Інтегрування з допомогою заміни змінної та інтегрування частинами.
План
Невласні інтеграли з безмежними границями
Невласні інтеграли від необмежених функцій
9.7. Невласні інтеграли та їх застосування
Усі поняття, зв’язані з інтегралами, що розглядалися раніше, як правило, стосувалися інтегрованих функцій на замкненому інтервалі. Проте в багатьох застосуваннях доводиться мати справу з інтегралами або від необмежених функцій на нескінченному замкненому інтервалі, або з інтегралами на нескінченному проміжку інтегрування. В останніх двох випадках інтеграли називаються невласними.
9.7.1. Невласні інтеграли на необмежених інтервалах
Розглянемо спочатку випадок, коли функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET однієї змінної задана на нескінченному інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET
Нехай для кожного фіксованого INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET  функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET  інтегрована, тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET  для всіх INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET  визначена і неперервна функція. Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET  позначається символом INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET , який називається невласним інтегралом на  необмеженому інтервалі. Якщо величина цього інтеграла скінчена й існує, то цей інтеграл називається  збіжним. Якщо величина цього інтеграла нескінченна або не існує, то інтеграл називається розбіжним.  Так, наприклад,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET   
Отже, дані інтеграли є збіжні.
Інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET  - розбіжний.
Цілком аналогічно, коли INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  задана на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET  і для всякого фіксованого INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET  інтегрована, то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET  У випадку задання функції  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET  , вважаючи, що вона інтегрована за будь-якого фіксованого INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET , матимемо інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET , який можна подати так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET
Наприклад,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET  -
збіжний інтеграл, а інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET  
розбіжний.
Вважаючи, що на проміжку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET  функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET  не має особливих точок, розглянемо інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET . Його можна
трактувати так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET
де граничний перехід за   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET    i   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET  вважається незалежним  один від одного. Може виявитися, що в цьому розумінні границя не існуватиме при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET  . У цьому випадку границю називають головним значенням інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET   і позначають символом
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклад.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET не існує,
але INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET
Критерії  збіжності. Абсолютна збіжність.
Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET  за допомогою заміни змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET  переходить у INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET , далі досить розглядати лише інтеграл вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET .
Питання збіжності або розбіжності невласного інтеграла є досить важливим у застосуваннях. Якщо в результаті якихось досліджень одержали невласний інтеграл, перш ніж його обчислювати, потрібно встановити, існує він чи ні, буде збіжним чи розбіжним. Якщо він не існує або розбіжний, то його обчислення не потрібні. Кожен, хто візьметься за його обчислення, не дослідивши на збіжність, марно витратить час.
Правильні такі твердження:
10. Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET  і на кожному обмеженому інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET  інтегрована. Тоді інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний в тому й тільки в тому випадку, коли функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET , визначення рівнянням INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET , залишається обмеженою для всіх INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET .
Зауваження.  Якщо в цьому твердженні відкинути умову INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET , то воно може виявитись хибним. Нехай, наприклад, дано інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET  Первісною тут є INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET - обмежена функція , але подвійна підстановка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET  не має змісту, бо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET  при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET  не прямує ні до якої границі: інтеграл не існує.
20. Інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET  тоді й тільки тоді збіжний, коли будь-якому заданому числу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET  відповідає таке число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET , що при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET  і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET  виконується нерівність
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклад. Довести, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET  - збіжний.
Д о в е д е н н я.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET
звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET  , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET  тобто
30. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний, то збіжним є також інтеграл  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET  і при цьому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET . Інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET  називається абсолютно збіжним, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET збіжний.
40. Теорема порівняння. Якщо для INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET  виконується  нерівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET , причому ці обидві функції невід’ємні, то із збіжності інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET  випливає збіжність інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET , а із розбіжності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET  випливає розбіжність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET .
Як функція порівняння, важливу роль відіграє функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET . Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET  і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET , одразу ж стає зрозумілим, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET і розбіжний, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклади. Дослідити збіжність інтегралів:
а) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET ,  б) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET ,   в) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET
Р о з в ’ я з о к. а) Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET , то
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET  Безпосереднім обчисленням останнього інтеграла легко встановити, що він збіжний при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET  Тому і даний інтеграл є збіжний при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET  Неважко довести, що при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET  інтеграл розбіжний.
б) Інтегруванням частинами дістанемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET  
Звідси елементарно одержимо такі висновки: заданий інтеграл збіжний при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET ; якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET , то збіжність буде неабсолютною; при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET  інтеграл збіжний абсолютно, бо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET
при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET  інтеграл розбіжний.
в) Для дослідження інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET  доведемо спочатку, що існує таке INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET , за якого вірна нерівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET Оскільки при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET  ця нерівність виконується, то для тих значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET , за яких  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET , виконуватиметься і дана нерівність.
Нерівність для похідних лівої і правої частин набирає вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET  і виконується при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET . Справді,  маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET , що істинно. Отже, для всіх INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET  маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET . Інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний, якщо збіжним є інтеграл  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET . Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET  для INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET  то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET для всіх скінчених  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET  .
Цілком очевидно, що при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET  заданий інтеграл розбіжний.
На основі теореми порівняння створено ряд конкретних критеріїв збіжності невласних  інтегралів. Заслуговує на увагу і такий критерій збіжності:
50. Якщо існує границя
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET  ,
то із збіжності інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET  при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET  випливає збіжність інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET , а із розбіжності першого інтеграла при C > 0 випливає розбіжність другого.
            Сформулюємо ще одну ознаку збіжності, незалежну від теореми порівняння і застосовну навіть для знакозмінної підінтегральної  функції.
60. Якщо інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET  є обмеженою функцією величини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image102.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET , а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET  -
монотонна функція, що прямує до нуля при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET , то інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний.
З цим, а також з іншими критеріями збіжності інтегралів детальніше можна ознайомитись в  кн. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – Т. 3. – М., Л.: Гостехиздат, 1949.
9.7.2. Невласні інтеграли від необмежених функцій
Нехай на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET  задана функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET , яка хоча б на одному із кінців або навіть всередині інтервалу має  розриви другого роду, наприклад, при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET  
Розглянемо інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET  . Виникає питання про те, існує чи ні такий інтеграл. Якщо існує, то за яких умов і як його обчислювати. Розглянемо наприклад, інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET
У цьому інтегралі в точках INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET  підінтегральна функція перетворюється в нескінченність ( розриви другого роду ) . Природно, границі інтегрування за обчислень замінити на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET , щоб виключити з розгляду точки розриву. В результаті одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image113.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET  Якщо тепер перейти до границі при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image115.gif" \* MERGEFORMATINET , то одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image116.gif" \* MERGEFORMATINET
Повертаючись до загальних міркувань, формально можна записати, вважаючи, що у всіх вказаних точках INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image117.gif" \* MERGEFORMATINET  функція має розриви другого роду:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image118.gif" \* MERGEFORMATINET
Кожний з інтегралів праворуч можна записати  як суму двох інтегралів, вибравши між точками INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image119.gif" \* MERGEFORMATINET  ще одну точку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image120.gif" \* MERGEFORMATINET  Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET
Тобто завжди можна кожний з інтегралів звести до такого вигляду, щоб підінтегральна функція мала розрив лише на одному з кінців інтервалу інтегрування.
Отже, далі підлягають детальному вивченню інтеграли від розривних функцій лише в тому випадку, коли тільки на одній з границь інтегрування функція  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  має розрив.
Означення.  Якщо для інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image122.gif" \* MERGEFORMATINET  при  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  або не існує, або дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image124.gif" \* MERGEFORMATINET , існує скінчена границя, то його називають невласним інтегралом функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET  до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image126.gif" \* MERGEFORMATINET   і позначають
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET
За цієї умови інтеграл називають збіжним, а функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  інтегрованою на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо ж ця границя нескінченна або не існує, то його називають розбіжним. У тому випадку, коли підінтегральна функція має розрив за значення, що дорівнює нижній границі інтегрування INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET , інтеграл можна звести до того випадку, коли розрив відповідатиме верхній границі інтегрування:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET
де функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image130.gif" \* MERGEFORMATINET  має розрив у точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET  , або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклади. 1) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET
У цьому інтегралі підінтегральна функція розривна при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET . Маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image134.gif" \* MERGEFORMATINET
Відповідно до визначення заданий інтеграл збіжний, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET  і розбіжний, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image136.gif" \* MERGEFORMATINET
2) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET
Підінтегральна функція тут має розриви на обох кінцях інтегрування при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image138.gif" \* MERGEFORMATINET  i INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET . Тому інтеграл запишемо так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image140.gif" \* MERGEFORMATINET
Тут у першому інтегралі розрив  при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image138.gif" \* MERGEFORMATINET , а в другому при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET .
Обчислимо спочатку перший інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET
Підстановка INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET  зведе інтеграл до вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image144.gif" \* MERGEFORMATINET   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET
Тут варто зазначити, що підстановка звела невласний інтеграл до інтеграла у звичайному його розумінні.
Аналогічно другий інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image146.gif" \* MERGEFORMATINET
Остаточно одержимо: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET  Заданий інтеграл виявився збіжним.
Ознаки збіжності невласних інтегралів від необмежених функцій.
Тут можна обмежитися розглядом лише невласного інтеграла вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET , де функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  перетворюється в нескінченність лише в точці INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image126.gif" \* MERGEFORMATINET  , бо всякі інші випадки, як це було показано раніше, можуть бути зведені до розглядуваного тут.
Для такого інтеграла є правильними такі твердження (дуже схожі до тих, що розглядалися у процесі вивчення інтегралів з нескінченними границями):
10. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET  на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET , то інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET збіжний тоді і тільки тоді, коли функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET  
існує і скінчена на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET .
20. Інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET  тоді і тільки тоді збіжний, коли для всякого INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image150.gif" \* MERGEFORMATINET  знайдеться таке INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image151.gif" \* MERGEFORMATINET , що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image152.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image153.gif" \* MERGEFORMATINET  належать відкритому інтервалу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image154.gif" \* MERGEFORMATINET .
30. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image155.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний, то збіжним є інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET .У цьому випадку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET  називається абсолютно збіжним, а функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET  - абсолютно інтегрованою.
40.  Нехай функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image156.gif" \* MERGEFORMATINET , невласний інтеграл
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image157.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний і на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image158.gif" \* MERGEFORMATINET  виконується нерівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image159.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді існує і буде збіжним інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо при цьому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET  і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image160.gif" \* MERGEFORMATINET , то із розбіжності інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET  випливає розбіжність інтеграла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image157.gif" \* MERGEFORMATINET  (теорема порівняння).
50. За функцію порівняння зручно брати функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image161.gif" \* MERGEFORMATINET . На інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image162.gif" \* MERGEFORMATINET  , маємо:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image163.gif" \* MERGEFORMATINET
і для INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image164.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image165.gif" \* MERGEFORMATINET
Звідси випливає, що інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image166.gif" \* MERGEFORMATINET  ( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image167.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image168.gif" \* MERGEFORMATINET  - дійсне число) збіжний при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET  При INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image170.gif" \* MERGEFORMATINET  цей інтеграл розбіжний.
60. Із п.п. 40 і 50 випливає, що  INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET збіжний, якщо функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image171.gif" \* MERGEFORMATINET  на інтервалі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET  обмежена, а при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image170.gif" \* MERGEFORMATINET  він розбіжний.
            Цей результат одержуємо з рівності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image173.gif" \* MERGEFORMATINET  Справді, оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image174.gif" \* MERGEFORMATINET  збіжний,  то збіжним буде і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET .
На основі твердження п. 60  очевидним стає факт збіжності інтегралів
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\39_files\\image175.gif" \* MERGEFORMATINET
Жоден з цих інтегралів не виражається через елементарні функції в скінченому вигляді.