Інтегровні типи д-р 1-го порядку, розв’язаних відносно похідної
Має вигляд
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (2.33)
Припустимо, що f(x) являється неперервною на EMBED Equation.3 функцією.
Тоді ф-я
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2.34)
являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, - EMBED Equation.3 < y < + EMBED Equation.3 .(2.35)
Особливих розвязків ДР (2.33) немає.
Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2.36)
Проінтегруємо ДР (2.34) від EMBED Equation.3 до x
EMBED Equation.3
Знаходимо с з умови (2.36)
EMBED Equation.3 (2.37) - загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.
Якщо f(x) - неперервна на EMBED Equation.3 за виключенням точки EMBED Equation.3 , в якій EMBED Equation.3 приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати р-ня
EMBED Equation.3 (2.331)
Пряма EMBED Equation.3 являється розвязком ДР (2.331) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку ДР (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдність. Якщо EMBED Equation.3 - частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних заначеннях с, якщо ж він являється особливим, то його отримують з загального при EMBED Equation.3 .
Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд
EMBED Equation.3 (2.38)
Припускаємо, що ф-я EMBED Equation.3 визначена і неперевна на інтервалі EMBED Equation.3 . Замість (2.38) розглянемо ДР
EMBED Equation.3 (2.39)
ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33).
Якщо EMBED Equation.3 , y є (c,d), то
EMBED Equation.3 (2.40) – загальний рохвязок ДР (2.39) в області
c < y < d, - EMBED Equation.3 < x < + EMBED Equation.3 .
Аналогічно EMBED Equation.3 (2.41) - загальний інтеграл в формі Коші.
Якщо EMBED Equation.3 неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при EMBED Equation.3 , то ми повинні розглядаті ДР (2.38). Розвязок EMBED Equation.3 буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність, і осоюливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо EMBED Equation.3 частинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях EMBED Equation.3 , якщо особливий, то при EMBED Equation.3 .
Якщо EMBED Equation.3 в тоцчі EMBED Equation.3 перетворюється в нескінченність EMBED Equation.3 , то розглянемо ДР (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому ДР на EMBED Equation.3 має єдиний розвязок EMBED Equation.3 .
Пр. 2.5
Розглянемо ДР EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Область визначення : EMBED Equation.3 .
Поскільки в т. EMBED Equation.3 дотичні паралельні осі OY, то розвязок в EMBED Equation.3 єдиний EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
б) Рівняння з відокремлюванними змінними.
Розглянемо р-ня в диференціалах виду
EMBED Equation.3 (2.42),
де EMBED Equation.3 - неперервні ф-ї своїх аргументів.
Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином EMBED Equation.3 . Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах. EMBED Equation.3 (2.43).
Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так EMBED Equation.3 . З умови (2.36) визначають EMBED Equation.3 . Отже EMBED Equation.3 (2.44) – розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях особливих розвязків ДР (4.42) не має.
Рівняння вигляду
EMBED Equation.3 (2.45) –
називають р-ням з відокремлюваними змінними.
Припустимо, що EMBED Equation.3 , тоді розділемо обидві частини рівняння (2.45) на EMBED Equation.3 , отримуємо
EMBED Equation.3 (2.46).
Аналогічно записуємо
EMBED Equation.3 (2.47) –
загальний розвязок ДР (2.45) і
EMBED Equation.3 (2.48) –
розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на EMBED Equation.3 ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Дійсно, нехай EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 отже EMBED Equation.3 - розвязок ДР (2.45).
Аналогічно EMBED Equation.3 .
Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких EMBED Equation.3 , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).
З розвязку EMBED Equation.3 ми повинні викинути точку EMBED Equation.3 , так як в точці EMBED Equation.3 ДР (2.45) не визначає нахил поля EMBED Equation.3 . По тій же причині з розвязку EMBED Equation.3 викидають точку EMBED Equation.3 .
Таким чином розвязки EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 примикають до точки EMBED Equation.3 і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.
Пр. 2.6.
Знайти загальний розвязок ДР:
EMBED Equation.3 .
Розвязок:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.
Розглянемо р-ня в диференціалах
EMBED Equation.3 (2.5),
в якому ф-ії EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.
Означення 2.4: ф-я EMBED Equation.3 називаеться однорідною степеню EMBED Equation.3 ,
якщо EMBED Equation.3 (2.49).
Якщо (2.49) виконуються при EMBED Equation.3 , то ф-я EMBED Equation.3 називаеться додатню-однорідною.
Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду
EMBED Equation.3 (2.50),
в якому функція EMBED Equation.3 однорідна функція нулбового виміру.
Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною EMBED Equation.3 (2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 (2.52), де EMBED Equation.3 .
При діленні ми могли загубити розвязок EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - корені рівняння EMBED Equation.3 (2.53).
Отже півпрямі EMBED Equation.3 примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі EMBED Equation.3 . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.
Рівняння вигляду EMBED Equation.3 (2.54) зводиться до однорідного. Якщо EMBED Equation.3 , то це однорідне рівняння.
Припустимо, що хоч одне з чисел EMBED Equation.3 не дорівнюють 0. Можливі два випадки:
Перший) EMBED Equation.3 Проводимо заміну EMBED Equation.3 (2.55), де EMBED Equation.3 - нові змінні, EMBED Equation.3 - параметри. Тоді EMBED Equation.3 (2.56).
Параметри EMBED Equation.3 вибираємо згідно системи EMBED Equation.3 (2.57). Так як EMBED Equation.3 то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР EMBED Equation.3 (2.58).

Другий) EMBED Equation.3 . В цьому випадку EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 . Тому EMBED Equation.3 (2.59)
Заміною EMBED Equation.3 ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними EMBED Equation.3 (2.60).
Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР EMBED Equation.3
Це однорідне рівняння, EMBED Equation.3 . Зробимо заміну EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Отже EMBED Equation.3 - загальний розвзок нашого рівняння.

ДР (2.5) називається узагальнено-однорідним, якщо існує таке число EMBED Equation.3 , при якому ліва частина цього ДР (2.5) стає однорідною функцією від велечин EMBED Equation.3 в припущенні, що __ мають віжповідно виміри: перший, EMBED Equation.3 -ий, нульвий , EMBED Equation.3 -ий. При EMBED Equation.3 має просто однорідне рівняння.
В цьому випадку ДР (2.5) заміною EMBED Equation.3 (2.61) зводитьчя до р-ня з відоктремлюванними змінними. При EMBED Equation.3 р-ня (2.5) являється р-ням з розділеними зміними. Особліви розвязки досліджуються аналогічно.
Пр 2.8 Розвязати ДР: EMBED Equation.3
Знайдемо чило EMBED Equation.3 для данного випадку EMBED Equation.3 . Отже EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,формула EMBED Equation.3
Звідки EMBED Equation.3 загальний розвязок.
г) Лінійні р-ня EMBED Equation.3 порядку.
ДР вигляду EMBED Equation.3 (2.62) називаються лінійними ДР EMBED Equation.3 порядку.
При EMBED Equation.3 воно називається однорідним
Формула EMBED Equation.3 (2.63). Так як ліва частина ліній на і однорідна відносно EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Р-ня (2.62) при EMBED Equation.3 називається неоднорідним. ДР (2.63) інтирується в квадратурах, так як воно являється ДР з відокремлюваними змінними. EMBED Equation.3 . Звідки EMBED Equation.3 (2.64).
Якщо EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3 (2.65)
Загальні властивості ОДР :
Якщо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 неперервні, то згідно теореми Пікара розвязок задачі Коші для ДР (2.63) існує і являється єдиним;
ЛДР (2.63) не має особливих розвязків;
ІК ОДР (2.63) не можуть пееретинати вісь EMBED Equation.3 , так як в противному випадку нарушалися б умови єдиності розвязку задачі Коші;
ДР (2.63) інваріантно відносно перетворення EMBED Equation.3 ;
Дійсно: формула EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
ДР (2.63) іваріантно відносно заміни EMBED Equation.3 (2.66) де EMBED Equation.3 -новазмінна, EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 неперервні ф-ї, EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 . Якщо EMBED Equation.3 - частинний розвязок ДР (2.63), то EMBED Equation.3 (2.67), де EMBED Equation.3 - константа, являється загальним його розвязком. Справедлива теорема.
Теорема (2.3) (про структуру розвязку лінійного неоднорідного ДР): Якщо EMBED Equation.3 - частинний розвязок неоднорідного ДР (2.62), а ДР (2.64)- загальний розвязок ОДР (2.63) то сума EMBED Equation.3 (2.68) являється загальним розвязком неоднорідного ДР (2.62).
Теорема доводиться безпосередньою подстановкою (2.68) в
р-ня (2.62).
Якщо відомо два частинних розвязки ДР (2.62), то загальний його розвязок записується без квадратур EMBED Equation.3 (2.69).
Розглянемо два методи интигрування неоднорідного ДР (2.67).
Метод Лагранжа (варіації довільної сталої).
Розвязок шукаємо у вигдяді EMBED Equation.3 (2.70). Підставимо (2.70) в (2.62). EMBED Equation.3 . Звідки EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 . Остаточно маємо EMBED Equation.3 (2.71).
загальний розв’язок ДР (2.62), який записаний через дві квадратури. Довільна стала входить завжди в загальний розв’язок лінійно.
Метод Ейлера заключається в тому, що ліва частина ДР (2.62) представляється у вигляді точної похідної шляхом домноження на деяку функцію EMBED Equation.3 Визначимо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 звідки EMBED Equation.3 тобто EMBED Equation.3 (ф-я) EMBED Equation.3 називається інтерувальним множником). Тому EMBED Equation.3 (2.72) звідки EMBED Equation.3 . З останнього співвідношення отримуємо ф-лу (2.71).
Загальний розв’язок при умові EMBED Equation.3 можна записати в Формі Коші EMBED Equation.3 .
Пр.2.9 Знайти загальний розв’язок ДР EMBED Equation.3
Це лінійне однорідне ДР EMBED Equation.3 .
Пр.2.10 Розв’язати ДР EMBED Equation.3 .
За формулою (2.71) EMBED Equation.3
д) Рівняння Бернуллі Це рівняння має вигляд EMBED Equation.3 (2.74)
Рівняння (2.74) завжди інтегрується в квадратурах шляхом підстановки EMBED Equation.3 (2.75). Так як EMBED Equation.3 , то домножимо (2.74) на EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , маємо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2.76) яке вже являється лінійним.
При EMBED Equation.3 рівняння Бернуллі має особливий розв’язок EMBED Equation.3 . При EMBED Equation.3 розв’язок EMBED Equation.3 міститься в загальному розв’язку при EMBED Equation.3 . При EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 не являється розв’язком ДР (2.74)
Пр.2.11 Розв’язати ДР EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Отже EMBED Equation.3 - загальний розвязок нашого р-ня.
Відомо, що деференц. – ліннійне р-ня.
Р-ня EMBED Equation.3 зводиться до лінійного заміною EMBED Equation.3 .