Гармонічні коливання (незатухатухаючі)
х’’+ EMBED Equation.3 x= 0, (31)
де EMBED Equation.3 - деяке додатне число.
Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція
х == A cos( EMBED Equation.3 t+?) (32)
для будь-яких сталих A і ? є розв'язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв'язок рівняння (31).
Функція (32) для будь-яких заданих А, EMBED Equation.3 і ? описує гармонічний коливальний процес. Число |А| називається амплітудою, а число ? - початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число EMBED Equation.3 називають частотою коливання.
Число коливань за одиницю часу визначають за формулою ?= EMBED Equation.3 .
Як бачимо, загальний розв'язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду А і початкову фазу EMBED Equation.3 . Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,
x(t0)=x0, x’(t0)=v0. (33)
Тоді для визначення сталих А і EMBED Equation.3 дістанемо таку систему рівнянь:
Звідки A2cos2(? t0+?) + A2sin2(? t0+?)=x02+ EMBED Equation.3 ,
A2=x02+ EMBED Equation.3 .
Можна вважати, що A>0, тоді A= EMBED Equation.3 .
Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригонометрії визначають початкову фазу a.
З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв'язку рівняння (31).
Справді, EMBED Equation.3 Поклавши, що EMBED Equation.3 дістанемо:
EMBED Equation.3
До такого диференціального рівняння приводять, наприклад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики – коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.
Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розглянуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з'являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).