Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язанні відносно похідної
1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку.
Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд
EMBED Equation.3 (1)
Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку EMBED Equation.3 -ої степені.
Означення 1. Функція EMBED Equation.3 , визначена і
EMBED Equation.3 (2)
неперервнодиференційовна на EMBED Equation.3 називається розв’язком Д.Р. (1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (1) в
тотожність
EMBED Equation.3
Означення 2. Будемо говорити, що рівняння EMBED Equation.3 визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає EMBED Equation.3 як функцію EMBED Equation.3 і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).
Означення 3. Рівняння EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , визначає розв’язок Д.Р.(1) в параметричній формі, якщо
EMBED Equation.3
Криві на ел. EMBED Equation.3 , які відповідають розв’язкам, будемо називати EMBED Equation.3
Задача Коші - задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови EMBED Equation.3 .
Означення 4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(1) з початковими умовами EMBED Equation.3 має єдиний розв’язок, якшо через EMBED Equation.3 в достатньо малому околі її проходить стільки EMBED Equation.3 , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.
Теорема 1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).
Якщо функція EMBED Equation.3 задовільняє наступним умовам:
а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т. EMBED Equation.3 ;
б) EMBED Equation.3 ;
в) EMBED Equation.3 ;
то Д.Р.(1) має єдиний розв’язок EMBED Equation.3 , визначений і неперервно диференційовний в околі т EMBED Equation.3 , задовільняючий умови EMBED Equation.3 і такий, що EMBED Equation.3
> Без доведення <
Припустимо, що розв’язуючи Д.Р.(1) відносно EMBED Equation.3 , ми знайдемо дійсні розв’язки
EMBED Equation.3 (3)
де EMBED Equation.3 визначені в обл. EMBED Equation.3 так, що маємо EMBED Equation.3 Д.Р. першого порядку, розв’язаних відносно EMBED Equation.3 . Припустимо, що в EMBED Equation.3 точці EMBED Equation.3 , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (3), різний. Так що EMBED Equation.3 різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на EMBED Equation.3 .
Нехай кожне Д.Р. (3) на EMBED Equation.3 має загальний інтеграл
EMBED Equation.3 (4)
Означення 5. Сукупність інтегралів (4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. EMBED Equation.3 .
Інколи замвсть співвідношення (4) записують
EMBED Equation.3 (5)
Якщо поле на EMBED Equation.3 не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка EMBED Equation.3 , в якій значення хоча б двох функцій EMBED Equation.3 співпали, то EMBED Equation.3 відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці EMBED Equation.3 . Тому крім EMBED Equation.3 Д.Р. (3), будуть ще склеєні EMBED Equation.3 . Всі вони будуть входити в (4) або (5).
В загальному випадку Д.Р. (1) не удається розв’язати відносно EMBED Equation.3 в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство EMBED Equation.3 в вигляді
EMBED Equation.3 (6)
яке називається загальним інтегралом Д.Р. (1).
Якщо сімейство EMBED Equation.3 задано в вигляді
EMBED Equation.3 (7)
то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (1)
Зауважимо, що в (6) можуть входити і розв’язки Д.Р. виду (3), коли EMBED Equation.3 -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.
Сімейство EMBED Equation.3 , заданих в параметричному вигляді
EMBED Equation.3 (8)
будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.
Означення 6. Розв’язок EMBED Equation.3 Д.Р. (1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.
Означення 7. Розв’язок EMBED Equation.3 називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв’язку задачі Коші.
Аналогічно Д.Р., розв’язаним відносно EMBED Equation.3 , Д.Р. (1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні особливими.
Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (3) розв’язок EMBED Equation.3 буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (3).
Приклад 1.
EMBED Equation.3 (9)
З (9) маємо: EMBED Equation.3
Тоді EMBED Equation.3 - загальний інтеграл.
або EMBED Equation.3 . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох EMBED Equation.3 (мал. 1).
EMBED PBrush
мал. 1.
Розв’язок задачі Коші для Д.Р. (9) в кожній точці площіни EMBED Equation.3 являється єдиним. В точці EMBED Equation.3 ми маємо два напрямки поля: EMBED Equation.3 ; І через цю точку проходить два EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 (11)
і EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 .
Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.
2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.
Припустимо, що Д.Р. (1) представлено в формі (3). При досліджені на особливий розв’язок рівнянь виду (3) ми прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких EMBED Equation.3 являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (1) до рівнянь (3) є недоцільність при визначені особливих розв’язків, так як EMBED Equation.3 .
Дійсно, припустимо, що _____ похідні EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 (12).
Припустимо, що EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 буде необмеженою при умові
EMBED Equation.3 (13)
Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи
EMBED Equation.3 (14)
Розв’язок системи (14)
EMBED Equation.3 =0 (15)
дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.
Приклад 2.
EMBED Equation.3 (16)
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (17)
Співвідношення (17) – дискримінантна крива рівняння (16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля EMBED Equation.3 . В той же час – через неї може проходити не одна EMBED Equation.3 .
3. Загальний метод введення параметра.
Розглянемо Д.Р. (1). Припустимо, що воно допускає параметризацію
EMBED Equation.3 (18)
Так, що EMBED Equation.3 при всіх значеннях параметрів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Використовуючи (18) і співвідношення EMBED Equation.3 ми з Д.Р. (1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.
EMBED Equation.3
Тому
EMBED Equation.3
Візьмемо, наприклад, EMBED Equation.3 за незалежну змінну, EMBED Equation.3 – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.
EMBED Equation.3 (19)
Якщо
EMBED Equation.3 (20)
загальний розв'язок Д.Р. (19), то загальний розв'язок Д.Р. (1) можна отримати в параметричній формі.
EMBED Equation.3 (21)
Розглянемо деякі частинні випадки:
А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.
Це рівняння має вигляд
EMBED Equation.3 (22)
За параметри EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 можна взяти EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Позначимо EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3 (23)
Маємо
EMBED Equation.3
Звідки
EMBED Equation.3 (24)
Нехай EMBED Equation.3 – загальний розв'язок Д.Р. (24), тоді EMBED Equation.3 – загальний розв'язок Д.Р. (22).
Д.Р. (24) може мати особливий розв'язок EMBED Equation.3 , тоді Д.Р. (22) може мати особливий розв'язок EMBED Equation.3 .
Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.
Це рівняння має вигляд
EMBED Equation.3 (25)
Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (22). Покладемо EMBED Equation.3 . Тоді
EMBED Equation.3
Використовуючи співвідношення EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 (26)
Якщо EMBED Equation.3 – загальний інтеграл Д.Р. (26), то
EMBED Equation.3 (27)
загальний інтеграл Д.Р. (25).
Якщо EMBED Equation.3 – особливий рощзв'язок Д.Р.(26), то EMBED Equation.3 -може бути особливим розв'язком Д.Р. (25).
Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.
В. Рівняння Лагранжа.
Це рівняння має вигляд
EMBED Equation.3 (28)
Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо EMBED Equation.3 . Тоді
EMBED Equation.3 (29)
З (29) маємо
EMBED Equation.3 (30)
Д.Р. (30) лінійне по EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (31)
Нехай EMBED Equation.3 – розв'язок Д.Р. (31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі
EMBED Equation.3 (32)
Особливі розв'язки можуть бути там, де
EMBED Equation.3 (33)
тобто
EMBED Equation.3 (34),
де EMBED Equation.3 – корені рівняння (33).Розв'язок (34) може бути частинним або особливим.
Г. Рівняння Клеро.
Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 (35)
Покладемо EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3 (36)
Використовуючи EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 (37)
Рівняння (37) розпадається на два
EMBED Equation.3 (38)
Перше рівняння дає EMBED Equation.3 , підставляючи яке в (35) будемо мати загальний розав’язок
EMBED Equation.3 (39)
Друге - EMBED Equation.3 , разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі
EMBED Equation.3 (40)
Розв’язок (40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно
EMBED Equation.3
звідки
EMBED Equation.3 (41)
Дискримінантна крива (41) співпадає з розв’язком (40).
Приклад 3.
Розв’язати рівняння Лагранжа EMBED Equation.3 .
Покладемо EMBED Equation.3 . Маємо EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Отримали лінійне рівняння
EMBED Equation.3
Його розв’язок
EMBED Equation.3 (42)
EMBED Equation.3 (43)
загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 (44)
Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають
EMBED Equation.3
Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.
Приклад 4.
EMBED Equation.3
Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –
EMBED Equation.3
Запишемо дискримінантну криву
EMBED Equation.3
Звідки EMBED Equation.3 - особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при EMBED Equation.3 .
4. Неповні рівняння.
а). Д.Р. які містять тільки похідну.
Це рівняння вигляду
EMBED Equation.3 (45)
Рівняння (45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків.
EMBED Equation.3 (46)
де EMBED Equation.3 – деякі числа, задовільняючі функцію EMBED Equation.3 .
Інтегруємо (46)
EMBED Equation.3 (47)
Так як EMBED Equation.3 то
EMBED Equation.3 (48)
загальний інтеграл Д.Р. (45). Таким чином при таких припущеннях EMBED Equation.3 Д.Р. (45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (48). При цьому в (48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.
Приклад 5.
Розв’язати EMBED Equation.3 .
Згідно (48) EMBED Equation.3 – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку EMBED Equation.3 , входять розв’язки комплексного Д.Р. EMBED Equation.3
б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд
EMBED Equation.3 (49)
Якщо (49) можна розв’язати відносно похідної
EMBED Equation.3 (50)
то
EMBED Equation.3 (51)
являється загальним інтегралом Д.Р. (49).
Якщо ж розв’язати відносно EMBED Equation.3 не можна, а допускається параметризація
EMBED Equation.3 (52)
тобто
EMBED Equation.3 (53)
Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі
EMBED Equation.3 (54)
Якщо Д.Р. (49) має вигляд
EMBED Equation.3 (55)
тоді це рівняння легко параметризується EMBED Equation.3 .В частинному випадку EMBED Equation.3 . Загальний розв’язок запишеться в формі
EMBED Equation.3 (56)
Приклад 6.
Зайти загальний розв’язок рівняння EMBED Equation.3 .
Вводимо параметризацію EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Маємо
EMBED Equation.3
Загальний розв’язок в параметричній формі.
в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.
Це рівняння вигляду
EMBED Equation.3 (57)
Якщо рівняння (57) розв’язане відносно EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 (58)
то
EMBED Equation.3 (59)
Являється загальним інтегралом Д.Р. (57). Особливими розв’язками можуть бути криві EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 – корені рівняння EMBED Equation.3 (або EMBED Equation.3 ).
Якщо Д.Р. (57) не можна розв’язати відносно EMBED Equation.3 , але воно допускає параметризацію
EMBED Equation.3 (60)
то
EMBED Equation.3 (61)
Загальний розв’язок Д.Р. (57) в параметричній формі.
Приклад 7.
Розв’язати EMBED Equation.3 . Введемо параметризацію EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
звідки
EMBED Equation.3
зашальний розв’язок нашого рівняння.
г) Узагальнено однорідні рівняння.
Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів EMBED Equation.3 , яким відповідають величини EMBED Equation.3 -го, EMBED Equation.3 -го і EMBED Equation.3 виміру, тобто
EMBED Equation.3 (62)
Зробимо заміну
EMBED Equation.3 (63)
де EMBED Equation.3 – нова незалежна змінна, EMBED Equation.3 – нова шукана функція. Маємо
EMBED Equation.3
тобто EMBED Equation.3 . З іншої сторони
EMBED Equation.3 (64)
Підставимо (63),(64) в Д.Р. (1)
EMBED Equation.3
отримане рівняння
EMBED Equation.3 (65)
не містить незалежної змінної EMBED Equation.3 .