Економічний сенс похідної
Покажемо, як деякі економічні показники (граничне значення, темп приросту та еластичність) обчислюютьза допомогою похідної.
Означення (економічне). Граничним значенням My(x) показника y = y(x) називається приріст цього показника унаслідок додаткового збільшення аргументу x.
Нехай ?x  приріст цього аргументу, а ?y  приріст показника. Тоді EMBED Equation.3. Якщо y=y(x) є неперервною фукцією від x, то, перейшовши до границі, отримуємо EMBED Equation.3, тобто
My(x) = y?(x) . (5.3)
Приклад. Випуск продукції Q залежно від затрат x описує функція EMBED Equation.3(рис. 5.6).
Тоді граничний продукт EMBED Equation.3.
Тепер EMBED Equation.3 , отже зі збільшенням затрат граничний продукт зменшується.
Q (випуск)


dQ
dx
x (затрати)
Рис. 5.6.
Приклад. Корисність U від споживання деякого блага x задана функцією U=U(x)= ln(1+x) (рис. 5.7). Тоді гранична корисність EMBED Equation.3 . Похідна MU?=U?(x)=EMBED Equation.3 .
Зі зростанням кількості спожитих благ їхня гранична корисність зменшується.
U (корисність)

dU

dx

x (кількість благ)
Рис. 5.7.
Означення (економічне). Темпом приросту Ty(t) величини y=y(t) називається відносна зміна значення y за деякий проміжок часу.
Нехай час t змінився на проміжок ?t.
Тоді EMBED Equation.3 .
При ?t?0 маємо EMBED Equation.3, тобто EMBED Equation.3 . (5.4)

Приклад. Зміну кількості населення деякої країни описує функція P = 100000000e0,02t. Тоді темп приросту цього населення
EMBED Equation.3
(протягом кожного наступного року кількість населення зростає на 2% по відношенню до попереднього).
Означення (економічне). Еластичністю Ey(x) показника y = y(x) за аргументом x називається відношення відносної зміни цього показника до відносної зміни аргументу.
Отже, EMBED Equation.3. Перейшовши до границі при ?x?0, отримуємо
EMBED Equation.3 (5.5)
Приклад. Попит Q на деякий товар в залежності від його ціни p описує залежність EMBED Equation.3 (рис. 5.8).
p (ціна)
Крива попиту
?p
?Q
Q (величина попиту)
Рис. 5.8.
Визначимо еластичніть цього попиту. Згідно з отриманою формулою EMBED Equation.3 . Отже, зі збільшенням ціни на 1% попит на товар зменшиться на 2% . У разі зменшення ціни в 1,2 раза попит збільшиться в 2,4 раза.