Задача про інтерполяцію функцій є однією з основних задач чисельного аналізу. Формулюється вона таким чином.
Нехай на EMBED Equation.2 задано сітку w= { a EMBED Equation x0<x1<..<xn EMBED Equation b} , у вузлах якої відомо значення функції EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 . Потрібно побудувати інтерполянту-функцію EMBED Equation.2 , значення якої співпадають у вузлах сітки із заданими значеннями
EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 . (1)
Основна мета інтерполяції - одержати швидкий (економічний) алгоритм обчислення значень EMBED Equation.2 , де EMBED Equation.2 .
Основне питання: як вибрати EMBED Equation.2 та як оцінити похибку EMBED Equation.2 Інтерполянти, як правило, будуються у вигляді узагальнених поліномів
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ,
де EMBED Equation.2 - фіксовані лінійно незалежні функції, EMBED Equation.2 -невідомі параметри.
З умов (1) одержуємо систему ЛАР відносно EMBED Equation.2 :
EMBED Equation EMBED Equation.2 .
Як вiдомо, необхідною і достатньою умовою існування єдиного роз'язку цієї системи, або єдиної інтерполянти для будь-якого набору вузлів EMBED Equation.2 , є вимога щоб система функцій EMBED Equation.2 була системою Чебишова на EMBED Equation.2 .
Базовими системами EMBED Equation.2 найчастіше обирають степеневі функції EMBED Equation.2 (в цьому випадку EMBED Equation.2 - поліном степеня EMBED Equation.2 ) або тригонометричні функції EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 - тригонометричний поліном). Використовуються також раціональні функції EMBED Equation .
Розглянемо алгебраїчні поліноми. Відома теорема Вейєрштрасса стверджує, що будь-яку неперервну на EMBED Equation.2 функцію EMBED Equation.2 можна як завгодно точно наблизити поліномом степеня EMBED Equation.2 . Тобто для будь-якого EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 існує поліном EMBED Equation.2 степеня EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 такий, що
EMBED Equation .
Якщо і вдається побудувати такий многочлен, то, як правило, його степінь така висока, що практичне застосування його стає неможливим. Крім того, ця теорема не дає відповіді на питання про існування прийнятого інтерполяційного многочлена для заданої множини точок EMBED Equation.2 та способи його побудови.
Якщо шукати ІП увигляді
EMBED Equation
то система ЛАР
EMBED Equation , EMBED Equation.2
має своїм визначником визначник Вандермонда EMBED Equation , і, отже, єдиний розв'язок. Звідси випливає існування та єдиність інтерполяційного полінома (2). Відомо багато форм запису інтерполяційного поліному. Розглянемо побудову так званого інтерполяційного поліному Лагранжа.
Для обчислень більш зручним в поріванянні з базисом EMBED Equation.2 є базис поліномів Лагранжа EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 степеня EMBED Equation.2 (коефіцієнти або фундаментальні поліноми Лагранжа):
EMBED Equation.2
Безпосередньою перевіркою можна впевнетись, що поліном степеня EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 = EMBED Equation
задoвольняє цій умові і визначається єдиним чином. Cправді, якщо існує ще один поліном EMBED Equation , то різниця EMBED Equation - EMBED Equation.2 (поліном степеня не вище EMBED Equation.2 ) обертоється в нуль в EMBED Equation.2 +1 точці, тобто EMBED Equation - EMBED Equation.2 EMBED Equation 0.
Поліном EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 приймає значення EMBED Equation.2 в точцi EMBED Equation.2 і дорівнює нулю у всіх інших вузлах. З цього випливає, що ІП
EMBED Equation , (3)
де EMBED Equation = EMBED Equation має степінь не вище EMBED Equation.2 +1 i EMBED Equation.2 .
Многочлен (3) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа.
Величина EMBED Equation.2 називається похибкою інтерполяції многочленом Лагранжа або залишковим членом формули Лагранжа.
При практичному використанні інтерполяційних многочленів важливим є знання похибки, яка виникає при інтерполяції.
Оцінимо величину залишкового члену формули Лагранжа. Існують різні форми запису залишкового члена. Так, якщо EMBED Equation.2 то існує EMBED Equation.2 така, шо
EMBED Equation.2
Одержимо цю формулу.
Для цього розглянемо функцію
EMBED Equation (4)
У вузлах інтерполяції EMBED Equation.2 . Якщо і в точці EMBED Equation.2 , де ми оцінюємо похибку, EMBED Equation.2 , то величина EMBED Equation дає оцінку. З цього випливає, що
EMBED Equation
За теоремою Ролля EMBED Equation.2 має не менше EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 нуль, а EMBED Equation.2 обертається в нуль в деякій точці EMBED Equation.2 , де EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 .
Використовуючи (4), одержимо
EMBED Equation.2
і внаслідок того, що з умови EMBED Equation.2 випливає EMBED Equation.2 з (4) маємо
EMBED Equation.2 (5)
Використовуючи рівномірну метрику, одержимо з (5) оцінку
EMBED Equation.2 (6)
де EMBED Equation.2
Покращити оцінку (6) можна вибравши вузли інтерполяції EMBED Equation.2 таким чином, щоб EMBED Equation.2 був мінімальним. Видно, що поліном EMBED Equation.2 має старшим коефіцієнтом одиницю. Таким чином, ми приходимо до необхідності розв’язати задачу: серед усіх многочленів степеня EMBED Equation.2 із старшим коефіцієнтом рівним одиниці знайти той, максимальне відхилення якого від нуля на проміжку EMBED Equation.2 буде мінімальним.
Чебишевим були побудовані многочлени
EMBED Equation.2
які називають поліномами, що найменше відхиляються від нуля на проміжку EMBED Equation.2 . Тут EMBED Equation.2 поліноми Чебишева першого роду.
Враховуючи, що EMBED Equation.2 і використовуючи тригонометричну тотожність
EMBED Equation.2
одержимо рекурентне співвідношення для EMBED Equation.2 :
EMBED Equation.2
З цього співвідношення видно, що EMBED Equation.2 - це дійсно поліном із коефіцієнтом при EMBED Equation.2 рівним EMBED Equation.2 .
П.Л.Чебишов довів, що з усіх поліномів EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 iз старшим коефіцієнтом 1 поліном EMBED Equation.2 має на EMBED Equation.2 найменшу верхню грань абсолютних значень, тобто найменше відхиляється від нуля. При цьому
EMBED Equation.2
Дійсно, різниця EMBED Equation.2 - EMBED Equation.2 є поліном степеня EMBED Equation.2 -1. EMBED Equation.2 маючи на EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 різних коренів, набуває на цьому проміжку екстремальні значення EMBED Equation.2 +1 раз, причому по черзі ці значення будуть додатніми та від'ємними. Якщо екстремальні значення EMBED Equation.2 менші ніж у EMBED Equation.2 , то різниця цих поліномів в данних EMBED Equation.2 +1 точках буде по черзі додатньою та від'ємною. Отже поліном EMBED Equation.2 - EMBED Equation.2 степеня EMBED Equation.2 -1 матиме EMBED Equation.2 коренів. Це можливо лише у випадку, коли EMBED Equation.2 - EMBED Equation.2 EMBED Equation 0.
Лінійною заміною змінної
EMBED Equation.2
довільний відрізок EMBED Equation.2 можна звести до EMBED Equation.2 .
Повертаючись до оцінки (6), бачимо, що
EMBED Equation.2
де права частина співвідношення - це максимальне значення зміщеного на EMBED Equation.2 полінома EMBED Equation.2 :
EMBED Equation.2
Отже, якщо вузлами інтерполяції взяти вузли
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2
то
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2
При одержанні оцінки (6) максимум добутку замінено на добуток максимумів множників. Тому може виникнути ідея одержати кращу оцінку похибки. Але ці намагання будуть даремними, в чому можна впевнитись, розглянувши функцію EMBED Equation.2 .
Маємо EMBED Equation.2 , тому нерівність (6) обертaється в рівність. Враховуючи що
EMBED Equation.2
при будь яких вузлах інтерполяції, маємо
EMBED Equation.2 .
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Записати формулу Лагранжа для рівновіддалених вузлів інтерполяції.
Довести інваріантність коефіцієнтів Лагранжа відносно лінійної підстановки x=at+b.
Порівняти наближення на EMBED Equation.2 функції f(x) інтерполяційним многочленом, побудованим по оптимальних вузлах інтерполяції та відрізком ряду Тейлора.
Записати формулу коренів полінома Tn+1(x).
Записати формулу для визначення координат точок, де Tn(x) досягає максимума.
