рівномірно по EMBED Equation.3 . І, як випливає з математичного аналізу, якщо послідовність неперервних функцій збігається рівномірно, то вона збігається до неперервної функції, тобто EMBED Equation.3 - функція, неперервна по EMBED Equation.3 .
Теорема (про неперервну залежність від початкових умов). Нехай виконані умови теореми про існування та єдиність розв’язків рівняння
EMBED Equation.3
з початковими умовами EMBED Equation.3 . Тоді, розв’язки EMBED Equation.3 , що записані у формі Коші, неперервно залежать від початкових умов.
Доведення. Роблячи заміну EMBED Equation.3 одержимо диференціальне рівняння EMBED Equation.3 з нульовими початковими умовами. На підставі попередньої теореми маємо неперервну залежність розв’язків від EMBED Equation.3 як від параметрів.
Теорема (про диференційованість розв’язків). Якщо в околі точки EMBED Equation.3 функція EMBED Equation.3 має неперервні змішані похідні до EMBED Equation.3 -го порядку, то розв’язок EMBED Equation.3 рівняння
EMBED Equation.3
з початковими умовами EMBED Equation.3 в деякому околі точки EMBED Equation.3 буде EMBED Equation.3 - раз неперервно диференційований.
Доведення. Підставивши EMBED Equation.3 в рівняння, одержимо тотожність
EMBED Equation.3 ,
яку можна диференціювати
EMBED Equation.3 .
Якщо EMBED Equation.3 , то праворуч функція неперервно диференційована. Продиференціюємо її ще раз
EMBED Equation.3 ,
або
EMBED Equation.3
Проробивши це EMBED Equation.3 -разів, отримаємо твердження теореми.
Розглянемо диференціальне рівняння, не розв’язане відносно похідної EMBED Equation.3 .
Нехай EMBED Equation.3 - точка на площині. Підставивши її в рівняння, одержимо відносно EMBED Equation.3 алгебраїчне рівняння
EMBED Equation.3 .
Це рівняння має корені EMBED Equation.3 . Задача Коші для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, ставиться в такий спосіб. Потрібно знайти розв’язок EMBED Equation.3 рівняння EMBED Equation.3 , що задовольняє умовам EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - довільні значення, а EMBED Equation.3 - один з вибраних наперед коренів алгебраїчного рівняння EMBED Equation.3 .
Теорема (існування й єдиність розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у замкненому околі точки EMBED Equation.3 функція EMBED Equation.3 задовольняє умовам:
1) EMBED Equation.3 - неперервна по всіх аргументах;
2) EMBED Equation.3 існує і відмінна від нуля;
3) EMBED Equation.3 .
Тоді при EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - досить мало, існує єдиний розв’язок EMBED Equation.3 рівняння EMBED Equation.3 , що задовольняє початковій умові EMBED Equation.3 .
Доведення. Як випливає з математичного аналізу відповідно до теореми про неявну функцію можна стверджувати, що умови 1) і 2) гарантують існування єдиної неперервної в околі точки EMBED Equation.3 функції EMBED Equation.3 , обумовленої рівнянням EMBED Equation.3 , для якої EMBED Equation.3 . Перевіримо, чи задовольняє EMBED Equation.3 умові Ліпшиця чи більш грубій EMBED Equation.3 . Диференціюємо EMBED Equation.3 по EMBED Equation.3 . Оскільки EMBED Equation.3 , то одержуємо
EMBED Equation.3 .
Звідси
EMBED Equation.3
З огляду на умови 2), 3), одержимо, що в деякому околі точки EMBED Equation.3 буде EMBED Equation.3 і для рівняння EMBED Equation.3 виконані умови теореми існування й єдиності розв’язку задачі Коші.