Інтеграл Ейлера
EMBED Equation.3
(1)
Функція EMBED Equation.3 досягає свого найбільшого значення 1 при t = 0.
Отже,
EMBED Equation.3 при t > 0 і t < 0.
Беручи t = ±х2, дістаємо:
звідки
EMBED Equation.3 (2)
EMBED Equation.3 (3)
Підносячи вирази (63) і (64) до степеня з будь-яким натуральним показником n, маємо:
EMBED Equation.3 (4)
EMBED Equation.3 (5)
Інтегруючи нерівність (65) на проміжку від 0 до 1, а нерівність (6) — від 0 до + EMBED Equation.3 , дістаємо:
EMBED Equation.3 .
Водночас виконуються такі співвідношення:
1) EMBED Equation.3 ;
2) EMBED Equation.3 ;
3) EMBED Equation.3 .
Звідси
EMBED Equation.3
Підносячи до квадрата і перетворюючи вираз (67), дістаємо:
EMBED Equation.3 .(7)
Із формули Вілліса
EMBED Equation.3
випливає, що обидва крайні вирази у (68) при п — EMBED Equation.3 прямують до EMBED Equation.3 , тому
EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3
Отже,
EMBED Equation.3