Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі).
План
Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Рівняння Бернуллі
12.2. Рівняння з відокремленими
й відокремлюваними змінними
Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image001.gif" \* MERGEFORMATINET (12.1)
праву частину можна подати у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image002.gif" \* MERGEFORMATINET
то (за умови, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image003.gif" \* MERGEFORMATINET ) це рівняння можна записати так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image004.gif" \* MERGEFORMATINET (12.2)
Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , а справа за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET , отримаємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image007.gif" \* MERGEFORMATINET (12.3)
Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).
Диференціальне рівняння першого порядку типу (12.2), в якому при диференціалах INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image008.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image009.gif" \* MERGEFORMATINET стоять відповідно функції, залежні тільки від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET чи тільки від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.
Диференціальне рівняння вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image010.gif" \* MERGEFORMATINET (12.4)
називається рівнянням з відокремлюваними змінними.
Справді, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image011.gif" \* MERGEFORMATINET , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння (12.4) на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image012.gif" \* MERGEFORMATINET . Маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image013.gif" \* MERGEFORMATINET
і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image014.gif" \* MERGEFORMATINET .
\Приклад 1 . Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image015.gif" \* MERGEFORMATINET осіб зацікавлені в одержані інформації про новини технології у деякій галузі знань. Нехай в момент часу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET інформація відома INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET особам. Для прискорення поширення інформації в момент часу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET було дано оголошення (наприклад, по радіо). Далі інформація поширюється при спілкуванні людей між собою. Можна вважати, що після оголошення швидкість зміни кількості INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET тих, хто знає про технологічні новини, пропорційна як числу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET тих, хто знає, так і кількості INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET
тих, хто не знає. Припускаючи, що в момент часу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image018.gif" \* MERGEFORMATINET про новину дізналося INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image020.gif" \* MERGEFORMATINET чоловік, приходимо до диференціального рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image021.gif" \* MERGEFORMATINET (12.5)
з початковою умовою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image022.gif" \* MERGEFORMATINET ( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET - коефіцієнт пропорціональності).
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image024.gif" \* MERGEFORMATINET .
Загальний інтеграл рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image025.gif" \* MERGEFORMATINET (12.6)
Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image026.gif" \* MERGEFORMATINET
(Зауважимо, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image027.gif" \* MERGEFORMATINET ). Загальний інтеграл (12.6) має форму
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image028.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси знаходимо загальний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image017.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image029.gif" \* MERGEFORMATINET (12.7)
Для отримання розв’язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7) INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image030.gif" \* MERGEFORMATINET та визначимо довільну сталу (у даному
прикладі зручно шукати не INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET , а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image032.gif" \* MERGEFORMATINET ) . Маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image033.gif" \* MERGEFORMATINET , звідки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image034.gif" \* MERGEFORMATINET (12.8)
Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image035.gif" \* MERGEFORMATINET . (12.9)
Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image036.gif" \* MERGEFORMATINET
Рис.12.1
Приклад 2 . Нехай відомо, що швидкість хімічної реакції, яка перетворює речовину INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET на речовину INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET , пропорційна добуткові концентрації цих речовин.
Потрібно скласти диференціальне рівняння залежності об’єму INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image039.gif" \* MERGEFORMATINET речовини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET від часу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image016.gif" \* MERGEFORMATINET .
Нехай об’єм речовини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET , що бере участь в реакції, дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image040.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді загальний об’єм INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image041.gif" \* MERGEFORMATINET . Приріст INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image042.gif" \* MERGEFORMATINET у разі переходу речовини INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET в речовину INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image038.gif" \* MERGEFORMATINET має вигляд: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image043.gif" \* MERGEFORMATINET , а швидкість реакції буде INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image044.gif" \* MERGEFORMATINET . Згідно з умовою
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image045.gif" \* MERGEFORMATINET (12.10)
( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image046.gif" \* MERGEFORMATINET коефіцієнт пропорційності), оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image047.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image048.gif" \* MERGEFORMATINET - концентрації речовин INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image049.gif" \* MERGEFORMATINET Враховуючи, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image050.gif" \* MERGEFORMATINET рівняння (12.10) запишемо у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image051.gif" \* MERGEFORMATINET
або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image052.gif" \* MERGEFORMATINET (12.11)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image053.gif" \* MERGEFORMATINET .
Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста - Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів – наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо.
Розглянемо диференціальне рівняння виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image054.gif" \* MERGEFORMATINET . Виявляється, що це рівняння також описує зовсім різні явища, процеси: при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image055.gif" \* MERGEFORMATINET отримуємо закон органічного росту, при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image056.gif" \* MERGEFORMATINET - рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін.
12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних
Рівняння першого порядку
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image057.gif" \* MERGEFORMATINET
називається однорідним відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , якщо для будь-якого INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image058.gif" \* MERGEFORMATINET справедлива тотожність
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image059.gif" \* MERGEFORMATINET .
Приклад 1. Рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image060.gif" \* MERGEFORMATINET є однорідним, бо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image061.gif" \* MERGEFORMATINET .
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image062.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image063.gif" \* MERGEFORMATINET (тут покладено INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image064.gif" \* MERGEFORMATINET ). Змінні відокремлюються, оскільки після підстановки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image065.gif" \* MERGEFORMATINET в рівняння дістанемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image066.gif" \* MERGEFORMATINET ,
звідки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image067.gif" \* MERGEFORMATINET .
Інтегруючи це рівняння й повертаючись від змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET до змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , отримуємо загальний розв’язок однорідного рівняння.
Прикладі 2. Розв’язати рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image069.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ‘ я з о к. Це рівняння однорідне. Виконаємо у цьому рівнянні заміну залежної змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image070.gif" \* MERGEFORMATINET Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image071.gif" \* MERGEFORMATINET .
Відокремлюючи змінні, одержуємо: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image072.gif" \* MERGEFORMATINET , звідки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image073.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image074.gif" \* MERGEFORMATINET .
Приклад 3. Покажемо, як розв’язується рівняння, наведене в прикладі 3, за допомогою полярних координат.
Перейдемо до нових змінних INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image075.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image076.gif" \* MERGEFORMATINET за формулами
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image077.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image078.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image079.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image080.gif" \* MERGEFORMATINET .
Права частина рівняння у нових координатах набуває вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image081.gif" \* MERGEFORMATINET
Прирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image082.gif" \* MERGEFORMATINET .
На основі властивості пропорції позбудемося дробів:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image083.gif" \* MERGEFORMATINET
Спрощуючи це рівняння, отримаємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image084.gif" \* MERGEFORMATINET .
Відокремлюємо змінні
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image085.gif" \* MERGEFORMATINET .
Інтегруємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image086.gif" \* MERGEFORMATINET .
(довільну сталу позначили як INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image087.gif" \* MERGEFORMATINET ) . Звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image088.gif" \* MERGEFORMATINET .
Повернемось до старих змінних INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET й спростимо вираз. Отримаємо шуканий загальний інтеграл INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image089.gif" \* MERGEFORMATINET
або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image090.gif" \* MERGEFORMATINET .
Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image091.gif" \* MERGEFORMATINET (12.12)
1. У разі, коли INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET , слід виконати заміну змінних INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image093.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image094.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET - сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на однорідне рівняння вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image095.gif" \* MERGEFORMATINET .
Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image096.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image097.gif" \* MERGEFORMATINET ,
сталі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET слід підібрати так, щоб виконувались рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image099.gif" \* MERGEFORMATINET
Ця система має єдиний розв’язок (згідно з умовою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image092.gif" \* MERGEFORMATINET ).
2. Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image100.gif" \* MERGEFORMATINET , то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image101.gif" \* MERGEFORMATINET , оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image102.gif" \* MERGEFORMATINET , та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image103.gif" \* MERGEFORMATINET . В цьому разі рівняння (12.12) подамо у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image104.gif" \* MERGEFORMATINET . (12.13)
Якщо в цьому рівнянні виконати заміну змінної за формулою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image105.gif" \* MERGEFORMATINET , то рівняння (12.13) перетвориться у диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Справді, маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image106.gif" \* MERGEFORMATINET і , отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image107.gif" \* MERGEFORMATINET .
Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image108.gif" \* MERGEFORMATINET ,
у якому змінні легко відокремлюються.
Приклад 4. Розв’язати рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image109.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ‘ я з о к. Це - диференціальне рівняння вигляду (12.13). Перевіримо, чи виконується для нього нерівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image110.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже, в цьому рівнянні слід виконати заміну змінних INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET за формулами INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image111.gif" \* MERGEFORMATINET . Підставимо нові змінні у вихідне рівняння:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image112.gif" \* MERGEFORMATINET .
Для визначення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image098.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image023.gif" \* MERGEFORMATINET отримаємо алгебраїчну систему двох лінійних рівнянь
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image113.gif" \* MERGEFORMATINET
головний визначник якої дорівнює INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image114.gif" \* MERGEFORMATINET і, отже, система має єдиний розв’язок: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image115.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image116.gif" \* MERGEFORMATINET . Це дозволяє виконати заміну змінних INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image117.gif" \* MERGEFORMATINET ,
в результаті якої отримуємо однорідне рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image118.gif" \* MERGEFORMATINET . Виконаємо в цьому рівнянні заміну змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image119.gif" \* MERGEFORMATINET за формулою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image120.gif" \* MERGEFORMATINET . Маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image121.gif" \* MERGEFORMATINET .
Відокремлюємо змінні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image068.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image122.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image123.gif" \* MERGEFORMATINET .
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image124.gif" \* MERGEFORMATINET
або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image125.gif" \* MERGEFORMATINET .
Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image126.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image127.gif" \* MERGEFORMATINET
або, після спрощень,
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image128.gif" \* MERGEFORMATINET .
12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image129.gif" \* MERGEFORMATINET (12.14)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image130.gif" \* MERGEFORMATINET - задані неперервні функції від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET .
Якщо, зокрема, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image131.gif" \* MERGEFORMATINET , то рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image132.gif" \* MERGEFORMATINET (12.15)
називається лінійним однорідним (або без правої частини), а рівняння (12.14), в якому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image133.gif" \* MERGEFORMATINET - неоднорідним.
Однорідне рівняння (12.15) – це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image134.gif" \* MERGEFORMATINET .
Загальний інтеграл рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image135.gif" \* MERGEFORMATINET ,
а загальний розв’язок однорідного рівняння (12.15)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image136.gif" \* MERGEFORMATINET (12.16)
Щоб відшукати загальний розв’язок рівняння (12.14), використаємо так званий метод варіації довільної сталої Лагранжа. Суть його полягає в тому, що розв’язок рівняння (12.14) шукатимемо у вигляді, аналогічному (12.16), але вважатимемо у цій формулі INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET не сталою, а невідомою функцією від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image137.gif" \* MERGEFORMATINET (12.17)
Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image138.gif" \* MERGEFORMATINET ,
або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image139.gif" \* MERGEFORMATINET
З останнього рівняння знаходимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image140.gif" \* MERGEFORMATINET , (12.18)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET - довільна стала. Отже враховуючи (12.18), загальний розв’язок (12.17) рівняння (12.14) набуває вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image142.gif" \* MERGEFORMATINET (12.19)
Зауваження. Метод варіації довільної сталої для рівняння (12.14) можна реалізувати на практиці таким чином.
Розв’язок рівняння (12.14) шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image143.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image144.gif" \* MERGEFORMATINET (12.20)
Знайдемо похідну
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image145.gif" \* MERGEFORMATINET (12.21)
У результаті підстановки функції (12.20) та похідної від неї (12.21) у рівняння (12.14) отримаємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image146.gif" \* MERGEFORMATINET
або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image147.gif" \* MERGEFORMATINET (12.22)
Оскільки функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET можна підібрати довільно (а тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET визначити на основі рівняння (12.14), будемо шукати INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET з рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image150.gif" \* MERGEFORMATINET (12.23)
(при цьому перший доданок зліва у (12.22) перетвориться на нуль). Зауважимо, що це не що інше, як лінійне рівняння (12.15) відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image151.gif" \* MERGEFORMATINET , розв’язок якого
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image152.gif" \* MERGEFORMATINET .
Оскільки нас цікавить лише один який-небудь ненульовий розв’язок рівняння (12.23), то в цій формулі покладемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image153.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image154.gif" \* MERGEFORMATINET . При цьому рівняння (12.22) спрощується й набуває вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image155.gif" \* MERGEFORMATINET , або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image156.gif" \* MERGEFORMATINET .
Це - диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Звідси
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image157.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, згідно з (12.21) загальний розв’язок рівняння (12.14)
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image158.gif" \* MERGEFORMATINET , (12.19а)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET - довільна стала.
Отже, розв’язки (12.19) та цього рівняння збіглися. Зауважимо, що при встановленні типу диференціального рівняння та його розв’язання слід врахувати, що не обов’язково шукається залежність виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image159.gif" \* MERGEFORMATINET ; можна спробувати знайти INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image160.gif" \* MERGEFORMATINET . Наприклад, диференціальне рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image161.gif" \* MERGEFORMATINET
можна подати у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image162.gif" \* MERGEFORMATINET
звідки видно, що воно є лінійним, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET вважати функцією, а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET - аргументом. Це ж саме рівняння можна записати й так:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image163.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET вважати функцією, а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET - аргументом, то дістаємо лінійне рівняння.
Розглянемо деякі приклади розв’язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
Приклад 1. Розв’язати лінійне рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image164.gif" \* MERGEFORMATINET :
а) методом варіації довільної сталої;
б) підстановкою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image165.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ‘ я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої спочатку розв’яжемо відповідне рівняння без правої частини:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image166.gif" \* MERGEFORMATINET .
Маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image167.gif" \* MERGEFORMATINET , звідки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image168.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image169.gif" \* MERGEFORMATINET . Варіюючи сталу INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image170.gif" \* MERGEFORMATINET .
Підставимо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image171.gif" \* MERGEFORMATINET як функції від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image172.gif" \* MERGEFORMATINET у вихідне рівняння:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image173.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image174.gif" \* MERGEFORMATINET і, отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image175.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image176.gif" \* MERGEFORMATINET - довільна стала.
Таким чином, загальний розв’язок має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image177.gif" \* MERGEFORMATINET .
б) Цей же самий результат отримаємо, застосувавши до початкового рівняння підстановку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image165.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image178.gif" \* MERGEFORMATINET або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image179.gif" \* MERGEFORMATINET .
Знайдемо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image151.gif" \* MERGEFORMATINET з рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image180.gif" \* MERGEFORMATINET . Відокремимо змінні: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image181.gif" \* MERGEFORMATINET , звідки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image182.gif" \* MERGEFORMATINET . Запишемо рівняння відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image183.gif" \* MERGEFORMATINET , звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image184.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже загальний розв’язок INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image185.gif" \* MERGEFORMATINET ( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image186.gif" \* MERGEFORMATINET довільна стала ) збігається як слід було чекати, із розв’язком, знайденим раніше.
Приклад 2. При відстоюванні суспензії має місце повільне осідання твердих частинок під дією сили ваги , якщо опір середовища пропорційний швидкості осідання частинок, що осідають в рідині без початкової швидкості.
Р о з в ’ я з о к. Згідно з законом Ньютона INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image187.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image188.gif" \* MERGEFORMATINET маса частинки; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image189.gif" \* MERGEFORMATINET швидкість її руху; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image190.gif" \* MERGEFORMATINET час; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image191.gif" \* MERGEFORMATINET сила дії на частинку. Враховуючи умову задачі, маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image192.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image193.gif" \* MERGEFORMATINET вага частинки; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image194.gif" \* MERGEFORMATINET сила опору; INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image195.gif" \* MERGEFORMATINET коефіцієнт пропорційності. Отже, відносно швидкості руху INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image196.gif" \* MERGEFORMATINET дістаємо рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image197.gif" \* MERGEFORMATINET ,
або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image198.gif" \* MERGEFORMATINET , причому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image199.gif" \* MERGEFORMATINET .
Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Щоб знайти його частинний розв’язок, що задовольняє початковій умові INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image199.gif" \* MERGEFORMATINET , спочатку відшукаємо загальний розв’язок рівняння. Використаємо метод варіації довільної сталої. Відповідне однорідне рівняння має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image200.gif" \* MERGEFORMATINET .
Після відокремлювання змінних та інтегрування отримаємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image201.gif" \* MERGEFORMATINET , звідки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image202.gif" \* MERGEFORMATINET .
Щоб знайти загальний розв’язок рівняння з правою частиною, вважаємо, що в останній рівності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image203.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image204.gif" \* MERGEFORMATINET ,
і відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image205.gif" \* MERGEFORMATINET одержується, згідно з умовою, таке рівняння:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image206.gif" \* MERGEFORMATINET ,або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image207.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image208.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image209.gif" \* MERGEFORMATINET довільна стала. Інтегруючи, маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image210.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді загальний розв’язок рівняння набуває вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image211.gif" \* MERGEFORMATINET ,або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image212.gif" \* MERGEFORMATINET .
Поклавши тут INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image213.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image214.gif" \* MERGEFORMATINET , знайдемо, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image215.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, частинний розв’язок поставленої задачі матиме вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image216.gif" \* MERGEFORMATINET .
Приклад 3. З фізики відома залежність між силою стуму INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image217.gif" \* MERGEFORMATINET та електрорушійною силою INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image218.gif" \* MERGEFORMATINET в колі, яке має опір INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image219.gif" \* MERGEFORMATINET та самоіндукцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image220.gif" \* MERGEFORMATINET ( INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image219.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image220.gif" \* MERGEFORMATINET - сталі):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image221.gif" \* MERGEFORMATINET .
Якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image222.gif" \* MERGEFORMATINET , то це рівняння повністю збігається з диференціальним рівнянням, розглянутим у прикладі 2, хоч описувані процеси зовсім різні.
Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image223.gif" \* MERGEFORMATINET . Тоді відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image217.gif" \* MERGEFORMATINET маємо диференціальне рівняння, яке зручно записати у вигляді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image224.gif" \* MERGEFORMATINET .
Знайдемо загальний розв’язок цього лінійного рівняння. Нехай INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image225.gif" \* MERGEFORMATINET , де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image226.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image196.gif" \* MERGEFORMATINET - невідомі функції. Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image227.gif" \* MERGEFORMATINET Після підстановки в рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image228.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image229.gif" \* MERGEFORMATINET маємо: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image230.gif" \* MERGEFORMATINET
або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image231.gif" \* MERGEFORMATINET .
Невідому функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image196.gif" \* MERGEFORMATINET знайдемо з рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image232.gif" \* MERGEFORMATINET ,звідки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image233.gif" \* MERGEFORMATINET . Величина INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image234.gif" \* MERGEFORMATINET визначається з рівності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image235.gif" \* MERGEFORMATINET ,
звідки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image236.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image209.gif" \* MERGEFORMATINET довільна стала. Позначимо інтеграл, що фігурує справа, через INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image037.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image237.gif" \* MERGEFORMATINET . Інтегруючи двічі частинами, отримаємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image238.gif" \* MERGEFORMATINET ,
а функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image226.gif" \* MERGEFORMATINET визначимо за допомогою рівності
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image239.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, сила струму INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image228.gif" \* MERGEFORMATINET визначається виразом
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image240.gif" \* MERGEFORMATINET .
12.5. Рівняння Бернуллі
Диференціальне рівняння виду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image241.gif" \* MERGEFORMATINET , (12.24)
в якому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image242.gif" \* MERGEFORMATINET неперервні функції, а число INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image243.gif" \* MERGEFORMATINET відмінне від
нуля та одиниці, називається рівнянням Бернуллі (при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image244.gif" \* MERGEFORMATINET
маємо лінійне рівняння, а при INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image245.gif" \* MERGEFORMATINET - рівняння з відокремлюваними
змінними).
Покажемо, що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку. Для цього поділимо ліву й праву частини рівняння (12.24) на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image246.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image247.gif" \* MERGEFORMATINET
та виконаємо заміну змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image248.gif" \* MERGEFORMATINET . Оскільки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image249.gif" \* MERGEFORMATINET ,
диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image250.gif" \* MERGEFORMATINET
яке є лінійним. Проінтегрувавши його одним з описаних раніше способів і повернувшись від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image251.gif" \* MERGEFORMATINET до попередньої змінної INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , можна отримати розв’язок рівняння Бернуллі.
Зауважимо, що зручніше розв’язувати рівняння Бернуллі, не зводячи його до лінійного, за допомогою підстановки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image252.gif" \* MERGEFORMATINET , тобто так само, як і лінійне неоднорідне рівняння.
Покажемо це на прикладі.
Приклад . Розв’язати рівняння Бернуллі
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image253.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ’ я з о к. Будемо шукати невідому функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image254.gif" \* MERGEFORMATINET у вигляді. INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image255.gif" \* MERGEFORMATINET . Підстановка цієї функції у рівняння приводить до рівності INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image256.gif" \* MERGEFORMATINET або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image257.gif" \* MERGEFORMATINET .
Функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image148.gif" \* MERGEFORMATINET знайдемо із співвідношення INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image258.gif" \* MERGEFORMATINET , яке отримується, якщо вираз у дужках прирівняти до нуля: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image259.gif" \* MERGEFORMATINET . Відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image149.gif" \* MERGEFORMATINET отримується рівняння з відокремлюваними змінними
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image260.gif" \* MERGEFORMATINET , загальний інтеграл якого буде таким:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image261.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image262.gif" \* MERGEFORMATINET довільна стала. Отже, відповідь
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image263.gif" \* MERGEFORMATINET .
12.6. Рівняння в повних диференціалах.
Інтегруючий множник
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image264.gif" \* MERGEFORMATINET (12.25)
називається рівнянням у повних диференціалах, якщо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image265.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image266.gif" \* MERGEFORMATINET - неперервні диференційовані функції, для яких
виконується співвідношення
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image267.gif" \* MERGEFORMATINET , (12.26)
причому INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image268.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image269.gif" \* MERGEFORMATINET - також неперервні функції.
Покажемо, що коли ліва частина рівняння (12.25) є повним диференціалом деякої функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image270.gif" \* MERGEFORMATINET , то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25) випливає, що ліва частина рівняння (12.25) – повний диференціал (вперше цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)).
Справді, нехай зліва у рівнянні (12.25) стоїть повний диференціал, тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image271.gif" \* MERGEFORMATINET .
Оскільки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image272.gif" \* MERGEFORMATINET ,
маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image273.gif" \* MERGEFORMATINET
Тоді частинні похідні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image268.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image269.gif" \* MERGEFORMATINET визначаються за формулами
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image274.gif" \* MERGEFORMATINET .
Оскільки зліва в цих рівностях згідно з умовою записані неперервні функції, то це означає, що й праві частини, тобто INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image275.gif" \* MERGEFORMATINET та
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image276.gif" \* MERGEFORMATINET , також неперервні. Звідси випливає, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image277.gif" \* MERGEFORMATINET , що й доводить рівність (12.26).
Припустимо тепер, що умова (12.26) виконується, і знайдемо функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image270.gif" \* MERGEFORMATINET , завдяки якій диференціальне рівняння (12.25) можна подати у формі
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image278.gif" \* MERGEFORMATINET (12.27)
Оскільки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image279.gif" \* MERGEFORMATINET , то інтегруючи, маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image280.gif" \* MERGEFORMATINET (12.28)
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image281.gif" \* MERGEFORMATINET - абсциса будь-якої точки в області існування розв’язку, а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image282.gif" \* MERGEFORMATINET - поки що невідома функція, яка залежить лише від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET . Знайдемо похідну INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image283.gif" \* MERGEFORMATINET , користуючись формулою (12.28):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image284.gif" \* MERGEFORMATINET (12.29)
Враховуючи, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image285.gif" \* MERGEFORMATINET і користуючись умовою (12.26) для заміни підінтегральної функції, з (12.29) отримуємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image286.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image287.gif" \* MERGEFORMATINET або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image288.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image289.gif" \* MERGEFORMATINET , або INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image290.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET - довільна стала. Підставляючи знайдену функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image282.gif" \* MERGEFORMATINET у вираз (12.28), отримаємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image291.gif" \* MERGEFORMATINET .
Це дозволяє записати загальний розв’язок рівняння (12.25) (або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image292.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image031.gif" \* MERGEFORMATINET - довільна стала.
Зауваження. На практиці зручніше продиференціювати
рівність (12.28) за INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET , потім замінити INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image283.gif" \* MERGEFORMATINET відомою функцією INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image266.gif" \* MERGEFORMATINET , а далі – визначити INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image293.gif" \* MERGEFORMATINET та INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image294.gif" \* MERGEFORMATINET .
Приклад . Розв’язати рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image295.gif" \* MERGEFORMATINET
Р о з в ’ я з о к. Позначимо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image296.gif" \* MERGEFORMATINET
і переконаємося, що це – рівняння в повних диференціалах. Справді, частинні похідні INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image297.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image298.gif" \* MERGEFORMATINET рівні між собою:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image299.gif" \* MERGEFORMATINET
Отже, умова (12.26) виконується. Для знаходження функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image270.gif" \* MERGEFORMATINET про інтегруємо рівність INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image300.gif" \* MERGEFORMATINET .
Маємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image301.gif" \* MERGEFORMATINET .
Звідси визначимо похідну: INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image302.gif" \* MERGEFORMATINET та прирівняємо її до відомої функції INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image303.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image304.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image305.gif" \* MERGEFORMATINET і, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image306.gif" \* MERGEFORMATINET ,
де INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image141.gif" \* MERGEFORMATINET - довільна стала.
Функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image270.gif" \* MERGEFORMATINET знайдено:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image307.gif" \* MERGEFORMATINET .
Загальний інтеграл рівняння має вигляд INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image308.gif" \* MERGEFORMATINET .
Розглянемо питання про можливість зведення рівняння виду (12.25), для якого не виконується умова (12.26), до рівняння в повних диференціалах. Домножимо обидві частини рівняння (12.25) на деяку функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image309.gif" \* MERGEFORMATINET таку, що рівняння
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image310.gif" \* MERGEFORMATINET (12.30)
буде рівнянням у повних диференціалах. Згідно з доведеним для цього необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність, аналогічна рівності (12.26):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image311.gif" \* MERGEFORMATINET ,
або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image312.gif" \* MERGEFORMATINET .
Зведемо подібні члени
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image313.gif" \* MERGEFORMATINET .
Поділивши обидві частини цього рівняння на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image314.gif" \* MERGEFORMATINET та врахувавши, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image315.gif" \* MERGEFORMATINET , отримаємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image316.gif" \* MERGEFORMATINET (12.31)
Це рівняння в частинних похідних відносно INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image309.gif" \* MERGEFORMATINET . Розв’язати його – це завдання не простіше, ніж інтегрування вихідного рівняння. Розглянемо два частинні випадки, коли рівняння (12.31) спрощується і його можна розв’язати.
1) Нехай шуканий інтегральний множник залежить лише від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image317.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image318.gif" \* MERGEFORMATINET , і рівняння (12.31) набуває вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image319.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image320.gif" \* MERGEFORMATINET (12.32)
Якщо права частина цього рівняння не залежить від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET , то воно легко інтегрується.
2) Якщо інтегральний множник є функцією тільки від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image321.gif" \* MERGEFORMATINET , то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image322.gif" \* MERGEFORMATINET , а INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image323.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image324.gif" \* MERGEFORMATINET (12.33)
Якщо вираз справа залежить лише від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET , рівняння (12.33) інтегрується.
Приклад 2. Розв’язати рівняння INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image325.gif" \* MERGEFORMATINET . Зауважимо, що в розглянутому випадку INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image326.gif" \* MERGEFORMATINET .
Р о з в ’ я з о к. Знайшовши частинні похідні
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image327.gif" \* MERGEFORMATINET
переконуємося, що умова (12.26) не виконується.
Спробуємо підібрати інтегральний множник виду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image328.gif" \* MERGEFORMATINET . Рівняння (12.32) набуває вигляду
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image329.gif" \* MERGEFORMATINET .
Вираз у правій частині останньої рівності залежить і від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET , і від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET . Отже, інтегрального множника вигляду INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image330.gif" \* MERGEFORMATINET не існує.
Припустимо, що INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image331.gif" \* MERGEFORMATINET , і складемо рівняння (12.33):
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image332.gif" \* MERGEFORMATINET .
Оскільки вираз у правій частині цієї рівності залежить від INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET , рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв’язків:
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image333.gif" \* MERGEFORMATINET , звідки INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image334.gif" \* MERGEFORMATINET . Перевіримо, чи множник INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image335.gif" \* MERGEFORMATINET знайдено правильно. Для цього домножимо обидві частини вихідного рівняння на INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image336.gif" \* MERGEFORMATINET та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть умові (12.26). Маємо
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image337.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image338.gif" \* MERGEFORMATINET
і, отже, інтегральний множник було знайдено правильно (оскільки (12.26) – рівняння в повних диференціалах). Знайдемо функцію INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image339.gif" \* MERGEFORMATINET . Оскільки
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image340.gif" \* MERGEFORMATINET то INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image341.gif" \* MERGEFORMATINET , або
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image342.gif" \* MERGEFORMATINET .
Продиференціюємо INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image339.gif" \* MERGEFORMATINET по INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image005.gif" \* MERGEFORMATINET та прирівняємо цю похідну до INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image343.gif" \* MERGEFORMATINET :
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image344.gif" \* MERGEFORMATINET .
Отже, INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image345.gif" \* MERGEFORMATINET і INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image346.gif" \* MERGEFORMATINET .
Тоді
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image347.gif" \* MERGEFORMATINET ,
і загальний інтеграл рівняння має вигляд
INCLUDEPICTURE "D:\\Vitaliy\\Хмельниць\\dn\\k014\\50_files\\image348.gif" \* MERGEFORMATINET
