Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак порівняння)
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд
EMBED Equation.3
Розв’язання.
Для порівняння використовуємо ряд EMBED Equation.3 - збіжну геометричну прогресію (бо EMBED Equation.3). Справедлива нерівність EMBED Equation.3, отже ряд EMBED Equation.3збігається.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3 – деяке дійсне число.
Розв’язання.
Так як EMBED Equation.3 для всіх EMBED Equation.3 і ряд EMBED Equation.3 збігається, то за ознакою порівняння даний ряд збігається для довільного EMBED Equation.3.
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
Ряд EMBED Equation.3 збігається, так як EMBED Equation.3 для всіх EMBED Equation.3 і ряд EMBED Equation.3 розбігається (як гармонічний).
Приклад 4. дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3 .
Розв’язання.
Збіжність ряду EMBED Equation.3 випливає з того, що його члени менші за (відповідні) члени збіжного ряду
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3.
А це означає, що збігається і даний (вихідний) ряд, бо він відрізняється від ряду EMBED Equation.3 лише першим членом.
Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
Додатний ряд EMBED Equation.3 є розбіжним, оскільки його загальний член EMBED Equation.3 “схожий” на загальний член EMBED Equation.3 гармонічного ряду. Застосуємо другу ознаку порівняння: EMBED Equation.3, і одержимо підтвердження висновку про розбіжність заданого ряду.
Ознаки Д’Аламбера та Коші не дають відповідь на питання про збіжність цього ряду. Наприклад, EMBED Equation.3.
Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
Тут EMBED Equation.3. Для порівняння використаємо ряд EMBED Equation.3 з загальним членом EMBED Equation.3 - збіжну геометричну прогресію. Звідси:
EMBED Equation.3
тому, що EMBED Equation.3, то обидва ведуть себе однаково і, значить, даний ряд збіжний.
Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
Скористаємось першою ознакою порівняння рядів. Оскільки EMBED Equation.3 для всіх EMBED Equation.3, а гармонічний ряд EMBED Equation.3 розбігається, то й заданий ряд є розбіжним.
Приклад 8. Дослідити на розбіжність ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
Враховуючи нерівність EMBED Equation.3, встановлюємо, що заданий ряд – збіжний, оскільки таким є ряд EMBED Equation.3 (узагальнений гармонічний).
Приклад 9. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
У цьому випадку зручно скористатись другою ознакою порівняння. Оскільки EMBED Equation.3, то, враховуючи попередню вправу, встановлюємо, що заданий ряд є збіжний.
Приклад 10. Дослідити на збіжність ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
Порівняємо заданий ряд із рядом, у якого EMBED Equation.3. Маємо
EMBED Equation.3EMBED Equation.3.
Тому заданий ряд є збіжним.
Приклад 11. Дослідити на збіжність за допомогою ознаки порівняння ряд EMBED Equation.3.
Розв’язання.
Оцінимо загальний член даного ряду: EMBED Equation.3. Ця нерівність виконується для всіх EMBED Equation.3. Отже, члени заданого ряду менші від членів збіжного ряду EMBED Equation.3, що є геометричним рядом зі знаменником EMBED Equation.3. На основі першої ознаки рядів даний ряд збігається.
Відповідь: ряд збігається.