Інтерполяція.
План
Інтерполяція
Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційна формула Ньютона
13.16. Інтерполювання функцій
Нехай відомі числові значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET деякої величини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET , які відповідають числовим значенням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET величини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET /вузли інтерполювання /. Вважаючи INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET функцією від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , складемо таблицю із цих чисел:
Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET ; але їх складають і для аналітично заданих функцій INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.
Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET , яка набувала б табличних значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET за табличних значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET . Звичайно, за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET беруть многочлен степеня INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).
Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.
13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET
Для знаходження невизначених коефіцієнтів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET будемо покладати в цій рівності по черзі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET вимагаючи при цьому, щоб INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET
Тоді одержуємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET
Поклавши в цю формулу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET . За табличних значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET маємо відповідні табличні значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET .
13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона
У випадку, коли вузли інтерполювання INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET
( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET .
Скінченою різницею першого порядку величини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET
Скінченою різницею другого порядку величини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET
Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.
Із означень одержуємо:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET
Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET є біноміальними, а весь вираз INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET нагадує розгорнутий INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET -ий степінь суми. Тому
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET
У цій формулі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET є номер табличного значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET , або інакше - число кроків INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET , які відділяють табличне значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET
Якщо будемо обчислювати нетабличне значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET , що відповідає нетабличному значенню INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , і збережемо вигляд правої частини рівності для INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET , то величина INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET буде такою самою функцією від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET , якою функцією від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET раніше було INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET ( за всіх INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET табличних INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET переходить в INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET ).
Замінивши INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET У розгорнутому вигляді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET є многочлен степеня INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET . За всіх табличних значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET дорівнює відповідному табличному значенню INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET .
Зауваження. Якщо функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET лінійна або якщо розміщення на координатній площині INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET точок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET і потрібно знайти INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET , знаючи відповідні табличні значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET . Із рівняння прямої
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET
одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET
Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.
Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.
Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET
Оскільки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET тощо,
то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET тощо.
Для знаходження похідних функцій INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET за табличних значень аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET покладено INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET і тому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET тощо.
Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\63_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET
