Дискретний логарифм
Проблема обчислення дискретного логарифма є не лише цікавою, а й вкрай корисною для систем захисту інформації. Ефективний алгоритм знаходження дискретного логарифму значною мірою знизив би безпеку систем ідентифікації користувача та схеми обміну ключей.
Означення. Нехай G – скінченна циклічна група порядка n. Нехай g – генератор G та b ??G. Дискретним логарифмом числа b за основою g називається таке число x (0 ??x ??n - 1), що gx = b та позначається x = loggb.
Проблема дискретного логарифму. Нехай p – просте число, g – генератор множини Zp*, y ? Zp*. Знайти таке значення x (0 ? x ? p - 2), що gx ? y (mod p). Число x називається дискретним логарифмом числа y за основою g та модулем p.
Узагальнена проблема дискретного логарифму. Нехай G – скінченна циклічна група порядка n, g – її генератор, b ??G. Необхідно знайти таке число x (0 ??x ??n - 1), що gx = b.
Розширенням узагальненої проблеми може стати задача розв’язку рівняння gx = b, коли знято умову циклічності групи G, а також умову того, що g – генератор G (в такому випадку рівняння може і не мати розв’язку).
Приклад. g = 3 є генератором Z7*: 31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5, 36 = 1.
log34 = 4 (mod 7), тому що розв’язком рівняння 3x = 4 буде x = 4.
Теорема. Нехай а – генератор скінченної циклічної групи G порядка n. Якщо існує алгоритм, який обчислює дискретний логарифм за основою а, то цей алгоритм може також обчислити дискретний логарифм за будь-якою основою b, яка є генератором G.
Доведення. Нехай k ? G, x = logak, y = logbk, z = logab. Тоді ax = by = (az)y, звідки x = zy mod n. Підставимо в останню рівність замість змінних логарифмічні вирази:
logak =(logab) (logbk) mod n
або
logbk =(logak) (logab)-1 mod n.
З останньої рівності випливає справедливість теореми.
Примітивний алгоритм
Для знаходження loggb (g – генератор G порядка n, b ??G) будемо обчислювати значення g, g2, g3, g4, ... поки не отримаємо b. Часова оцінка алгоритму – O(n). Якщо n – велике число, то час обчислення логарифму є достатньо великим і тому алгоритм є неефективним.
Алгоритм великого та малого кроку
Першим детермінованим алгоритмом для обчислення дискретного логарифму був алгоритм великого та малого кроку, запропонований Шанком (Shank) [1].
Для обчислення loggb в групі Zn* необхідно зробити наступні кроки:
1. Обчислити a = ?EMBED Equation.3???;
2. Побудувати список L1 = 1, ga, g2a, ..., gEMBED Equation.3 (за модулем n);
3. Побудувати список L2 = b, bg, bg2, ..., bga - 1 (за модулем n);
4. Знайти число z, яке зустрілося в L1 та L2.
Тоді z = bgk = gla для деяких k та l. Звідси b = gla - k = gx; x = la - k.
Два питання постає при дослідженні роботи наведеного алгоритму:
1. Чи завжди знайдеться число, яке буде присутнім в обох списках?
2. Як ефективно знайти значення z?
Запишемо x = sa + t для деяких s, t таких що 0 ? s, t < a. Тоді b = gx = gsa + t. Домножимо рівність на ga - t, отримаємо: bga - t = gs(a + 1). Значення зліва обов’язково зустрінеться в L2, а справа – в L1.
Відсортуємо отримані списки L1 та L2 за час O(a * log a). За лінійний час проглядаємо списки зліва направо порівнюючи їх голови: якщо вони рівні, то значення z знайдене, якщо ні – то видалити менше число і продовжити перевірку.
Приклад. Розв’язати рівняння: 2x ? 11 (mod 13).
a = ?EMBED Equation.3?? = 4;
L1: 1, 24 ? 3, 28 ? 9, 212 ? 1, 216 ? 3;
L2: 11, 11 * 2 ? 9, 11 * 22 ? 5, 11 * 23 ? 10;
Число 9 зустрілося в обох списках. 11 * 2 ? 28, 11 ? 27, звідки x = 7.
Відповідь: x = 7.
Інший підхід до реалізації алгоритму великого та малого кроку можна отримати якщо рівність b = gsa + t (a = ?EMBED Equation.3???, 0 ? s, t < a) переписати у вигляді b * (g-a)s = gt. Обчислимо g-a та складемо таблицю значень gt, 0 ? t < a. Далі починаємо знаходити значення b * (g-a)s, s = 0, 1, … перевіряючи їх наявність у таблиці gt. Як тільки знаходяться такі s та t, алгоритм зупиняється.
Приклад. Обчислити log23 в групі Z19* .
3 = 2x = 2sa+1, 3 * (2-a)s = 2t. Складемо таблицю 2t, 0 ? t < ?EMBED Equation.3?? = 5:
2-1 ? 10 (mod 19), оскільки 2 * 10 ? 1 (mod 19).
Тоді 3 * (2-5)s (mod 19) ? 3 * (105)s (mod 19) ? 3 * 3s (mod 19)
Обчислюємо 3 * 3s, s = 0, 1, … :
Значення 8, яке отримали при s = 2, присутнє в таблиці 2t, 0 ? t < 5.
Звідси 3 * (2-5)2 = 23 або 3 = (25)2 * 23 = 25*2+3 = 213.
Відповідь: 3 = 213, тобто log23 = 13.
Алгоритм Полард - ро
Нехай G – циклічна група з порядком n (n – просте). Розіб’ємо елементи групи G на три підмножини S1, S2 та S3, які мають приблизно однакову потужність. При цьому необхідне виконання умови: 1 ??S2. Визначимо послідовність елементів xi наступним чином:
x0 = 1, xi+1 = EMBED Equation.3, i ??0 (1)
Ця послідовність у свою чергу утворить дві послідовності ci та di , що задовольняють умові
xi = EMBED Equation.3
та визначаються наступним чином:
с0 = 0, сi+1 = EMBED Equation.3, i ??0 (2)
та
d0 = 0, di+1 = EMBED Equation.3, i ??0 (3)
Алгоритм буде працювати циклічно шукаючи таке знчення i, для якого xi = x2i. Для таких значень будуть мати місце рівність EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3. Логарифмуючи останню рівність за основою a, матимемо:
(di - d2i) * logab ??(c2i - ci) mod n
Якщо di ? d2i (mod n), то це рівняння може бути ефективно розв’язано для обчислення logab.
Алгоритм
Вхід: генератор a циклічної групи G з порядком n та елемент b ??G.
Вихід: дискретний логарифм x = logab.
1. x0 ??1, c0 ??0, d0 ??0.
2. for i = 1, 2, ... do
2.1. За значеннями xi-1, ci-1, di-1 та x2i-2, c2i-2, d2i-2 обчислити значення xi, ci, di та x2i, c2i, d2i використовуючи формули (1), (2), (3).
2.2. if (xi = x2i) then
r ??(di - d2i) mod n;
if (r = 0) then return (FALSE); // розв’язку не знайдено
x ? r -1 (ci - c2i) mod n.
return (x).
Якщо алгоритм завершується невдачею (повертає FALSE), то можна запустити його вибравши інші початкові значення c0, d0 з інтервалу [1; n - 1] та поклавши x0 = EMBED Equation.3.
Приклад. Обчислити log29 в групі Z19*.
Побудуємо наступну таблицю значень послідовностей xi, ci, di:
На 6 кроці отримали x6 = x12 . Підставивши їх значення, отримаємо:
28 * 96 = 264 * 962 або 28 – 64 = 962 – 6 , 2-56 = 956
Логарифмуємо рівність: -56 * log29 = 56 (mod 18), оскільки |Z19*| = 18.
Враховуючи що -56 (mod 18) ??16, 56 (mod 18) ??2, перепишемо рівність у вигляді 16 * log29 = 2 (mod 18) або 8 * log29 = 1 (mod 9). log29 = 8-1 (mod 9) = 8.
Відповідь: log29 = 8.
Індексний алгоритм
Алгоритм, базований на обчисленні індексів, є найпотужним при обчисленні дискретного логарифму. Необхідно побудувати відносно невелику підмножину S елементів групи G, яка називається множниковою основою. Ця підмножина повинна обиратися таким чином, щоб як можна більша частина елементів G могла бути представлена у вигляді добутку її елементів. При обчисленні значення logab (a – генератор G, b ??G) спочатку обчислюються значення логарифмів елементів з S (які заносяться в тимчасову базу даних), а потім на їх основі обчислюється логарифм числа b.
Алгоритм
Вхід: генератор a циклічної групи G порядка n та елемент b ??G.
Вихід: дискретний логарифм x = logab.
1. Побудувати множину S – множникову основу. Нехай S = {p1, p2, …, pt}. В якості значень pi можна обрати, наприклад, i - те просте число.
2. Побудувати систему лінійних рівнянь, розв’язком якої будуть значення logapi. Для цього виконаємо наступні кроки:
2.1. Обрати деяке ціле k, 0 ??k ??n - 1 та обчислити ak .
2.2. Спробувати представити значення ak у вигляді добутку чисел з S:
ak = EMBED Equation.3 , ci ??0
Якщо така рівність знайдена, то записати рівняння:
k = EMBED Equation.3 (mod n)
2.3. Повторювати кроки 2.1. та 2.2. поки не отримаємо t + c лінійних рівнянь. Невелике ціле число c (1 ? c ? 10) обирається таким чином, щоб складена система рівнянь мала єдиний розв’язок з великою ймовірністю (якщо скласти лише t рівнянь з t невідомими, то з великою ймовірністю два з цих рівнянь будуть залежними і тоді система буде мати більше одного розв’язку).
3. Розв’язати утворену систему рівнянь, отримати значення logapi, 1? i ? t.
4. Обчислення logab.
4.1. Обрати деяке ціле k, 0 ??k ??n - 1 та обчислити b * ak .
4.2. Спробувати представити значення b * ak у вигляді добутку чисел з S:
b * ak = EMBED Equation.3 , di ??0
Якщо такого представлення знайти не вдається, виконати знову 4.1. Інакше прологарифмірувавши останню рівність, отримаємо:
x = logab = ( EMBED Equation.3 - k) mod n
Приклад. Обчислити log212 в групі Z19*.
1. Нехай S = {2, 3, 5} – множникова основа.
2. Будуємо систему рівнянь для знаходження значень log2pi, де pi ??S. Оскільки множина S містить 3 елементи, то достатньо отримати 3 лінійно незалежні рівняння.
k = 5: 25 (mod 19) ? 13 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.
k = 7: 27 (mod 19) ? 14 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.
k = 2: 22 (mod 19) ? 4 = 22. Перше рівняння: 2 = 2log22.
k = 10: 210 (mod 19) ? 17 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.
k = 15: 215 (mod 19) ? 12 = 22 * 3. Друге рівняння: 15 = 2log22 + log23.
k = 11: 211 (mod 19) ? 15 = 3 * 5. Третє рівняння: 11 = log23 + log25.
3. Система рівнянь за модулем 18 (порядок Z19* дорівнює 18) має вигляд:
EMBED Equation.3
Її розв’язком буде:
log22 = 1, log23 = 13, log25 = 16
4. Обчислення log212.
k = 3: 12 * 23 (mod 19) ? 1 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.
k = 7: 12 * 27 (mod 19) ? 16 = 24.
log212 + 7 ? 4log22 (mod 18), log212 ? (4log22 – 7) (mod 18) = 15.
Відповідь: log212 = 15.
Алгоритм Поліга – Хелмана
Алгоритм Поліга – Хелмана ефективно розв’язує задачу дискретного логарифма в групі G порядка n, якщо число n має лише малі прості дільники.
Нехай g, h ? G, |G| = ps, p – просте. Тоді значення x = loggh можна подати у вигляді:
x = x0 + x1p + x2p2 + … + xs-1ps-1
Піднесемо рівняння h = gx до степеня ps-1:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 * … * EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,
оскільки EMBED Equation.3 = 1 (g – генератор групи, ps – її порядок).
Таким чином з рівності EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 знаходимо x0.
Далі маючи значення x0, x1, …, xi-1 можна обчислити xi з рівняння
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Приклад. Обчислити log37 в Z17*.
Необхідно розв’язати рівняння 3x = 7 в групі, порядок якої дорівнює 16 = 24.
Представимо x у двійковій системі числення: x = x0 + 2x1 + 4x2 + 8x3.
1. Обчислення x0.
Піднесемо рівняння 3x = 7 до степеня 23 = 8:
EMBED Equation.3 = 78, EMBED Equation.3 = -1,
EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 = -1.
Оскільки 316 (mod 17) ? 1, то останнє рівняння прийме вигляд EMBED Equation.3 = -1. Враховуючи що 38 (mod 17) ? -1, маємо: EMBED Equation.3 = -1, x0 = 1.
2. Обчислення x1.
Домножимо рівність EMBED Equation.3 = 7 на EMBED Equation.3 = 3-1 (mod 17) = 6, отримаємо:
EMBED Equation.3 = 7 * 6 або EMBED Equation.3 = 8.
Піднесемо рівняння до степеня 4: EMBED Equation.3 = 84, EMBED Equation.3 = -1, x1 = 1.
3. Обчислення x2.
1. D. Shanks. Class number, a theory of factorization and genera. In Proc. Symposium Pure Mathematics, vol.20, pp.415-440. American Mathematical Society, 1970.