Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матрицьВідомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:
EMBED Equation.3
Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.
З матрицями можна здійснювати такі операції:
Множити на число
Приклад: EMBED Equation.3
Додавати матриці однакових розмірів:
Приклад: EMBED Equation.3
Множити матриці:
Приклад: EMBED Equation.3
Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме: EMBED Equation.3
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи EMBED Equation.3 , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.
Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо EMBED Equation.3
Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли EMBED Equation.3 .
Беспосередньо можна первірити, що для
EMBED Equation.3
Визначення: Число ? називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик EMBED Equation.3 такий, що АХ=?Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню ?.
Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню ?, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає ?. Власне значення є коренем характеристичного рівняння EMBED Equation.3 . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.
Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:
1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні значення по модулю < r.
3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Нехай EMBED Equation.3 .
Тоді EMBED Equation.3 .
Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
EMBED Equation.3 .
Це квадратне рівніння з дискримінантом:
EMBED Equation.3
І тому
EMBED Equation.3
Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=?1.
Знайдемо власний вектор EMBED Equation.3 , що відповідає власному значенню ?1 з рівності
EMBED Equation.3
Тоді
EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3
Враховуючи, що
EMBED Equation.3
перепишемо систему у вигляді:
EMBED Equation.3
Але EMBED Equation.3 і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.
Знайдемо x1 з першого рівняння системи EMBED Equation.3
Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що EMBED Equation.3 ,тому що поклавши отримаємо x1>0.
Враховуючи, що b>0 треба довести, що EMBED Equation.3 ,
але це випливає з того, що EMBED Equation.3 , бо cb>0.
Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду EMBED Equation.3 , де А1, А2 - квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k) відповідно. Для 2х2 матриць EMBED Equation.3 це означає, що EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.
Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що EMBED Equation.3 (тобто всі елементи додатні). Тоді
1. EMBED Equation.3 (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)
2. Матриця EMBED Equation.3 - має однакові рядки.
3. Всі елементи цих рядків додатні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Запишемо стохастичну матрицю у вигляді EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3
Запишемо її характеристичне рівняння: EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
EMBED Equation.3
І тому
EMBED Equation.3
З урахуванням EMBED Equation.3 маємо EMBED Equation.3 , але якщо EMBED Equation.3 , то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 і тоді Pn містить нулі EMBED Equation.3 , що суперечить умові. Таким чином EMBED Equation.3 .
Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню EMBED Equation.3 відповідає власний вектор EMBED Equation.3 , де x1=x2, тобто, наприклад EMBED Equation.3 власний вектор. Знайдемо власний вектор EMBED Equation.3 , що відповідає власному значенню EMBED Equation.3 .
За визначенням
EMBED Equation.3
Звідки
EMBED Equation.3
Згадуючи, що EMBED Equation.3 отримуємо
EMBED Equation.3
Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 звідки EMBED Equation.3 , але EMBED Equation.3 , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: EMBED Equation.3 , а тоді матриця EMBED Equation.3 мала б нульовий елемент EMBED Equation.3 , що суперечить умові. Тому можна записати, що EMBED Equation.3
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.
Позначимо EMBED Equation.3 .
Оскілки EMBED Equation.3 , то існує S-1. Перепишемо рівняння EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 у матричній формі
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Відкіля EMBED Equation.3 і взагалі EMBED Equation.3
Знайдемо границю Pn:
EMBED Equation.3
Твердження 1 теореми доведено.
Доведемо тепер, що рядки матриці EMBED Equation.3 однакові. Для цього обчиcлимо EMBED Equation.3 .
Оскільки EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 Ми бачимо, що рядки матриці EMBED Equation.3 - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність EMBED Equation.3
Для того, щоб довести треба довести, що EMBED Equation.3 , треба довести, що EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
Маємо
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , тому що p>0 і q >0
Теорема доказана.
Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць EMBED Equation.3
Зауваження2 Позначимо EMBED Equation.3 рядки граничної матриці EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 можна знайти з умови:
EMBED Equation.3
Доведення.
Оскільки EMBED Equation.3
Зівдки EMBED Equation.3
Або EMBED Equation.3
Звідки EMBED Equation.3
Зокрема, для 2х2 матриці EMBED Equation.3
Умовою EMBED Equation.3 рядок EMBED Equation.3 визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.
В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.
Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.