1.4. Дії з векторами.
Означення 5. Сумою двох векторів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 називають вектор EMBED Equation.3 , який сполучає початок вектора EMBED Equation.3 з кінцем вектора EMBED Equation.3 при умові, що початок вектора EMBED Equation.3 вміщено в кінець вектора EMBED Equation.3 .
Наприклад, задані вектори EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів EMBED Equation.3 перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора EMBED Equation.3 та сполучили початок вектора EMBED Equation.3 з кінцем вектора EMBED Equation.3 (Мал. 6b).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
а) b)

Мал.6
Суму кількох векторів EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , … EMBED Equation.3 , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.
Зауваження. Різницю двох векторів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 будують як суму вектора EMBED Equation.3 та вектора (- EMBED Equation.3 ).
EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Наприклад,

Мал.7
Означення 6. Добутком вектора EMBED Equation.3 на число k називають вектор EMBED Equation.3 , колінеарний з вектором EMBED Equation.3 , що має довжину в k раз більшу, ніж EMBED Equation.3 та напрям такий самий, як EMBED Equation.3 , якщо k > 0 і протилежний до EMBED Equation.3 , якщо k < 0.
Означення 7. Скалярним добутком векторів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута ? між ними. Скалярний добуток векторів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 позначають EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 , або ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
Отже, згідно з означенням:
EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
(1)
Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.
? Правило множення вектора на число.
Щоб помноживши вектор EMBED Equation.3 на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k, тобто k EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
? Правило знаходження алгебраїчної суми векторів.
Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
їх алгебраїчна сума EMBED Equation.3 знаходиться за формулою
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
? Знаходження скалярного добутку векторів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3
Згідно з правилом множення матриць одержимо:
EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
(2)
тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.
Якщо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , тоді кут між ними EMBED Equation.3 дорівнює нулю, EMBED Equation.3 і з формули (1) випливає, що EMBED Equation.3 .
Звідси одержуємо EMBED Equation.3 , або враховуючи формулу (2)
EMBED Equation.3
(3)
Із формули (1) маємо:
EMBED Equation.3
(4)
Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 у вигляді:
EMBED Equation.3
(5)
Якщо EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 і одержимо EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 = 0 (6)
Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах EMBED Equation.3 = (2,1,0) та EMBED Equation.3 = (0,-2,1).
А
В
D
C
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Розв’язування. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 (дивись Мал.8.)


Мал.8
Позначимо цей паралелограм АВСD ( EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 - довільні);
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 (довільні) будуть вектори EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 = (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)
EMBED Equation.3 = (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)
Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
З рівності EMBED Equation.3 випливає, що EMBED Equation.3 , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.