Під похибкою будемо розуміти величину, що характеризує точність результату. Похибки, що виникають при розв’язуванні задачі, можна поділити на три групи:
неусувна похибка
похибка методу
похибка обчислень
Неусувна похибка є наслідком
а) неточності вхідних даних, що входять до математичного описання задачі,
б) невідповідності математичної моделі реальній задачі (інколи цю похибку називають похибкою математичної моделі).
Похибка методу пояснюється тим, що для розв’язування математичної задачі доводиться використовувати наближені методи, оскільки отримання точного розв’язку необмеженої або неприйнятно великої кількості арифметичних операцій, а в багатьох випадках і просто неможливо.
Похибка обчислень виникає при вводі-виводі даних до ПЕОМ та при виконанні математичних операцій.
Основна задача теорії похибок – знаходження області невизначеності результату.
Розглянемо процес заокруглення чисел. Якщо число x=4,167493 і його потрібно заокруглити до п’яти десяткових знаків після коми, то будемо мати x*=4,16749. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається менше 5, то попередня цифра не змінюється. Якщо x=4,167493 потрібно заокруглити до чотирьох знаків після коми, то x*=4,1675. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює, або більше 5, то попередня цифра в числі збільшується на 1.
Зауваження. Інколи вважають, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює 5, а попередня до нього цифра парна, то вона не змінюється, якщо ж попередня цифра непарна, то вона збільшується на одиницю.
Розглянемо приклади заокруглення чисел:
x=2,8497621 x=345,453275
x*=2,849762 x*=345,45328
x*=2,84976 x*=345,4533
x*=2,8498 x*=345,453
x*=2,850 x*=345,45
x*=2,85 x*=345,5
x*=2,8 x*=345
x*=3 x*=3,5·102
x*=3·102
Визначимо, що при заокруглені цілого числа відкинуті знаки не можна заміняти нулями, а потрібно застосовувати множення на відповідний степінь 10.
1. Абсолютна та відносна похибки
Нехай x – точне значення деякої величини, а x* – її відоме наближене значення.
Абсолютною похибкою числа x* називається деяка величина ?x*, що задовольняє умові
EMBED Equation.3 . (1)
Відносною похибкою числа x* називається деяка величина ?x*, що задовольняє умові
EMBED Equation.3 . (2)
Відзначимо, що точність результату краще характеризує відносна похибка. Інформацію про абсолютну та відносну похибки можна використати для наступного представлення числа x:
EMBED Equation.3
Значущими цифрами числа називаються всі цифри в його запису, починаючи з першої ненульової зліва.
Наприклад:
x=4,570345 – всі цифри в запису цього числа значущі;
x=0,007614 – значущі цифри тільки 7,6,1,4;
x=0,03105600 – значущі цифри 3,1,0,5,6,0,0 (два останні нулі в запису числа є значущими);
а) x=3750000 – всі цифри значущі;
б) x=3,75·106 – значущі цифри тільки 3,7,5.
Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує ½ одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.
Приклад 1. Нехай x*=14,537 і відомо, що ?(x*)=0,04. Скільки вірних значущих цифр має число x*?
Розв’язання. Маємо ?(x*)>0,5·10–2 і ?(x*)<0,5·10–1. Отже у числа x* вірними будуть значущі цифри 1,4,5, а цифри 3 і 7 – сумнівні.
Приклад 2. Нехай x*=8,677142 і ?(x*)=3·10–4. Скільки вірних значущих цифр має число x*?
Розв’язання. Оскільки ?(x*)=0,3·10–3<0,5·10–3, то x* має вірні три значущі цифри після коми, тобто вірними будуть значущі цифри 8,6,7,7.
Приклад 3. Нехай x*=0,046725 і ?(x*)=0,008. Скільки вірних значущих цифр має число x*?
Розв’язання. Маємо ?(x*)=0,0·10–2>0,5·10–2. Отже у числа x* всі значущі цифри сумнівні.
2. Пряма задача теорії похибок
В деякій області G n-вимірного простору розглядається неперервно-диференційована функція y=f(x1, x2,…, xn). Припустимо, що потрібно обчислити значення цієї функції в точці (x1, x2,…, xn)?G, а відомі тільки наближені значення EMBED Equation.3 такі, що точка EMBED Equation.3 , та їх похибки.
обчислимо наближене значення EMBED Equation.3 та оцінимо його абсолютну похибку.
Використовуючи формулу Лагранжа, будемо мати
EMBED Equation.3 , (3)
де
EMBED Equation.3 .
При практичних розрахунках окрім оцінки (3) використовують оцінку
EMBED Equation.3 , (4)
яку називають лінійною оцінкою похибки.
Виходячи з оцінки (4), знайдемо відносну похибку:
EMBED Equation.3 . (5)
Використовуючи формули (4), (5), визначимо похибки результатів математичних операцій.
Похибка суми.
EMBED Equation.3 .
Оскільки EMBED Equation.3 , то з (4) будемо мати
EMBED Equation.3 , (6)
а з (5) відповідно
EMBED Equation.3 . (7)
Аналогічно знаходимо похибки для інших математичних операцій.
Похибка різниці.
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , (8)
EMBED Equation.3 . (9)
Похибка множення.
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , (10)
EMBED Equation.3 . (11)
Похибка ділення.
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , (12)
EMBED Equation.3 . (13)
Відзначимо, що для суми та різниці абсолютні похибки додаються, а для операцій множення та ділення складаються відносні похибки. З формули (9) видно, що якщо віднімаються два близьких числа, то відносна похибка результату може значно зрости. А при діленні на досить мале число може значно зрости абсолютна похибка.
Розглянемо деякі приклади.
Приклад 4. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки отриманих наближених чисел:
1) 0,1545; 2) 1,343; 3) –372,75.
Розв’язання.
1) x=0,1545. Заокруглення до трьох значущих цифр дає x*=0,155, тоді ?(x*)=0,0005=5·10–4, а відносна похибка
?(x*)=5?10–4/0,155?0,32?10–4.
2) x=1,343. Тоді x*=1,34, ?(x*)=| x*– x|=0,003. Відповідно відносна похибка
?(x*)=3?10–3/1,34=2,2?10–3.
3) x=–372,75. Тоді x*=–373, ?(x*)=0,25, а
?(x*)=0,25/373=6,7?10–4.
Приклад 5. Визначити кількість вірних цифр в числі x*, якщо відома його відносна похибка:
1) x*=22,351, ?(x*)=0,1;
2) x*=9,4698, ?(x*)=0,1·10–2;
3) x*=47361, ?(x*)=0,01;
Розв’язання.
Обчислимо абсолютну похибку ?(x*)=x*?(x*)=2,2351. Тоді будемо мати, що в числі x* вірною є тільки цифра 2, тобто одна вірна цифра.
Обчислимо абсолютну похибку ?(x*)=x*?(x*)=9,4698·0,1·10–2=0,0094698. Тоді в числі x* будуть вірними дві цифри 9 та 4.
Абсолютна похибка буде дорівнювати ?(x*)=47361·0,01=473,61. Отже в числі x* будуть вірними дві цифри 4 та 7.
Визначимо, що поведінка обчислювальної похибки залежить від правил заокруглення та алгоритму чисельного розв’язування задачі.
Приклад 6. На гіпотетичній ЕОМ з мантисою довжини чотири знайти суму
S=0,2764+0,3944+1,475+26,46+1364
а) сумуючи від меншого доданку до більшого;
б) сумуючи від більшого доданку до меншого.
Розв’язання.
а) Маємо S2=0,2764+0,3944=0,6708, S3=S2+1,475. Вирівнюючи порядки у цих двох доданків будемо мати S3=1,475+0,671=2,146. Аналогічно далі
S4=S3+26,46=2,15+226,46=28,61,
S=S5=S4+1364=29+1393.
б) Маємо S2=1364+26,46=1364+26=1390,
S3=S2+1,475=1390+1=1391,
S4=S3+0,3944=1391,
S=S5=S4+0,2764=1391.
Враховуючи, що точне значення S=1392,6058, бачимо, що сумування потрібно проводити починаючи з менших доданків. В протилежному випадку може мати місце значна втрата значущих цифр.
Приклад 7. Нехай числа EMBED Equation.3 =1,417744688 та EMBED Equation.3 =1,414213562 задані з десятьма вірними значущими цифрами. Скільки вірних значущих цифр матиме число EMBED Equation.3 ?
Розв’язання. Віднімаючи, отримаємо x*=0,003531126. Позначимо EMBED Equation.3 =1,417744688, EMBED Equation.3 =1,414213562. Тоді абсолютні похибки EMBED Equation.3 . Абсолютна похибка різниці EMBED Equation.3 буде дорівнювати EMBED Equation.3 . Оскільки 10–9<0,5·10–8, то робимо висновок, що число x* має шість вірних значущих цифр 3,5,3,1,1,2.
Відзначимо, що те ж саме значення можна отримати, подавши x* у вигляді
EMBED Equation.3 ,
причому для цього достатньо взяти величини EMBED Equation.3 достатньо взяти з сімома вірними значущими цифрами.
Приклад 8. Оцінити похибку обчислення функції
EMBED Equation.3 ,
якщо x=0,15?0,005, y=2,13?0,01, z=1,14?0,007.
Розв’язання. Згідно з формулою (4), для абсолютної похибки результату отримаємо
EMBED Equation.3
Знайдемо EMBED Equation.3 .
Тоді EMBED Equation.3 .
Приклад 9. Висота h та радіус основи циліндра виміряні з точністю до 0,5%. Яка відносна похибка при обчисленні об’єму циліндра, якщо ?* 3,14?
Розв’язання. EMBED Equation.3 . Більш точне значення ?=3,14159265, отже ?(?*)=0,16?10–2, а ?(?*)=0,16?10–2/3,14=0,0005=0,05%. Тоді, згідно до формули про відносну похибку добутку будемо мати
EMBED Equation.3 .
Приклад 10. Ребро куба виміряне з точністю до 0,02 см. дорівнює 8 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчисленні об’єму куба.
Розв’язання. позначимо сторону куба через a. Тоді EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 см. Застосовуючи формулу (4), будемо мати EMBED Equation.3 =(3?82?0,02)см3=3,84см3, а EMBED Equation.3 .
Приклад 11. Визначити відносну похибку числа, що записане в ЕОМ з счислення ? та довжиною мантиси t.
Розв’язання. Число x* можна записати в ЕОМ у вигляді
EMBED Equation.3 ,
де ? визначає порядок числа, di – цілі, причому EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Нехай точне значення числа дорівнює
EMBED Equation.3 .
Тоді
EMBED Equation.3 .
Отже EMBED Equation.3 .
Якщо ж числа вводяться за правилами заокруглення, то EMBED Equation.3 і тоді будемо мати, що
EMBED Equation.3 .
3. Обернена задача теорії похибок
Обернена задача теорії похибок полягає в наступному: з якою точністю потрібно задати значення аргументів EMBED Equation.3 функція EMBED Equation.3 , щоб похибка значення функції EMBED Equation.3 не перевищувала заданої величини ?.
Для функції однієї змінної y=f(x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою
EMBED Equation.3 . (14)
Для функції декількох змінних EMBED Equation.3 задача розв’язується за допомогою наступних рекомендацій:
а) принцип рівних впливів, тобто вважаємо, що всі доданки EMBED Equation.3 рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою
EMBED Equation.3 ; (15)
б) вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо
EMBED Equation.3 ,
де
EMBED Equation.3 .
Приклад 12. Сторона квадрату дорівнює 2м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка знаходження площі не перевищувала 1см2?
Розв’язання. Позначимо сторону квадрату через x; S=x2, S'=2x. Тоді за формулою (14) отримаємо
EMBED Equation.3 см.
Приклад 13. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти вільний член квадратного рішення
x2–2x+lg2=0,
щоб отримати корені рівняння з чотирма вірними значущими цифрами?
Розв’язання. Для коренів рівняння (17) маємо EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Оскільки EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 . Отже за змістом задачі EMBED Equation.3 потрібно визначити так, щоб EMBED Equation.3 , а для EMBED Equation.3 , щоб EMBED Equation.3 . Позначимо z=ln2 і розглянемо функцію EMBED Equation.3 . З’ясуємо, з якою точністю потрібно обчислити z* в околі точки 0,3, щоб EMBED Equation.3 , то використовуючи формулу (14), будемо мати
EMBED Equation.3 .
Звідси робимо висновок, що для знаходження кореня x1 потрібно обчислити lg2 з трьома вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,301.
Аналогічно, розглядаючи функцію EMBED Equation.3 отримаємо, що для знаходження кореня x2 з точністю 0,5·10–4 потрібно обчислити lg2 з чотирма вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,3010.
Приклад 14. В п’ятизначних логарифмічних таблицях дано значення десяткових логарифмів з точністю до ?=0,5?10–6. Оцінити величину можливої похибки при знаходженні числа за його логарифмом, якщо саме число знаходиться між 300 та400.
Розв’язання. Позначимо EMBED Equation.3 . За умовою задачі EMBED Equation.3 і потрібно знайти EMBED Equation.3 . Маємо EMBED Equation.3 . Тоді за формулою (14) будемо мати
EMBED Equation.3 .
отже x можна знайти принаймні з трьома вірними значущими цифрами після коми.
Задачі
Задача 1. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближених чисел:
3,2523
0,17153
0,02103
1,445
?0,0035392
?583,71
0,004966
315,55
71,534
Задача 2. Визначити кількість вірних цифр в числі x, якщо його відносна похибка
x=2,7981 , ?(x)=0,1?10?2;
x=12,8370 , ?(x)=1%;
x=0,3328 , ?(x)=0,2?10?1;
x=372,8 , ?(x)=2%;
x=23,652 , ?(x)=0,1;
x=17261 , ?(x)=1%;
x=0,03575 , ?(x)=0,5?10?2;
x=0,22453 , ?(x)=10%;
x=0,000335 , ?(x)=0,15;
x=6,3495 , ?(x)=0,1%.
Задача 3. Визначити, яка рівність точніша:
6/7=0,857 , EMBED Equation.3 =2,19;
2/21=0,095 , EMBED Equation.3 =4,69;
7/19=0,895 , EMBED Equation.3 =7,21;
49/13=3,77 , EMBED Equation.3 =3,74.
Задача 4. Якою буде відносна похибка, якщо число ? наблизити числом 3,14?
Задача 5. Записати число ? з п’ятьма вірними значущими цифрами та визначити відносну похибку отриманого наближення.
Задача 6. Знайти EMBED Equation.3 з трьома вірними значущими цифрами.
Задача 7. При вимірі радіуса кола з точністю до 0,5 см, отримали число 14 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі кола.
Задача 8. Кожне ребро куба, виміряне з точністю 0,02 см виявилося рівним 15 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі куба.
Задача 9. Визначити відносну похибку обчислення повної поверхні зрізаного конуса, якщо радіуси його основ R і r та твірна ?, виміряні з точністю до 0,01 см, рівні: R=23,64 см, r=17,31 см, ?=10,21 см.
Задача 10. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1, x2,
де
x1=5,49 , x2=7,6;
x1=15,1 , x2=2,543;
x1=0,03 , x2=12,5.
Задача 11. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1, x2, x3,
де
x1=381,56 , x2=6157 , x3=0,0053;
x1=0,147 , x2=653 , x3=76,3;
x1=1,28 , x2=6,3 , x3=2,173.
Задача 12. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1 x2+ x2 x3,
де
x1=2,104 , x2=1,935 , x3=0,845.
Задача 13. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1/x2
x1=526,677 , x2=829;
x1=745,8371 , x2=336,2;
x1=6,3 , x2=449;
x1=5,684 , x2=5,032.
Задача 14. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
EMBED Equation.3 ,
де x1=0,93 , x2=1,123.
Задача 15. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
EMBED Equation.3 ,
де x1=3,15 , x2=0,831 , x3=1,123.
Задача 16. Оцінити абсолютну та відносну похибки обчислення функції:
EMBED Equation.3 ,
при x =2,34?0,01, y=1,25?0,02, z=3,05?0,02;
EMBED Equation.3 ,
при x =0,757?0,001, y=21,7?0,05, z=1,84?0,05;
EMBED Equation.3 ,
при x =4?0,1, y=3?0,05, z=1?0,08;
EMBED Equation.3 ,
при x =1,02?0,01, y=2,35?0,02, z=3,04?0,01;
EMBED Equation.3 ,
при x =5,8?0,01, y=0,65?0,02, z=1,1753?0,0002;
EMBED Equation.3 ,
при x =27,51?0,001, y=21,78?0,003, z=32,5?0,06;
EMBED Equation.3 ,
при x =36,5?0,01, y=26,35?0,005, ?=3,14.
Задача 17. Знайти межі абсолютної та відносної похибки аргументів, які дозволяють обчислити з чотирма вірними знаками функції
EMBED Equation.3 ,
де x1=2,10415 , x2=1,93521 , x3=0,84542.
Задача 18. Оцінити похибку в визначенікута x=60? за п’ятизначною таблицею сінусів.
Задача 18. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти значення аргументу x, щоб обчислити значення функції EMBED Equation.3 з точністю до 0,1?10–5?
Задача 19. З якою точністю потрібно обчислити EMBED Equation.3 , щоб відносна похибка обчислення коренів рівняння
EMBED Equation.3
не перевищувала 10–3?
Задача 20. З якою відносною похибкою треба виміряти висоту h =0.5 м та радіус основи r=10 для того, щоб відносна похибка обчислення об’єма конуса не перевищувала 0,1%?
