Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)
Приклад 1.
1). Нехай загальний член ряду EMBED Equation.3. Записати п’ять перших ленів ряду.
Розв’язання.
При п=1 маємо EMBED Equation.3
При п=2 дістаємо EMBED Equation.3 Аналогічно EMBED Equation.3
2). Записати можливий загальний член ряду EMBED Equation.3
Розв’язання.
Чисельники дробів утворюють арифметичну прогресію 1,4,7, ...; її п-й член знайдемо за формулою EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3 Отже,
EMBED Equation.3
Знаменники дробів утворюють геометричну прогресію 3, 32, 33, ..., п-й член якої EMBED Equation.3 Отже, EMBED Equation.3
Приклад 2. Чи збігаються такі ряди:
EMBED Equation.3
Розв’язання .
EMBED Equation.3
Оскільки для кожного даного ряду EMBED Equation.3, то ці ряди розбігаються.
Приклад 3. Дослідити на збіжність і знайти суми рядів:
EMBED Equation.3
Розв’язання.
а). Оскільки ап можна подати у вигляді EMBED Equation.3 то часткову суму Sп ряду можна записати так:
EMBED Equation.3
Тоді сума EMBED Equation.3 і ряд збігається.
б). У даному випадку
EMBED Equation.3 і
EMBED Equation.3.
Тоді EMBED Equation.3, ряд має суму EMBED Equation.3, а тому збігається.
Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд
EMBED Equation.3
Розв’язання.
Через те, що EMBED Equation.3 суму n перших членів даного ряду можна записати
EMBED Equation.3
Після зведення подібних дістанемо EMBED Equation.3
Отже,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Як бачимо, ряд збіжностей і його сума дорівнює 1.
Приклад 5. Дано числовий ряд EMBED Equation.3 Знайти суму Sn – його п членів і суму ряду S.
Розв’язання.
Розкладемо загальний член ряду на суму найпростіших дробів:
EMBED Equation.3
Знайдемо часткову суму ряду
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для визначення суми ряду знайдемо границю
EMBED Equation.3
Відповідь: EMBED Equation.3
Приклад 6. Дослідити збіжність числового ряду EMBED Equation.3
Розв’язання.
Необхідна умова EMBED Equation.3 виконується.
Заданий ряд – геометричний, зі знаменником EMBED Equation.3 а значить збігається.
Відповідь: ряд збігається.
Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3
Розв’язання.
Це числовий ряд. Перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності. Для цього запишемо загальний член ряду EMBED Equation.3 і знайдемо його границю.
EMBED Equation.3
Оскільки EMBED Equation.3, то наслідком з необхідної умови збіжності ряд розбігається.
Відповідь: ряд розбігається.
Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3, використовуючи необхідну умову збіжності.
Розв’язування.
Для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності ряду.
Дійсно,
EMBED Equation.3
і, значить EMBED Equation.3
Таким чином, даний ряд збігається.
Приклад 9. Дано загальний член ряду:
EMBED Equation.3
Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності ряду.
Розв’язання.
а). Знаходимо

тобто
Тому, що то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.
б). Знаходимо
EMBED Equation.3
Записуємо ряд: EMBED Equation.3
Необхідна ознака збіжності виконується, бо
Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо. Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні умови збіжності.
Приклад 10. Дослідимо на збіжність ряд EMBED Equation.3
Розв’язання.
Загальний член цього ряду має вигляд EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3, тому ряди з загальними членами EMBED Equation.3 і збігаються і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
А тому, вихідний ряд збігається, як сума збіжних рядів і
EMBED Equation.3
Приклад 11. Дослідити на збіжність числовий ряд EMBED Equation.3 користуючись означенням збіжності ряду.
Розв’язання .
Для визначення збіжності будь-якого ряду треба знайти часткову зрізану суму Sп , яка в нашому випадку становить
EMBED Equation.3
де загальний член часткової суми EMBED Equation.3
Ряд збігається EMBED Equation.3 і ця границя дорівнює кінцевій величині. Для відшкодування lim Sп перетворимо загальний член ап , розглядаючи його як раціональний дріб від числа п, а 0, -1, -2, - як корені цілої раціональної функції, що міститься в знаменнику, тобто EMBED Equation.3 де А, В, С – визначені коефіцієнти. Маємо
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Вираз EMBED Equation.3 запишемо у вигляді
EMBED Equation.3
Тепер
EMBED Equation.3
Звільнившись від дужок, знаходимо, що доданки, які стоять на парних і непарних місцях, взаємо знищуються. Залишається лише перший доданок і останнє EMBED Equation.3
Тоді
EMBED Equation.3
Переходячи до границі, маємо:
EMBED Equation.3
Відповідь: ряд збігається і його сума EMBED Equation.3
Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди:
EMBED Equation.3
Розв’язання.
а). Ряд із загальним членом (-1)п-1 не є збіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності ряду.
б). Ряд EMBED Equation.3 є збіжним, тому що його п-й залишок EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 оскільки EMBED Equation.3
Тому EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3
в). Ряд EMBED Equation.3 можна розглядати, як різницю двох геометричних рядів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 суми якиїх відповідно дорівнюють:
EMBED Equation.3
Тому, враховуючи, що EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 маємо
EMBED Equation.3 тобто сума заданого ряду дорівнює EMBED Equation.3