План
Границя числової послідовності.
Нескінченно малі числові послідовності.
Нескінченно великі числові послідовності.
Основні теореми про границі.
Границя функції неперервного аргументу.
1. Границя числової послідовності.
У курсі «Алгебра і початки аналізу» вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарними способами. В основі методів, за допомогою яких удається дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.
З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функціональної залежності, коли областю визначення функції у = f (х) є множина натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають yn = f(n), п = 1, 2, ... .
Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y1, 2, ..., ул,…, в якому y1 називають першим членом послідовності, y2 — другим і т. д., yn — n-м, або загальним членом послідовності. Числову послідовність вважають заданою, якщо задано її загальний член.
Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (уп) або (ап), де уп, ап — n-ні члени послідовностей.
Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: уп= y1 + d (п - 1), уп = у1qn-1, п = 1, 2, ..., де d — різниця арифметичної прогресії; q — знаменник геометричної прогресії.
Розглянемо ще приклади числових послідовностей.
Приклад. Розглянемо послідовність, загальний член якої заданий формулою уп = EMBED Equation.3 , п = 1, 2, ... .
Дістанемо таку числову послідовність:
EMBED Equation.3 (2)
У послідовності (2) члени із зростанням числа п спадають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n, тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |уп — 0| при зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) знайдеться член yN такий, що для всіх п > N буде справджуватися нерівність
EMBED Equation.3 (3)
де EMBED Equation.3 — довільне додатне число. Надаючи є довільних додатних значень, щоразу матимемо шукане число N.
Щоб знайти N для будь-якого наперед заданого додатного числа EMBED Equation.3 , підставимо в нерівність (3) значення уп і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п. Дістанемо:
EMBED Equation.3 (4)
Звідси п > EMBED Equation.3 . Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п, які задовольняють нерівність (4).
Тому за число N можна взяти число EMBED Equation.3 , якщо воно ціле, або найбільшу цілу частину цього числа, якщо це число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таблиці.
Таблиця
Дамо означення границі числової послідовності. Число а називається границею послідовності у1, y2, y3,…,уп,..., якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N = N ( EMBED Equation.3 ), що для всіх п > N виконується нерівність
EMBED Equation.3 . (8)
Символічно це записують так:
EMBED Equation.3
Ми будемо користуватися першим позначенням (lim — від латинського слова «limes», що означає «границя»).
2. Нескінченно малі числові послідовності
Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовностям.
Послідовність уп = f (п), п — 1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо EMBED Equation.3 уп = 0.
Наприклад, послідовності EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 є нескінченно малими.
Якщо у нерівності (8) покласти а = 0, то дістанемо нерівність | уп | < EMBED Equation.3 , п > N. Тому нескінченно малу числову послідовність можна означити ще й так.
Числова послідовність (уп) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатного числа EMBED Equation.3 існує натуральне число N таке, що для всіх п > N виконується нерівність | уп | < EMBED Equation.3 .
Нескінченно малі послідовності позначають через (ап), (?п), ( EMBED Equation.3 n) і т. д.
Наступні теореми встановлюють тісний зв'язок між послідовністю (уп), яка має границю, і нескінченно малою послідовністю.
Теорема 1. Якщо EMBED Equation.3 уп = a, то послідовність (аn) = (yn – a) є нескінченно малою.
Доведення. Яке б не було число EMBED Equation.3 > 0, знайдеться таке N, що для всіх п > N виконуватиметься нерівність | уп — а | < EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 — нескінченно мала послідовність.
Справедлива і обернена теорема.
Теорема 2. Якщо різниця між уп і числом а є нескінченно малою послідовністю, то а є границею послідовності (уп).
Доведення. Позначимо ап = уп — а. Тоді уп — а є нескінченно малою послідовністю. Тобто для будь-якого числа EMBED Equation.3 > 0 знайдеться таке N, що для всіх п > N виконується нерівність | ап | < EMBED Equation.3 , або, що те саме, |уп — а| < EMBED Equation.3 . Отже, згідно з означенням границі, EMBED Equation.3 yn = а. Доведені теореми дають змогу навести ще й таке означення границі послідовності.
Число а називається границею числової послідовності (уп), якщо різниця між уп і числом а є нескінченно малою послідовністю, тобто (уп — а) = ( EMBED Equation.3 п), де ( EMBED Equation.3 ) — нескінченно мала послідовність.
Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.
Властивівть 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Перш ніж сформулювати наступну властивість, наведемо таке означення.
Послідовність (уп) називається обмеженою, якщо існує число М > 0, що для всіх значень п = 1,2, ... виконується нерівність
| уп | < М.
Властивість 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.
3. Нескінченно великі числові послідовності
Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.
Означення. Послідовність (уп) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М > 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > М. Це записують так:
EMBED Equation.3
уп при цьому називають нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовності ((—1)пп), (п2), (п) є нескінченно великі.
Доведемо, наприклад, що ((—1)пп) є нескінченно велика послідовність. Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п, маємо |уп|=(—1)пп = п > М. Члени заданої послідовності необмежене зростають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М1 = 100, то |у|=п>100, якщо п = 101, 102, ... .
Отже, EMBED Equation.3 .
Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послідовність (уп), де
EMBED Equation.3
є необмеженою і не є нескінченно великою.
Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.
Теорема. Якщо (уп)є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність ( EMBED Equation.3 ) = EMBED Equation.3 є нескінченно малою.
Доведення. Оскільки (уп) є нескінченно велика послідовність, то яке б ми не взяли число М > 0, існує таке число N, що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > M. Нехай М = EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 — довільне додатне число.
Тоді | уп | > EMBED Equation.3 (n > N), або | аn | < EMBED Equation.3 (n > N). Теорему доведено.
Обернена теорема. Якщо послідовність ( EMBED Equation.3 ) є нескінченно мала числова послідовність і EMBED Equation.3 для всіх n = 1, 2, ..., то послідовність (уп)= = EMBED Equation.3 є нескінченно велика.
Доведення. Оскільки за умовою теореми ( EMBED Equation.3 ) — нескінченно мала послідовність, то для будь-якого числа EMBED Equation.3 > 0, наприклад, для EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , де М > 0 — будь-яке дійсне число, існує натуральне число N = N (М) таке, що для всіх значень п > N виконується нерівність | EMBED Equation.3 | < EMBED Equation.3 .
Позначимо уп = EMBED Equation.3 . Тоді
EMBED Equation.3
Теорема доведена.
4. Основні теореми про границі
Знаходження границі числової послідовності на основі "тільки означення границі викликає часто певні труднощі, оскільки: треба наперед знати «підозріле» на границю число; не кожного разу за заданим EMBED Equation.3 можна знайти N.
Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей користуються такими теоремами.
Теорема 1. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xn+yn) має границю а + b.
EMBED Equation.3
Теорема 2. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а, b. Тоді послідовність (хп • уп) має границю, яка дорівнює а • b, тобто
EMBED Equation.3
Теорема 3. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють EMBED Equation.3 , причому EMBED Equation.3 . Тоді послідовність EMBED Equation.3 має скінченну границю, яка дорівнює EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.
Теорема 5. Якщо послідовність (хп) має границю а, то ця границя єдина.
Приклад 1. Знайти EMBED Equation.3 (За означенням п! = EMBED Equation.3 , читають «ен факторіал».)
Розв'язання. Використаємо теорему про границю суми. Для цього з'ясуємо, чи існують границі доданків.. Послідовності EMBED Equation.3 , є нескінченно малими , тобто EMBED Equation.3 Послідовність (sin n2) є обмеженою: | sin n2 | EMBED Equation.3 1. Отже,
EMBED Equation.3
Границі доданків існують. Тому
EMBED Equation.3
5. Границя функції неперервного аргументу
Розглянемо функцію у = f (х), де аргумент змінюється неперервно (набуває всіх значень з певного проміжку EMBED Equation.3 , крім, можливо, однієї внутрішньої точки даного проміжку).
Наведемо два приклади.
Приклад 1. Простежимо, як поводить себе функція f (х) = EMBED Equation.3 + 2, коли значення аргументу х як завгодно близько наближається до числа 2. Символічно це позначають так: х ? 2. З малюнка 105 випливає, що коли х ? 2 зліва або справа, то відповідні значення функції f (х) як завгодно близько наближаються до числа 4, тобто ці значення мало відрізнятимуться від числа 4.
У такому разі кажуть, що функція f (х) = EMBED Equation.3 + 2 має границею число 4, якщо х ? 2, або в точці х0 = 2, Символічно це записують так: EMBED Equation.3 .
Число А називається границею функції у = f (х) у точці х0 , якщо для будь-якого числа EMBED Equation.3 > 0 існує таке числе EMBED Equation.3 > 0, що для всіх EMBED Equation.3 і таких, що EMBED Equation.3 , якщо виконується нерівність EMBED Equation.3
Символічно це записують так:
EMBED Equation.3
Приклад. Довести, що EMBED Equation.3
Розв'язання. Під знаком граниш є лінійна функція y=kx+b(k=2,b=1).З попереднього прикладу випливає, що лінійна функція у = kx + b у будь-якій точці х? a має границю А. Границя дорівнює значенню цієї функції у точці х = а, тобто А = ka + b. Отже, у даному прикладі А = 2 • 1 + 1 = 0. Задача розв'язана.
