Геометрична прогресія та гармонічний ряд
1. Одним з найпростіших прикладів рядів є геометрична прогресія.
Ряд вигляду
EMBED Equation.3 (1)
називається геометричною прогресією, число q при цьому є знаменником прогресії.
Покажемо, що геометрична прогресія (1) збігається тоді і тільки тоді, коли її знаменник за модулем менше від одиниці:
EMBED Equation.3. (2)
нехай Sn – п-а часткова сума ряду (1). Тоді
EMBED Equation.3
Звідси
EMBED Equation.3 (3)
якщо EMBED Equation.3, то із (3) знаходимо
EMBED Equation.3
й, отже,
EMBED Equation.3 (4)
(якщо EMBED Equation.3, то EMBED Equation.3; чому це так?)
Якщо EMBED Equation.3, то із (3) маємо
EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3. Якщо q=1, то
EMBED Equation.3, при EMBED Equation.3.
Якщо q= - 1, то
EMBED Equation.3
Отже, послідовність Sn розбіжна.
Таким чином, в усіх трьох останніх випадках геометрична прогресія розбіжна.
2. Важливим у теорії рядів є гармонічний ряд, так називають ряд
EMBED Equation.3
Покажемо, що гармонічний ряд розбіжний.
Для будь-якого натурального числа EMBED Equation.3 існує натуральне число EMBED Equation.3 таке, що EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3. Нехай Sn – n–а часткова сума ряду. Тоді
Якщо EMBED Equation.3, то іноді кажуть, що розбіжний ряд EMBED Equation.3 має нескінчену суму і записують EMBED Equation.3 Таким чином, ряд EMBED Equation.3 має нескінчену суму, що дорівнює EMBED Equation.3, якщо a>0, або EMBED Equation.3, якщо a<0.
EMBED Equation.3 Оскільки EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3, з доведеної нерівності EMBED Equation.3 випливає EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3, тобто гармонічний ряд розбіжний.