“Густина (щільність) розподілу імовірностей одновимірної і багатовимірної випадкових величин”Густина розподілу (щільність імовірності).
Нехай є неперервна випадкова величина EMBED Equation.3 з неперервною та диференційованою функцією розподілу EMBED Equation.3.
Густиною ймовірності EMBED Equation.3 називається похідна від функції розподілу випадкової величини.
EMBED Equation.3
Функція EMBED Equation.3 характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Інколи EMBED Equation.3 називають диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.
Терміни “щільність розподілу” або “щільність ймовірності” особливо показові при вживанні механічної інтерпретації розподілу. Тобто, EMBED Equation.3 буквально характеризує щільність розподілу маси по EMBED Equation.3, так звану лінійну щільність. Крива, що відображає щільність розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу.
Розглянемо закони розподілу і щільність їх ймовірностей, що найбільш часто зустрічаються:
1) Нормальний закон (закон Гаусса)
Щільність імовірності випадкових величин задається формулою:
EMBED Equation.3,
де EMBED Equation.3 — математичне сподівання
EMBED Equation.3 — середнє квадратичне відхилення.
2) Рівномірний розподіл
EMBED Equation.3
3) Показниковий закон
EMBED Equation.3,
де
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3.
4) Якщо неперервна випадкова величина приймає тільки додатні значення, а щільність ймовірності визначається
EMBED Equation.3,
де ?>0
то закон розподілу називається законом Максвела.
5) Закон Ст’юдента
EMBED Equation.3,
де к – параметр розподілу EMBED Equation.3 – значення гама функції, яка визначається:
EMBED Equation.3, при EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 – збігається, так як EMBED Equation.3
6) Закон розподілу EMBED Equation.3визначається щільністю ймовірності
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
де k – параметр розподілу.
7) Гама-розподіл має щільність ймовірностей
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
В теорії та на практиці зустрічаються випадкові величини, розподілені і по інших законах.
Властивості щільності розподілу.
1. Щільність розподілу — невід’ємна функція, тобто геометрично значить, що всі криві вищеEMBED Equation.3.
f(x)
EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.3, отже на усьому інтервалі х ? (–?;?) подія вірогідна
Теорема. Імовірність того, що неперервна випадкова величина EMBED Equation.3 прийме яке-небудь значення з інтервалу EMBED Equation.3 рівна визначеному інтегралу:
EMBED Equation.3.
Зауваження: функція розподілу EMBED Equation.3, як і всяка імовірність, є величина безрозмірна. Розмірність щільності розподілу обернена розмірності випадкової величини.
Приклад.
Знайти EMBED Equation.3 випадкової величини, розподіленої за нормальним законом розподілу.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Вводимо заміну
EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3, отже
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 — інтегральна формула Муавра–Лапласа.
Тоді EMBED Equation.3.
Функція розподілу випадкової величини.
Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь значення менше будь–якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.
Позначимо
EMBED Equation.3
При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна розглядати як функцію змінної величини X.
Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.
F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.
Властивості функції розподілу.
Теорема 1. Ймовірність того, що випадкова величина Y прийме значення , що належить відрізку [EMBED Equation.3], дорівнює прирощенню її функції розподілу на цій ділянці, тобто:
EMBED Equation.3
Теорема 2. Функція розподілу будь–якої випадкової величини являє собою неспадну функцію і змінюється від 0 до 1, при зміні x від EMBED Equation.3, тобто:
EMBED Equation.3EMBED Equation.3
Приклад:
Команда нараховує 2 стрільці, кількість балів, що вибиваються кожним з них після одного пострілу, являють собою випадкові величини X1 та X2 , які характеризуються наступними законами розподілу:
Причому результати пострілів одного з них не впливають на результати іншого.
Завдання:
1) Скласти закон розподілу числа балів, що вибиваються командою, якщо стрільці роблять по одному пострілу.
2) Знайти математичне сподівання для команди.
3) Знайти дисперсію.
4) Скласти та збудувати функцію розподілу.
Для розв’язання цієї задачі складемо таблицю:
Таким чином, закон розподілу числа отриманих балів команди буде:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для обчислення математичного сподівання випадкової величини х2 складемо закон розподілу величини EMBED Equation.3
2) Математичне сподівання
EMBED Equation.3
3) Знайдемо дисперсію
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
4) Функцію розподілу знаходимо за визначенням
EMBED Equation.3,
отже
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3.
Отже графік функції розподілу
4
5
6
7
8
9
10
0.5
1
0,75
0,25
F(x)
x