Диференціальні рівняння вищих порядків.
План
Диференціальні рівняння вищих порядків
Рівняння виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET
Рівняння виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET
Рівняння виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET
Задача про другу космічну швидкість
12.7. Диференціальні рівняння вищих порядків
           
            Нехай задано диференціальне рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET го порядку, розв’язане відносно старшої похідної:
                        INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET  .                        (12.25)
            Загальний розв’язок рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET го порядку має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі          INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET
його називають загальним інтегралом.  
            Задамо початкові умови для рівняння (12.25): нехай при
           INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET .           (12.26)
            Для задачі (12.25)-(12.26)  має місце теорема Коші існування та    єдиності розв’язку: початкові значення  визначають один і      тільки один розв’язок, якщо при цих значеннях функція INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET неперервна й має скінченні похідні першого порядку за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET .
            Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET го порядку, які зводяться до диференціальних рівнянь нижчого порядку.
12.7.1. Рівняння виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET
            Щоб знайти загальний інтеграл цього рівняння, необхідно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET  разів про інтегрувати його ліву й праву частини. Справді, оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET  після першого інтегрування одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET будь-яке фіксоване значення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET  а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET довільна стала інтегрування. Після другого інтегрування маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET
            Продовжуючи аналогічно, отримаємо загальний розв’язок
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET
            Приклад 1. При подачі деталей за допомогою транспортуючої стрічки диференціальне рівняння руху ведучого барабана має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET момент інерції барабана; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET момент, що утворюється на ведучому валу; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET момент опору рухові ( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET сталі числа, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET кут повороту, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET час). Знайдемо залежність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET  від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET
            Дане рівняння є рівнянням розглядуваного типу . Позначивши через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET  величину INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET
            Інтегруючи це рівняння двічі, будемо мати загальний розв’язок
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET довільні сталі. Якщо при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET то із загального розв’язку одержимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді із загального розв’язку отримаємо частинний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET  або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET
12.7.2. Рівняння виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET
            Це рівняння не містить явно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET За допомогою підстановки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET шукана функція, рівняння зводиться до рівняння першого порядку
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET
            Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET
            Р о з в ’ я з о к. Оскільки права частина не містить явно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET
введемо заміну INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET  Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET  і рівняння набуває вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET
            Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET довільна стала. Повертаючись до функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET будемо мати
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET
            Після інтегрування одержимо загальний розв’язок рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET
            Рівняння виду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET
що також не містить явно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET  зводиться за допомогою заміни INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET  до рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET го порядку.
12.7.3. Рівняння виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET
            Це рівняння не містить в правій частині явно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET Зробимо заміну
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET
            Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET
і рівняння стає після заміни рівнянням першого порядку
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET
Знайшовши загальний розв’язок даного рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET ,
одержимо рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET
            Загальний інтеграл рівняння має такий вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET
Приклад 3. Задача про другу космічну швидкість.
Визначити найменшу швидкість, з якою потрібно кинути тіло вертикально вверх, щоби воно не повернулося на Землю. Опором повітря нехтувати.
Р о з в ‘ я з о к. Позначимо масу тіла INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET  а Землі - INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET За законом тяжіння Ньютона сила INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET притягання, що діє на тіло INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET  дорівнює
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET віддаль від центра Землі до цента ваги кинутого тіла, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET гравітаційна стала. Згідно другого закону Ньютона диференціальне рівняння руху має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET
або
                              INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET                                       (12.27)
            В рівнянні (12.27) взято знак мінус тому, що в задачі прискорення від’ємне. Диференціальне рівняння (12.27) належить до виду, що розглядався в п.12.7.3. Будемо шукати розв’язок рівняння при таких початкових умовах:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET
            Тут INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET радіус Землі, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET швидкість кидання. Позначимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET швидкість руху. Підставляючи в рівняння (12.27), одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET
            Відокремлюючи змінні та інтегруючи, будемо мати
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET
Із умови, що на поверхні Землі при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET    INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET визначимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET
Тоді
                             INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET                      (12.28)
За умовою тіло повинно рухатися так, щоби його швидкість була завжди додатною (направлена вверх), отже INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET Оскільки при зростанні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET  величина INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET  стає як завгодно малою, то умова INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET буде виконуватися при довільному INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET , коли вираз в дужках формули (12.28) буде невід’ємним
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET   або   INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже, найменша швидкість буде визначатися рівністю
                           INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET                                            (12.29)
На поверхні Землі при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET  прискорення сили ваги дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET тому із рівності (12.51) одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET         або          INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET
            Підставляючи це значення в (12.29), одержимо другу космічну швидкість
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET
Враховуючи, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET  одержимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\51_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET