1. Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності.
Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд
EMBED Equation.3
де аі та bk — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;
k = 0, 1, 2, ..., m.
Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo EMBED Equation.3 .
Якщо EMBED Equation.3 дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто
EMBED Equation.3
Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:
I. EMBED Equation.3 II. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
III. EMBED Equation.3
IV. EMBED Equation.3
Умова EMBED Equation.3 означає, що квадратний тричлен х2 + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x2 + rx + s.
Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:
І. EMBED Equation.3
ІІ. EMBED Equation.3
При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.
ІІІ. EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 одержимо:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.
У повному курсі вищої алгебри доведена слідуюча теорема.
Теорема 1. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.
Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена Mn-m (х) (при EMBED Equation.3 ) та суми найпростіших дробів. Відмітимо, що вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі слідуючі випадки:
1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто
EMBED Equation.3
В цьому випадку дріб EMBED Equation.3 розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:
EMBED Equation.3 (1)
Невизначені коефіцієнти А1, А2, ... Аm знаходять з тотожності (1).
2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто
EMBED Equation.3
Тоді дріб EMBED Equation.3 розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типу
EMBED Equation.3 (2)
Коефіцієнти А, В1, В2, ..., Вk знаходять з тотожності (2).
3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто
EMBED Equation.3
В цьому випадку дріб EMBED Equation.3 розкладається на суму найпростіших дробів 1-го, ІІ-го та ІІІ-го типів
EMBED Equation.3 (3)
коефіцієнти А, В1, В2, ..., Bk, D та Е знаходять з тотожності (3).
Приклад 1. Знайти EMBED Equation.3
Розв'язування. Підінтегральна функція—це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корень х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу:
EMBED Equation.3 (4)
Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (4) треба привести до спільного знаменника, одержимо
EMBED Equation.3
Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто
х = (Ах + В)(х - 1) + С(х2 + 1) EMBED Equation.3 (А + С)х2 + (В - А) + С - В (5)
Рівність (5) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню х в обох частинах рівності однакові, тобто
EMBED Equation.3
Отже, розклад (4) тепер приймає вигляд
EMBED Equation.3
Інтегруючи цю рівність, одержимо
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності
При інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування (тобто ірраціональності), методом відстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.
1. Підінтегральна функція є раціональним дробом відносно EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 дробове число. У цьому випадку вводять нову змінну t = х1/q , де q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної х.
Приклад 2. Знайти EMBED Equation.3
Розв'язування. Маємо: EMBED Equation.3
Спільний знаменник дробових показників степенів 1/2, 4/3, 5/4 змінної х дорівнює 12. Тому зробимо підстановку t = х1/12, х = t12, dx = 12t11dt i ми одержуємо:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2. Підінтегрований вираз містить дробові степені лінійного двочлена (ах+b). У цьому випадку доцільно зробити підстановку t = (ах + b)1/q, де q —спільний знаменник дробових показників степенів двочлена.
Приклад 3. Знайти EMBED Equation.3
Розв'язування. Нехай t = (х + 1)1/2, х + l = t2, x = t2- 1, dx = 2tdt
Тому EMBED Equation.3