Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною величиною, називається гіперболою.
- канонічне рівняння гіперболи.
Досліджуємо форму гіперболи.
1. Знайдемо точки перетинання з осями.
OX: y = 0, , , A(a;0) , B(-a;0).
OY: x = 0, , .
Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.
2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і початку координат.
3. Þ Þ .
Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.
Побудуємо дану криву.
Y F2(c;0) F1(-c;0) b -b -a a 0 X
Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а параметр b називається мнимою піввіссю.
Визначення 4. Прямі називаються асимптотами гіперболи.
При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.
Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі називається ексцентриситетом.
.
Визначення 6. Криві елліпс, гіпербола, окружность називаються кривими другого порядку з ексцентриситетом, причому для окружності , для еліпса і для гіперболи . При гіпербола вироджується в дві рівнобіжні прямі.
Задачі з гіперболою
Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.
1 крок. Будуємо креслення відповідно до умов задачі. По визначенню маємо дві точки — фокуси. Відзначимо ці точки на одній горизонталі, назвемо їх INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.535C!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET . Проведемо через ці точки пряму лінію. Ця лінія буде віссю ОХ. Із середини відрізка INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.54D0!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET проведемо перпендикуляр. Це буде вісь OY. У такий спосіб ми ввели систему координат і тепер кожна точка на площині має координати.
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.569A!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET
2 крок. Візьмемо поточну точку INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.5ADC!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET , тобто лежачу на гіперболі.
3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з'єднуємо відрізками прямих точку М с фокусами.
4 крок. Зв'яжемо алгебраїчним вираженням координати поточної точки М(x;y) з даними по визначенню гіперболи. Позначимо відстань INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.5DE8!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET (фокусна відстань) через 2с. По визначенню гіперболи різниця відстаней від точки М до фокусів є величина постійна незалежно від того, де на гіперболі знаходиться точка М. Позначимо цю відстань через 2а:
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.6030!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET
Розпишемо відстань INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.6188!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET по формулі (1). Для цього ми повинні знати координати фокусів INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.62F0!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET (координати точки М — (х;у)). Т.к. відстань INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.6406!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET те фокуси мають координати INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.6514!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET Тоді по формулі (1) маємо:
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.666E!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET
Підставивши ці вираження в рівність (17), одержимо:
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.6AA8!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET .
Цим рівнянням зв'язані координати поточної точки М(х;у) з даними задачі. Отже, воно є рівнянням гіперболи.
5 крок. Спростимо отримане вираження, двічі звівши його в квадрат і позначивши через
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.6E74!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET (11)
Через громіздкість викладень приводити їхній не будемо. Одержимо:
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.6FFE!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET
Ми одержали канонічне рівняння гіперболи. Для неї як і для еліпса існує поняття ексцентриситету, що позначається буквою (епсилон) і характеризує ступінь сплющеності гіперболи. Ексцентриситет обчислюється по формулі:
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.72E8!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET Побудова гіперболи.
Будуємо прямокутну систему координат. На осі ОХ від початку координат відкладаємо вліво і вправо відрізки а (довільної довжини). А на осі OY — відрізки b. Через точки на осях проводимо прямі, рівнобіжні осям координат. Одержали прямокутник зі сторонами 2а і 2b. Проведемо діагоналі прямокутника. Вони називаються асимптотами гіперболи. Галузі гіперболи як завгодно близько наближаються до асимптотам, але не перетинають їх. Вершини гіперболи знаходяться на відстані а від початку координат вліво і вправо. Побудуємо галузі гіперболи. Відстань АВ = 2а — називається дійсною віссю гіперболи, CD = 2b — мнимою віссю гіперболи. З рівності (11) випливає, що INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.78EC!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET , тобто з > 0 = ОК і фокуси INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.79F8!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET будуть розташовуватися усередині вісей гіперболи. INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.7B22!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET
2. Побудувати гіперболу INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.859E!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET і визначити її фокуси й ексцентриситет.
Рішення: Щоб побудувати гіперболу, треба знати параметри а і b, а для цього рівняння гіперболи треба привести до канонічного виду, тобто
Отже , INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.8814!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET .
Будуємо прямокутну систему координат, на осі ОХ відкладаємо вліво і вправо від початку координат відрізки 4,2, на осі OY нагору і вниз — відрізки 2,1. Проводимо прямі, рівнобіжні осям координат, одержуємо прямокутник зі сторонами INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.8E0E!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET 8,4 і INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.8E9C!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET 4,2. Проведемо діагоналі цього прямокутника, це асимптоти гіперболи, креслимо галузі гіперболи.
Знайдемо фокуси. Координати фокусів INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.901A!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET . Для перебування зі скористаємося співвідношенням (11).
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.91C0!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET
Координати фокусів : INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.93F6!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET
Знайдемо ексцентриситет гіперболи:
INCLUDEPICTURE "http://www.kgafk.ru/www/kgafk.nsf/c5d9bf6a7be7d30ac325688f00241cb1/d05c11ebeb101bc0c3256ba100409af0/Body/0.958E!OpenElement&FieldElemFormat=gif" \* MERGEFORMATINET . Ексцентриситет гіперболи завжди більше 1.
