ДИФЕРЕНЦІАЛ
Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Внаслідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різноманітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити диференціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну називають лінеаризацією процесу.
Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різниця) ввів у математику Лейбніц.
1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала
Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х EMBED Equation.3 [а; b], тобто в цій точці має похідну
EMBED Equation.3
Тоді з властивості 1o (гл. 4, п. 3.6)
EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 0,
звідки
EMBED Equation.3 (1)
Перший з доданків лінійний відносно EMBED Equation.3 х і при EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 0 та f' (х) EMBED Equation.3 0 є нескінченно малою одного порядку з EMBED Equation.3 х , тому що (гл. 4, п. 4.3):
EMBED Equation.3
Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж EMBED Equation.3 х , тому що
EMBED Equation.3
Цей доданок не є лінійним відносно EMBED Equation.3 х, тобто містить EMBED Equation.3 х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.
Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно EMBED Equation.3 х, частина приросту функції f(х) в цій точці:
dy = f' (х) EMBED Equation.3 х. (2)
Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = EMBED Equation.3 х, тобто диференціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом EMBED Equation.3 х. Тому формулу (2) можна записати так:
dy = f'(x)dx. (3)
Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала функції до диференціала незалежної змінної.
Зауважимо, що коли в точці х0 похідна f' (х0) = 0, то перши й доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною частиною приросту EMBED Equation.3 . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).
Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо
PN = EMBED Equation.3 y, QN = MNtg EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 хf'(x) = f'(x)dx = dy.
Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і EMBED Equation.3 х дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції EMBED Equation.3 y при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень EMBED Equation.3 х.
З'ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом
S = f(t), де f(t) — диференційовна на деякому проміжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f'(t) EMBED Equation.3 при фіксованих значеннях t і EMBED Equation.3 — це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час EMBED Equation.3 , якби вона рухалась прямолінійно і рівномірно із сталою швидкістю EMBED Equation.3 . Зрозуміло, що фактичний шлях EMBED Equation.3 S у випадку нерівномірного руху на відміну від диференціала dS не є лінійною функцією часу EMBED Equation.3 і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час EMBED Equation.3 достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + EMBED Equation.3 є майже рівномірним.
Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикладах, які розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває конкретного фізичного змісту.
2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала
Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v — диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
d (u ± EMBED Equation.3 ) = du ± d EMBED Equation.3 ;
Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диференціала маємо
d (uv) = (uv)'xdx = (u'v + uv') dx — = vu'dx + uv'dx = vdu + udv.
Особливо важливий висновок випливає з правила диференціювання складеної функції. Нехай у = f (х) = f ( EMBED Equation.3 (t)) — складена функція з проміжним аргументом х = EMBED Equation.3 (t) і кінцевим аргументом t, причому функції f (х), EMBED Equation.3 (t) диференційовні в точках х і t. Тоді існує похідна y't = y'xx't, а отже, і диференціал
dy = y'tdt = y'xx'xdt = y'xdx. (5)
Порівнюючи формули (4) і (5), бачимо, що перший диференціал функції
у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою незалежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функцією іншої змінної.
Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмінністю) форми диференціала. Проте слід зауважити, що формули (4), де х — незалежна змінна, і (5), де х — залежна змінна, однакові лише на вигляд, а зміст їх різний: якщо у формулі (4) ах = Ал:, то у формулі (5)
dx = x'(t)dt EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 x.
3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях
Як уже зазначалось, приріст EMBED Equation.3 y функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: EMBED Equation.3 y EMBED Equation.3 dy. Підставивши сюди значення EMBED Equation.3 y і dy, дістанемо
EMBED Equation.3 (6)
Абсолютна похибка величини EMBED Equation.3 y — dy є при EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 0 нескінченно малою вищого порядку, ніж EMBED Equation.3 x , тому що при f' (х) EMBED Equation.3 0 величини EMBED Equation.3 y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):
EMBED Equation.3
Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя з'ясована в п. 5.2.
Іноді користуються наближеною рівністю
f(х + EMBED Equation.3 х) EMBED Equation.3 f(х). (7)
Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна похибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині диференціала:
EMBED Equation.3
Відносна похибка формули (7) визначається за формулою
EMBED Equation.3
Приклади
1. Знайти диференціал функції у= ln sin 2х: а) при довільних значеннях х i EMBED Equation.3 x; б) при х = EMBED Equation.3 ; в) при х = EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 x = 0,1.
О а) Користуючись формулою (4), знаходимо
dy = (ln sin 2x)' dx = 2 ctg 2xdx;
б) EMBED Equation.3 в) EMBED Equation.3
2. Порівняти приріст EMBED Equation.3 y і диференціал dy функції у = х3 + 2x2.
О Знаходимо приріст і диференціал функції:
EMBED Equation.3 y= f (х+ EMBED Equation.3 x)-f (x)= (х + EMBED Equation.3 x)3 + 2 (х + EMBED Equation.3 x)2 - (х3 + 2x2) =
=(Зx2 + 4x) EMBED Equation.3 x + (3х + 2 + EMBED Equation.3 x) EMBED Equation.3 x2;
dy = f' (x) EMBED Equation.3 x = (3x2 + 4x) dx.
Величини EMBED Equation.3 y і EMBED Equation.3 x еквівалентні при EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 0 і х EMBED Equation.3 0, оскільки dx = EMBED Equation.3 x і
EMBED Equation.3
Абсолютна похибка | EMBED Equation.3 y - dy| = |3х + 2 + EMBED Equation.3 x| EMBED Equation.3 x2 при EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з EMBED Equation.3 x, тому що
EMBED Equation.3
якщо х EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 0 і х EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула
EMBED Equation.3
О Розглянемо функцію f (х) = EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 (0; + EMBED Equation.3 ). Маємо EMBED Equation.3 I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f'(х) заданої функції f(х). Одне з можливих фізичних трактувань цієї задачі — визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час руху. З практичної точки зору природною є обернена задача, а саме, визначення пройденого шляху за відомою швидкістю руху як функцією часу. Більш формально, остання задача є знаходженням функції f(х) за відомою її похідною f (х). Розв'язується ця задача за допомогою невизначеного інтеграла.
1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
Функція F (х) називається первісною функції f (х) на проміжку EMBED Equation.3 , якщо F (х) диференційовна на EMBED Equation.3 і F' (х) = f (х), х EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Наприклад: 1) первісною функції f(x) = x2, x EMBED Equation.3 R є функція F(x)= EMBED Equation.3 (справді, F'(x) = EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 R); очевидно, що первісними будуть також функції F (х) = EMBED Equation.3 , F(x) = EMBED Equation.3 і взагалі F (x) = EMBED Equation.3 +С, де С — довільна стала, оскільки F' (х) = EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 ;
2) функція f(х) = cos х, х EMBED Equation.3 R має первісну функцію F (х) = sin x + С, aбо
F' (х) = (sin х + С)' = cos х, х EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 R.
Розглянуті приклади показують, що задача знаходження первісної розв'язується неоднозначно. Інакше кажучи, якщо для функції f(х) існує первісна F(х), то ця первісна не одна. Виникає запитання: як знайти всі первісні даної функції, якщо відома хоча б одна з них? Відповідь дає така теорема.
Теорема. Якщо F (х) — первісна функції f (х) на проміжку EMBED Equation.3 , то всяка інша первісна функції f (х) на цьому самому проміжку має вигляд F (х) + С.
О Нехай Ф(х) — деяка інша, крім F (х), первісна функції f(х), тобто Ф'(х) = f(х), х EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Маємо
EMBED Equation.3
а це означає (гл. 5, п. 5.2, прикл. 4), що Ф(х)-F (x) = С. Отже, Ф(х)=Р(х)+С. •
З цієї теореми випливає, що множина функцій F(х)+С, де F(х) — одна з первісних функції f(х), а С — довільна стала, визначає всю сукупність первісних заданої функції.
Якщо F(х) — первісна функції f(х) на проміжку EMBED Equation.3 і С — довільна стала, то вираз F(х) + С називається невизначеним інтегралом функції f(х) на цьому проміжку і позначається символом EMBED Equation.3 . Таким чином, символ EMBED Equation.3 означає множину всіх первісних функції f (х).
Знак EMBED Equation.3 , який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx — підінтегральним виразом, f(х) — підінтегральною функцією, х — змінною інтегрування. Отже, за означенням,
EMBED Equation.3 f(x)dx= F(x) + C, якщо F'(x) = f(x), x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (1)
Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.
З погляду геометрії невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсувом однієї з них паралельно самій собі уздовж осі Оу (рис. 1). Щоб з цієї множини виділити певну інтегральну криву F(x), достатньо задати її значення F(х0) в якій-небудь точці х0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
З рівностей (1) випливають такі властивості невизначеного інтеграла.
1°. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:
( EMBED Equation.3 (х) dx)' = (F (x) + С)' = F' (x) = f (х).
Інакше кажучи, знаки похідної і невизначеного інтеграла взаємно знищуються. Це природно, бо операції диференціювання та інтегрування — взаємно обернені. Внаслідок цього правильність виконання операції інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:
EMBED Equation.3 (х) = EMBED Equation.3 '(х) dx = EMBED Equation.3 (х) dx = F(х) + С.
3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:
d( EMBED Equation.3 (х) dx) - ( EMBED Equation.3 (х) dx)' dx = f(х) dx.
4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
EMBED Equation.3 (x)dx=C EMBED Equation.3 (x)dx.
5°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:
EMBED Equation.3
Властивості 4° і 5° перевіряються диференціюванням на основі властивості 1°. Властивість 5° справедлива для довільного скінченного числа доданків.
6°. Якщо
EMBED Equation.3
і u = EMBED Equation.3 (х) — довільна функція, що має неперервну похідну, то
EMBED Equation.3 (u)du=F(u)+C. (2)
О Внаслідок інваріантності форми першого диференціала (гл. 5, п. 3.2) і властивості 2° маємо
dF (u)=F'(u) du=f(u) du;
EMBED Equation.3
Ця властивість (її називають інваріантністю формули інтегрування) дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від того, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. Таким чином, кількість інтегралів, які обчислюються (або, як кажуть, «беруться»), необмежено збільшується. Наприклад, EMBED Equation.3 оскільки EMBED Equation.3 .
Користуючись інваріантністю цієї формули, одержимо формулу EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 — довільна функція, що має неперервну похідну. Зокрема:
EMBED Equation.3
тобто EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
тобто EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
тобто EMBED Equation.3
Природно, виникає запитання: чи для всякої функції існує невизначений інтеграл? Негативну відповідь на це запитання дає такий приклад: нехай
EMBED Equation.3
Покажемо, що функція f(x) на проміжку (- 1; 1) не має первісної. Припустимо протилежне. Нехай існує така функція F(х), що EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 ( - 1; 1): F'(х)=f(х). Тоді з теореми Лагранжа на відрізку [0; х], 0 < x < l, випливає, що
EMBED Equation.3
(F'+ (0) — права похідна функції F(х) в точці х = 0). Але F'+ (0) = F(0) = 0. Одержане протиріччя означає, що задана функція первісної не має.
Цей приклад показує, що потрібна теорема, яка б гарантувала існування невизначеного інтеграла.
В п. 2.4 буде доведено, що всяка неперервна на проміжку EMBED Equation.3 функція має на цьому проміжку первісну. У зв'язку з цим надалі вважатимемо, що підінтегральна функція розглядається дише на тих проміжках, де вона неперервна.