Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної
1. Рівняння Рікатті.
Рівняння Рікатті має вигляд EMBED Equation.3 , (1)
де P(x), Q(x), R(x) – визначені неперервні на (a,b) .
Причому R(x) EMBED Equation.3 0 і P(x) EMBED Equation.3 0 ,так як при цьому диференційне
рівняння (1) вироджується в рівняння Бернуллі і лінійне відповідно.
При таких критеріях відносно функцій P(x) , Q(x), R(x)
диференційне рівняння (1) має єдиний розв’язок при EMBED Equation.3 .
Тому діференційне рівняння особливих розв’язків не має.

Властивості диференційного рівняння (1) :
а) Диференційне рівняння (1) інваріантно відносно перетворення :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; (2)
б) Диференційне рівняння (1) інваріантно відносно дробно-
лінійного перетворення : EMBED Equation.3 (3)
де EMBED Equation.3 будь-які неперервно-диференційовані функції на
(a,b), , які задовольняють умові EMBED Equation.3 , z-нова незалежна
змінна.
Заміною EMBED Equation.3 диференційне рівняння (1) приводиться до
рівняння вигляду : EMBED Equation.3 (4)
При змінних EMBED Equation.3 диференційне рівняння (1) інтегрується
тільки в деяких випадках , а саме :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 константи ; (5)
Це диференційне рівняння з розділеними змінними ;
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 константи; (6)
Це однорідне диференційне рівняння ;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 константи ; (7)
Це диференційне рівняння , яке зводиться до диференційного рівняння (5)
заміною EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (8) інтегрується , так як узагальнено – однорідне
при EMBED Equation.3 . Заміна EMBED Equation.3 Тут EMBED Equation.3 -постійні , такі що EMBED Equation.3
Побудова загального розв’язку диференційного рівняння (1)
в випадках , якщо відомі частинні лінійно-незалежні розв’язки.
А. Відомо один частинний розв’язок EMBED Equation.3
Твердження 1. Якщо відомо один частинний розв’язок EMBED Equation.3 диференційного рівняння (1) , то воно зводиться до рівняння Бернуллі при n=2 .
Доведення. Зробимо заміну EMBED Equation.3 (9) . Підставимо в (1) .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Звідки
EMBED Equation.3 Далі підстановкою EMBED Equation.3
диференційне рівняння EMBED Equation.3 зводимо до лінійного EMBED Equation.3
Тому при відомому одному частинному розв’язку диференційне рівняння EMBED Equation.3 інтегрується через дві квадратури. На практиці одразу роблять підстановку EMBED Equation.3 Дослідимо структуру загального розв’язку диференційного рівняння EMBED Equation.3 . Так як EMBED Equation.3 то
EMBED Equation.3 Тобто загальний розв’язок-це дробно-раціональна функція змінної EMBED Equation.3 .
Б. Відомо два частинні розв’зки диференційного рівняння EMBED Equation.3
Твердження 2 Якщо відомо два частинні розв’зки диференційного рівняння EMBED Equation.3 , то загальній розв’язок знаходиться одного квадратурно.
Дійсно, при заміні EMBED Equation.3 являється частинним розв’язком
лінійного рівняння EMBED Equation.3 . Тут загальний розв’язок диференційного рівняння EMBED Equation.3 знаходиться одного квадратурно EMBED Equation.3
В. Відомо три частинні розв’зки диференційного рівняння EMBED Equation.3
Загальний розв’ язок диференційного рівняння Рікатті знаходиться без квадратур.Дійсно, якщо EMBED Equation.3 частинні розв’язки диференційного рівняння EMBED Equation.3 ,то EMBED Equation.3
частинні розв’язки лінійного рівняння EMBED Equation.3 . А в цьому випадку його розв’язок знаходиться без квадратур
EMBED Equation.3
Підставляючи в EMBED Equation.3 знайдемо розв’язок диференційного рівняння EMBED Equation.3
2. Рівняння в повних диференціалах
Означення 1 . Рівняння EMBED Equation.3 називається рівняння в повних диференціалах, якщо його ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції EMBED Equation.3
тобто EMBED Equation.3
Загальний інтеграл диференційного рівняння EMBED Equation.3 має вигляд EMBED Equation.3 Особливих розв’язків диференційне рівняння EMBED Equation.3 не має .
Приклад 1 EMBED Equation.3 - загальний
Інтеграл .
Припустимо,що функції EMBED Equation.3 - неперервно диференційовані.
Теорема 1. Для того,щоб диференційне рівняння EMBED Equation.3 було в повних диференціалах необхідно і достатньо,щоб виконувалася рівність EMBED Equation.3
Доведення . Необхідність. Нехай диференційне рівняння EMBED Equation.3 являється рівнянням в повних диференціалах EMBED Equation.3 Звідси EMBED Equation.3 А це означає,що
виконуеться EMBED Equation.3 .
Достатність. Нехай умова EMBED Equation.3 виконується. Покажемо,що існує EMBED Equation.3 ,яка задовольняє диференційне рівняння EMBED Equation.3 або ж EMBED Equation.3 . Розглянемо перше рівняння з системи EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Рівняння EMBED Equation.3 задовольняє функція EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 - довільна функція, яку виберемо так, щоб виконувалося друге рівняння системи EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Або EMBED Equation.3 . Використавши EMBED Equation.3 , отримаємо EMBED Equation.3 Отже EMBED Equation.3
Теорема доведена.
Беремо EMBED Equation.3 ,тоді загальний інтеграл диференційного рівняння EMBED Equation.3 буде EMBED Equation.3 ,тобто EMBED Equation.3
Якщо при побудові функції EMBED Equation.3 взяти за сталу друге рівняння системи EMBED Equation.3 , то отримаємо EMBED Equation.3 В формулах EMBED Equation.3 точки EMBED Equation.3 вибириють довільно, але так , щоб інтеграли мали зміст. EMBED Equation.3 Якщо точки EMBED Equation.3 вибрані вдало , то задача інтегрування спрощується.
Приклад 2. Розв’язати диференційне рівняння EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Використовуємо формулу EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3
Знайдемо EMBED Equation.3 Отже, EMBED Equation.3 - загальний інтеграл.
Формули EMBED Equation.3 дають можливість розв’язувати задачу Коші з умовами EMBED Equation.3 ,якщо точка EMBED Equation.3 лежить в області визначення диференціального рівняння . Для цього достатньо взяти в EMBED Equation.3 с=0 .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Цей розв’язок буде єдиний .
Інтегрувальний множник. Теореми про існування, неєдиність і загальний вигляд інтегрувального множника.
Розглянемо диференціальне рівняння EMBED Equation.3 ,яке не являється рівнянням в повних диференціалах.
В багатьох випадках диференціальне рівняння EMBED Equation.3 можна домножити на функцію EMBED Equation.3 , після чого воно буде диференціальне рівняння в повних диференціалах . Функція EMBED Equation.3 називається інтегрувальним множником, а
EMBED Equation.3 - відповідним йому інтегралом диференціального рівняння EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 . Звідки EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 отже EMBED Equation.3
Маємо EMBED Equation.3 - це рівняння в часткових похідних першого порядка відносно EMBED Equation.3 .В загальному випадку знайти EMBED Equation.3 з рівняння EMBED Equation.3 важко.
Розглянемо випадки , коли EMBED Equation.3 можна визначити з EMBED Equation.3 :
А. EMBED Equation.3
При EMBED Equation.3 маємо диференціальне рівняння EMBED Equation.3
Щоб в такій формі існував інтегральний множник необхідно , щоб EMBED Equation.3 тоді EMBED Equation.3 тобто EMBED Equation.3 Для простоти візьмемо с=1 , будемо мати EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Б. EMBED Equation.3 Маємо EMBED Equation.3 Звідки EMBED Equation.3 Якщо EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3
В. EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 - відома функція . Тоді рівняння EMBED Equation.3 приймає вигляд EMBED Equation.3 Якщо EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3 При умові EMBED Equation.3 диференціальне рівняння EMBED Equation.3 можна проінтегрувати і знайти EMBED Equation.3
знаючи інтегрувальний множник ми можемо знайти всі особливі розв’язки .
Так як EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 , тобто диференціальне рівняння EMBED Equation.3 перепишемо так EMBED Equation.3
Звідки EMBED Equation.3 дає інтеграл EMBED Equation.3 . А рівняння EMBED Equation.3 може дати особливі розв’язки . Для їх знаходження треба : а) знайти криві , на яких EMBED Equation.3 приймає нескінченні значення ; б) перевірити , чи являються ці криві розв’язками диференціального рівняння EMBED Equation.3 ; в) перевірити єдиність в кожній точці цих кривих ;
Якщо ж EMBED Equation.3 обмежена функція , то особливих розв’язків немає .
Теорема 2 (про існування інтегрального множника) Якщо диференціальне рівняння EMBED Equation.3 має загальний інтеграл EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - інтеграл диференціального рівняння EMBED Equation.3 в заданій області , який має часткові похідні другого порядку , то це рівняння має інтегрувальний множник .
Доведення. Так як EMBED Equation.3 інтеграл , то EMBED Equation.3 в силу EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 зв’язані диференціальним рівнянням EMBED Equation.3 . Так , що EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 задовільняють системі рівнянь
EMBED Equation.3
Підставивши в одне з рівнянь EMBED Equation.3 , тобто виключаючи його і в силу довільності EMBED Equation.3 будемо мати з EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 тобто EMBED Equation.3 звідки EMBED Equation.3 тому EMBED Equation.3
Теорема доведена .
Теорема 3 (про неєдиність інтегрувального множника). EMBED Equation.3
Якщо EMBED Equation.3 інтегрувальний множник диференціального рівняння EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 відповідний йому інтеграл , то EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 - неперервно диференційована функція не рівна тотожньо нулю , також являється інтегрувальним множником диференціального рівняння EMBED Equation.3 .
Доведення . Дійсно, домножимо диференціальне рівняння EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , отримаємо EMBED Equation.3
Тобто ліва частина являється повним диференціалом функції EMBED Equation.3 ,а це означає , що функція EMBED Equation.3 визначена співвідношенням EMBED Equation.3 , являється
інтегрувальним множником .
Теорема 3. (про загальний вигляд інтегрувального множника )
Два будь-яких інтегрувальних множника EMBED Equation.3 диференціального рівняння EMBED Equation.3 зв’язані співвідношенням EMBED Equation.3
Доведення . Нехай EMBED Equation.3 - інтегрувальні множники . яким відповідають інтеграли EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3
Поділимо перше рівняння на друге , отримаємо EMBED Equation.3 Але два інтеграли диференціального рівняння EMBED Equation.3 залежні , тобто EMBED Equation.3 ,
Де EMBED Equation.3 - диференційована функція . Маємо EMBED Equation.3 . Терема доведена .