Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду
EMBED Equation.3.
Проінтегрувавши його EMBED Equation.3-раз одержимо загальний розв’язок у вигляді
EMBED Equation.3 .
Якщо задані умови Коші
EMBED Equation.3 ,
то розв’язок має вигляд
EMBED Equation.3
2) Рівняння вигляду
EMBED Equation.3.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
EMBED Equation.3
Використовуючи основне співвідношення EMBED Equation.3, одержимо
EMBED Equation.3.
Проінтегрувавши його, маємо
EMBED Equation.3 .
І одержимо параметричний запис рівняння EMBED Equation.3-порядку
EMBED Equation.3
Проробивши зазначений процес ще EMBED Equation.3-раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді
EMBED Equation.3
3) Рівняння вигляду
EMBED Equation.3.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
EMBED Equation.3
Використовуючи основне співвідношення EMBED Equation.3 , одержуємо
EMBED Equation.3. Проінтегрувавши, маємо
EMBED Equation.3.
І одержали параметричний запис рівняння EMBED Equation.3-порядку
EMBED Equation.3
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
EMBED Equation.3
Проробивши останню процедуру EMBED Equation.3-раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді
EMBED Equation.3
4) Нехай рівняння вигляду
EMBED Equation.3
можна розв'язати відносно старшої похідної
EMBED Equation.3.
Домножимо його на EMBED Equation.3 й одержимо
EMBED Equation.3 .
Перепишемо його у вигляді
EMBED Equation.3 .
Проінтегрувавши, маємо
EMBED Equation.3 ,
тобто EMBED Equation.3,
або
EMBED Equation.3.
Таким чином одержали параметричний запис рівняння EMBED Equation.3-порядку
EMBED Equation.3
і повернулися до третього випадку.