”Границя та неперервність функцій багатьох змінних”




Границя функції двох змінних
Означення. Число А називається границею функцій EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 якщо для будь-якого EMBED Equation.3 існує число EMBED Equation.3 , таке що в разі виконання нерівності
EMBED Equation.3 ,
справджується нерівність EMBED Equation.3 .
Позначають:
EMBED Equation.3 ,
або
EMBED Equation.3 .
Наслідок. EMBED Equation.3
Теорема 1.1. Якщо функція EMBED Equation.3 має границю при EMBED Equation.3 , то така границя тільки одна.
Теорема 1.2. Якщо функція EMBED Equation.3 має границю при EMBED Equation.3 то вона обмежена в деякому околі точки EMBED Equation.3 .
Теорема 1.3. Якщо EMBED Equation.3 , і в деякому виколотому околі точки EMBED Equation.3 виконується нерівність EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3 .
Наслідок. Якщо EMBED Equation.3 у деякому околі точки EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).
Теорема 1.4. Якщо EMBED Equation.3 ,то виконуються нерівності:
1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
3) EMBED Equation.3 .
Означення. Якщо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то функція EMBED Equation.3 називається нескінченно малою при EMBED Equation.3 .
Приклад. Обчислити EMBED Equation.3 .
Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
дістанемо:
EMBED Equation.3
Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.
Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.
Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:
Якщо EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 --функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють EMBED Equation.3 .Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.
Для функції двох змінних EMBED Equation.3 наближення до точки EMBED Equation.3 можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під кутом до осі EMBED Equation.3
Тощо.
Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях.
Очевидно що рівність EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки EMBED Equation.3 по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.
Приклад: довести, що EMBED Equation.3 не існує.
Наближаємося до точки (0,0) по прямій EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:
при EMBED Equation.3 границя дорівнює EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3 границя дорівнює EMBED Equation.3 і т. д.
Отже, наближаючись до точки (0,0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що EMBED Equation.3 не існує.
Зауваження. Для функції EMBED Equation.3 змінних можна розглядати EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ! так званих повторних границь.
У частковому випадку для функції двох змінних EMBED Equation.3 можна розглядати дві повторні границі в точці EMBED Equation.3 :
Наприклад, для функції EMBED Equation.3 маємо
EMBED Equation.3
Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.
Скажімо, у попередньому прикладі EMBED Equation.3 не існує, але повторні границі існують: EMBED Equation.3
Неперервність функцій двох змінних
Означення. Функція EMBED Equation.3 називається неперервною в точці EMBED Equation.3 , якщо
EMBED Equation.3
Означення. Функція EMBED Equation.3 неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.
Означення. Функцію EMBED Equation.3 , визначену на множині EMBED Equation.3 , називають неперервною за множиною EMBED Equation.3 в точці EMBED Equation.3 , якщо
EMBED Equation.3
Означення. Точка EMBED Equation.3 називається точкою розриву функції EMBED Equation.3 , якщо:
функція EMBED Equation.3 не визначена в точці EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
функція EMBED Equation.3 не визначена в точці EMBED Equation.3 , проте:
EMBED Equation.3 не існує;
EMBED Equation.3 існує, але не дорівнює EMBED Equation.3
Означення. Точка EMBED Equation.3 називається точкою усувного розриву функції EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 існує, але або EMBED Equation.3 не визначена в точці EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3
Неперервність складеної (складної) функції двох змінних
Означення. Нехай функція EMBED Equation.3 визначена на множині EMBED Equation.3 ,а змінні EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , у свою чергу, залежать від змінних EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 , причому обидві функції EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 визначені на множині EMBED Equation.3 . Якщо для будь-якого EMBED Equation.3 існує значення EMBED Equation.3 , то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 --проміжні, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 --незалежні змінні.

Приклад. Функція EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді
EMBED Equation.3
Теорема 1.6. нехай на множині EMBED Equation.3 визначено складену функцію EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 і нехай функції EMBED Equation.3 неперервні в точці EMBED Equation.3 , а функція EMBED Equation.3 неперервна в точці EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 Тоді складена функція EMBED Equation.3 неперервна в точці EMBED Equation.3 .
Доведення. За умовою теореми функція EMBED Equation.3 неперервна. За означенням неперервності функції в точці EMBED Equation.3 візьмемо довільне число EMBED Equation.3 , тоді існує EMBED Equation.3 , що з нерівності
EMBED Equation.3 (5)
випливає нерівність
EMBED Equation.3
Аналогічно функції EMBED Equation.3 за умовою теореми неперервні, тому існують такі EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , що з нерівностей
EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3
випливають нерівності
EMBED Equation.3 (6),(7)
Нехай EMBED Equation.3 . Тоді з нерівності
EMBED Equation.3 (8)
дістанемо нерівності (6) і (7).
З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо:
EMBED Equation.3 .
Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо
EMBED Equation.3 ,
а це означає, що складена функція EMBED Equation.3 неперервна в точці EMBED Equation.3 .