Інтегрування раціональних функцій.
План
Інтегрування раціональних функцій
Прості раціональні дроби
Неправильні раціональні дроби
Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського
1. Інтегрування раціональних дробів
Прості раціональні дроби
Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET –дійсні числа ; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET – ціле число , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел .
Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET
в) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET ;
г) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET
Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на деяку константу .
Маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET
Якщо позначити
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET , то одержимо
то одержимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET
Тому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET
Щоб одержати кінцевий результат, досить повернутися до змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET і замінити INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET їх значеннями.
г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й третій, зведеться до вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET Тому
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET
Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою (9.3).
Неправильні раціональні дроби
Раціональний дріб має вигляд INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET - поліноми за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET степенів, відповідно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо степінь полінома INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET не менший за степінь полінома INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET то дріб називається неправильним. Якщо ж степінь полінома INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET менший, ніж степінь полінома INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET , то дріб називається правильним. Усякий неправильний дріб може бути поданий сумою деякого полінома (ціла частина дробу) степеня INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET і правильного дробу. Цілу частину неправильного дробу можна виділити прямим діленням чисельника на знаменник. Ділення це продовжується доти, поки остача від ділення (це буде деякий поліном або просто число) матиме менший степінь, ніж степінь полінома, що є дільником.
Приклад 1. Виділити цілу частину дробу
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET
Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET , то дріб неправильний. Ми можемо безпосередньо виділити цілу частину, додавши і віднявши в чисельнику 8:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклад 2. Виділити цілу частину дробу
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET .
Інтегрування правильного раціонального дробу
Якщо дріб неправильний, то розклавши його на суму цілої частину і правильного раціонального дробу, будемо інтеграл розглядати як суму інтегралів. Інтегрування цілої частини (полінома степеня INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET ) не представляє ніяких труднощів. Тому розглянемо саме інтегрування правильних раціональних дробів.
Саме визначення простих дробів вказує на те, що перш ніж розкладати правильний дріб на прості, треба знаменник правильного дробу розкласти на прості множники. Під простими множниками розумітимемо множники вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET
Нехай знаменник правильного дробу має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де всі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET - дійсні числа. Тут коефіцієнт при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET вважаємо таким, що дорівнює одиниці, яка не зменшує загальності міркувань, бо у випадку наявності при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET коефіцієнта INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET завжди можна чисельник і знаменник дробу поділити на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET Згідно з основною теоремою алгебри поліном INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET – го степеня має рівно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET коренів на множині комплексних чисел.
З алгебри відомо також, що коли поліном з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET , то він має і спряжений йому корінь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто комплексні корені входять у поліном комплексно спряженими парами.
Згідно з теоремою Вієта поліном розкладається на множники вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET - корені полінома, тобто
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET
Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET - комплексно спряжені корені. Тоді їм відповідатиме в розкладі два множники INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET . Їх добуток
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже, кожній спряженій парі комплексних коренів відповідає множник вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET . Серед коренів полінома можуть виявитися кратні. Якщо врахувати це, то розклад полінома на множники запишеться так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET (8.21)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET - кратності дійсних коренів, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET - кратності пар комплексно спряжених коренів.
Нехай правильний дріб має вигляд INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET – степені поліномів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET розкладається на множники так, як це показано в (8.21). У курсі алгебри доводиться, що кожному простому дійсному кореню INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET відповідає простий дріб INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET , а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET - кратному INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET відповідає сума INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET простих дробів:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET
Кожній парі комплексно спряжених коренів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET відповідає простий дріб вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET кожній INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET - кратній парі комплексно спряжених коренів відповідає сума INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET простих дробів:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET
Розглянемо конкретний приклад розкладу на прості дроби правильного раціонального дробу
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET
в якому знаменник уже розкладений на множники. Коренями знаменника є однократний корінь 1, двократний корінь 2, двократна пара комплексно спряжених коренів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET (корені рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET ), однократна пара комплексно спряжених коренів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET (корені рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET ).
Отже , заданий дріб може бути поданий як
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET - невідомі коефіцієнти , які треба обчислити, виходячи з того, що написана рівність є тотожністю. Її можна записати , звільнившись від знаменників:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET
Якщо прирівняємо коефіцієнти за однакових степенів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET у правій і лівій частинах одержаної тотожності після того, як у правій частині будуть виконані дії і згруповані члени з однаковими степенями INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET , то одержимо систему дев’яти лінійних рівнянь із дев’ятьма невідомими відносно невідомих коефіцієнтів, які й знайдемо із вказаної системи рівнянь. У курсі алгебри доведено, що необхідна система рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів завжди має єдиний розв’язок .
Але можна зробити інакше : в написану тотожність замість INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET по черзі підставити корені знаменника дробу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET ( хоч можна замість INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET підставляти довільні числа.). В результаті одержимо шість невідомих коефіцієнтів. Отже, залишиться знайти ще три коефіцієнти .
При INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET , а при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET , при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET матимемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET , Звідси дістаємо систему рівнянь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET з якої знаходимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET . При INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET аналогічно знайдемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже, залишилися невідомими INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET . Їх можна знайти, підставляючи в тотожність замість INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET , наприклад, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET . Із врахуванням значень INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET з системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими можна визначити INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET .
Якщо безпосередньо скористатись тотожністю і зрівняти коефіцієнти за однакових степенів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET у правій і лівій частинах, то одержимо таку систему рівнянь: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET Після визначення всіх невідомих коефіцієнтів цієї системи рівнянь вже легко буде проінтегрувати заданий дріб, користуючись формулами простих раціональних дробів (п. 9.7.1).
Якщо знаменник раціонального дробу має лише прості корені (дійсні або комплексні), то невідомі коефіцієнти найпростіше можна знайти підстановкою коренів знаменника в тотожність (такого самого типу, що і у попередньому прикладі) замість INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET .
Приклад. Обчислити інтеграл:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET
Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо знаменник на множники
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET
Тоді розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET =
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image102.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET
Одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET і
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET
Виділення раціональної частини інтеграла.
Метод Остроградського
Розглянемо правильний раціональний дріб INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET . При розкладі його на прості дроби одержимо таку суму простих дробів:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET (8.22)
Перша група доданків у цій сумі в результаті інтегрування дає
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image113.gif" \* MERGEFORMATINET ,
тобто ірраціональний вираз. Друга група доданків, якщо її проінтегрувати, буде такою:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET .
Третя група доданків після інтегрування:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image115.gif" \* MERGEFORMATINET .
Використовуючи рекурентну формулу, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image116.gif" \* MERGEFORMATINET зведеться до суми правильного раціонального дробу і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image117.gif" \* MERGEFORMATINET з деяким числовим множником INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image118.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET (8.22) проінтегрувати і додати всі дроби раціональної частини інтеграла, одержимо правильний дріб вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image119.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image120.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET , а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image122.gif" \* MERGEFORMATINET - поліном, степінь якого буде меншим, ніж степінь полінома в знаменнику. Тому
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET , (8.23)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image124.gif" \* MERGEFORMATINET - теж раціональний дріб, усі множники знаменника якого
або лінійні, або квадратні в першому степені, або їх комбінації, причому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET .
Із (8.23) знаходимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image126.gif" \* MERGEFORMATINET (8.24)
Тут поліноми INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET - невідомі, степені їх треба брати на одиницю меншими, ніж степені в знаменнику, при цьому їх треба записувати з невизначеними коефіцієнтами, які знаходять так само, як і в разі розкладу раціонального дробу на прості дроби. Але перш, ніж звільнитися від дробів у (8.24), треба скоротити дріб, одержаний від диференціювання, на спільні множники чисельника і знаменника, якщо у знаменнику були степені множників більші за одиницю. У всіх випадках після диференціювання знаменник дробу повинен дорівнювати INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET .
Приклад.
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image130.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ‘ я з о к. Підінтегральну функцію, користуючись формулою (8.24), подамо у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET - невідомі числа.
Розглянемо дріб INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image134.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image136.gif" \* MERGEFORMATINET
Тут здійснено скорочення на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET . Якщо цього не зробити, то далі виникнуть труднощі, викликані тим, що отримаємо систему рівнянь, в якій буде більше рівнянь, ніж невідомих коефіцієнтів.
Для визначення невідомих коефіцієнтів INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо таку систему рівнянь:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image138.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image140.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image144.gif" \* MERGEFORMATINET
Із цієї системи знаходимо: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image146.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET
На підставі формули (8.24) матимемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\UNPACK\\dn\\k014\\33_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET
Інтеграл у правій частині цієї рівності знаходять точно так само, як це було зроблено в попередньому прикладі. Пропонується довести цю роботу до кінця.
Методом Остроградського можна користуватися в разі інтегрування правильного раціонального дробу, знаменник якого має кратні корені
(дійсні або комплексні ).
У результаті інтегрування виділяється правильний раціональний дріб і новий інтеграл, знаменник підінтегрального виразу якого має лише прості корені. Ця обставина дозволяє дуже легко знайти невідомі коефіцієнти в чисельниках підінтегральної функції після її розкладу на прості дроби, не вдаючись до розв’язування системи рівнянь, якій задовольняють невідомі коефіцієнти розкладу.
