Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення1. Декартів (прямий) добуток множин
Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.
Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A?B) називається множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A (a?A), а другий - множині B (b?B).
Тобто
A?B = {(a,b) | a?A і b?B } або (a,b)?A?B ? EMBED Equation.2
Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,..., An - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина
D = { (a1,a2,...,an) | a1?A1, a2?A2,..., an?An },
яка складається з усіх наборів (a1,a2,...,an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1,2,...,n. Декартів добуток позначається через A1? A2?...? An.
Набір (a1,a2,...,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1,a2,...,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,...,an) і (b1,b2,...,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,...,n. Отже, кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою.
Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A?A?...?A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.
Прийнято вважати, що A0 = ? (n=0) і A1 = A (n=1).
Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то
A?B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},
A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.
2. Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 - це множина пар (a,b), де a,b?R, або множина точок координатної площини.
Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.
3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A - це множина
A* = {e} ? A ? A2 ? A3 ?... = {e}? EMBED Equation.2 Ai,
де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.
Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,...,an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2...an, aj?A, j=1,2,...,n. Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 - слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 - це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.
Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A?B)?C і A?(B?C), а також множини A?B і B?A, взагалі кажучи, нерівні між собою.
Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:
(A ? B) ? C = (A?C) ? (B?C),
(A?B) ? C = (A?C)?(B?C),
A ? (B ? C) =(A?B) ? (A?C), (1.8)
A ? (B?C) =(A?B)?(A?C).
Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,...,an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.
Проекцією кортежу w=(a1,a2,...,an) на осі з номерами i1,i2,...,ik називається кортеж (ai1,ai2,...,aik), позначається Рri1,i2,...,ik(w) = (ai1,ai2,...,aik).
Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V: PriV = { Pri(v) | v?V }.
Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:
Pri1,i2,...,ikV = { Pri1,i2,...,ik(v) | v?V }.
Приклад 1.10. Pri1,i2,...,ik( A1 ? A1 ?...? An ) = Ai1 ? Ai2 ?... ? Aik.
Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.
2. Відповідності, функції і відображення
Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C?A?B.
Якщо (a,b)?C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.
Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього задання використовують ті самі методи, що й для довільних множин.
Крім того, відповідність можна задавати (або ілюструвати) за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,a),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2,а). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності
Зручним методом задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч - точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a,b) належить заданій відповідності. На рис.1.2,б зображено діаграму відповідності C із попереднього абзацу.
1
2
3
4
5
a
b
c
d
A
B
EMBED Word.Picture.6
а) б)
Рис.1.2.
Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=R?R, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 + y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x|?1, |y|?1}. Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 - квадратична парабола, а графіком C3 - всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).
Припустимо, що C?A?B деяка відповідність.
Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C - областю значень відповідності C (інші позначення - ?С і ?С відповідно).
Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.
Образом елемента a?Pr1C при відповідності C називається множина всіх елементів b?Pr2C, які відповідають елементу a.
Прообразом елемента b?Pr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів a?Pr1C, яким відповідає елемент b.
Якщо A?Pr1C, то образом множини A при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини B?Pr2C.
Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об’єднання, перетин, різниця тощо.
Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.
Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що D ={(b,a) | (a,b)?C}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.
Якщо задано відповідності C?A?B і D?B?F, то композицією відповідностей C і D (позначається C?D ) називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a,b)| існує елемент c?B такий, що (a,c)?C і (c,b)?D }.
Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.
Відповідність f?A?B називається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові a?Pr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента a?Pr1f є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f - функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A ? B і позначають f:A?B або A EMBED Equation.2 B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R?R або функціями типу R ? R.
Всюди визначена функціональна відповідність f?A?B називається відображенням A в B і записується як і функція f:A?B або A EMBED Equation.2 B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.
Відображення типу A ? A називають перетвореннями множини A.
Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.
Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента a?Pr1f позначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента b?Pr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.
Нехай f:A?B функція з множини A в множину B, а g:B?C - функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається f?g, називається функція h:A?C така, що h(a) = g(f(a)) для a?Pr1f?A і f(a)?Pr1g?B.
Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.
Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента b?Pr2f його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.
Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.
Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.
Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли вона функцiональна, всюди визначена, сюр’єктивна та iн’єктивна.
Вiдповiднiсть iA = { (a,a) | a?A } називається тотожним перетворенням, дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.
Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.
Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки не всі поля шахівниці зайняті фігурами.
2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового запису є відображенням. Це відображення не є ін’єктивним, оскільки йому належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).
3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу n?N відповідає число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.
4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.