ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну
EMBED Equation.3 (1)
тоді
EMBED Equation.3 (2)
де а EMBED Equation.3 0, якщо EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 0.
Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:
EMBED Equation.3 (3)
Перший з доданків лінійний відносно EMBED Equation.3 х і при EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 0 та f'(x0) EMBED Equation.3 0 є нескінченно малою одного порядку з EMBED Equation.3 х, тому що:
EMBED Equation.3
Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж EMBED Equation.3 х, тому що:
EMBED Equation.3
Цей доданок не є лінійним відносно EMBED Equation.3 х, тобто містить EMBED Equation.3 х в степені, вищому від одиниці.
Тоді доданок f'(x)· EMBED Equation.3 x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції EMBED Equation.3 у і називається диференціалом функції.
Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).
Отже, маємо
dy = f'(x) · EMBED Equation.3 x (4)
Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і EMBED Equation.3 х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· EMBED Equation.3 x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної.
На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так:
dy = f' (x) dx (5)
Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх EMBED Equation.3 0), безпосередньо знаходимо:
EMBED Equation.3 (6)
Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної EMBED Equation.3 можемо надавати dy і dx самостійного значення:
Вираз (3) можемо записати ще так:
EMBED Equation.3 (7)
Звідки
EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 Якщо EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 0, то й EMBED Equation.3 отже, і EMBED Equation.3 0.
Зауважимо, що коли в точці х0 похідна EMBED Equation.3 то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту EMBED Equation.3 y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).
Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.

Рис. 1
Маємо PN = EMBED Equation.3 y, QN = MN tg EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 хf'(x) = f´(x) dx = dy.
Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x0 і EMBED Equation.3 х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х0 . Приріст функції EMBED Equation.3 у при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень EMBED Equation.3 x.
Формули диференціювання.
1. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
4. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
5. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
6. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
7. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
8. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
9. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
10. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
11. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
12. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
13. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Правила диференціювання:
I. EMBED Equation.3
II. EMBED Equation.3
III. EMBED Equation.3
IV. EMBED Equation.3
Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Інваріантність форми диференціала.
Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.
Нехай функції y = f (x) i x = EMBED Equation.3 (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ( EMBED Equation.3 (t)). Якщо існують похідні ух ' xt ', то
EMBED Equation.3 (8)
Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = уx '·dx . Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = yt'·dt.
Заміною похідної уt' її виразом (8) одержимо
EMBED Equation.3 але EMBED Equation.3 (9)
тому EMBED Equation.3
Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).
Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:
dy = yx'dx
не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи ні; різниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст EMBED Equation.3 х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.
Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях.
При досить малому прирості х аргументу EMBED Equation.3 х диференційованої функції f(x) приріст у функції EMBED Equation.3 у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 (10)
якщо позначити EMBED Equation.3 х = х - х0, то рівняння (10) приймає вигляд
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 (11)
Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x0,f(x0), відрізком дотичної до кривої в цій точці:
EMBED Equation.3
(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу
EMBED Equation.3
Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко одержати ряд формул
EMBED Equation.3 (наприклад EMBED Equation.3 ) ;
EMBED Equation.3
Приведемо декілька прикладів.
Приклад 1) Обчислимо наближено sin 46°.
Приймемо за початкове значення незалежної змінної х0 = 45° = EMBED Equation.3 , а за EMBED Equation.3 х= 1° = EMBED Equation.3 . Тоді згідно (11)
EMBED Equation.3
Приклад 2) Обчислити наближено EMBED Equation.3 .
Розглянемо функцію EMBED Equation.3 і приймемо за початкове значення незалежної змінної x0 = 4 , а за EMBED Equation.3 х = -0,0022. Тоді
EMBED Equation.3
Диференціал функцій, заданих у параметричній формі.
У випадку многозначної функції ми повинні ставити такі додаткові умови, внаслідок яких треба розглядати окремі частини цієї функції, тобто однозначні функції. Наприклад розглянемо еліпс, віднесений до його осей симетрії. Рівняння еліпса буде:
EMBED Equation.3
Тут у — двозначна функція від х: EMBED Equation.3
Щоб дістати однозначну функцію, умовимося брати праву частину або тільки із знаком плюс або тільки із знаком мінус. Отже, визначатимемо тільки частину еліпса, що на практиці створює часто певні незручності. Щоб їх подолати і вивчити криву в цілому, вдаються до іншого аналітичного запису функції, а саме: виражають х і у як однозначні функції якогось параметра, підібраного так, щоб із зміною в певних межах цього параметра точка за координатами (х;у) описувала всю криву. Так, для еліпса параметри рівняння матимуть вигляд х = а cost, y = b sin t, де t змінюється від 0 до 2 EMBED Equation.3 .
У загальному випадку функція складається в параметричній формі так: x=x(t),y = y(t) (a).
При умові існування для функції у(t) оберненої функції t = EMBED Equation.3 (х) , то у= EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 (х)) = f (x)
У випадку, якщо функція задана параметричне, можна безпосередньо за рівнянням (а), не переходячи до рівняння y = f (x), знайти похідну від у по х.
Це можна зробити, використовуючи формулу похідної функції від функції (складної функції) та формули похідної від оберненої функції, а саме:
EMBED Equation.3
Можна вивести цю формулу і іншим способом, використовуючи поняття похідної як відношення двох диференціалів:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для еліпса, заданого рівнянням х = a cos t, y = b sin t.
Маємо EMBED Equation.3