Cинтез систем з оптимізацією модальних регуляторів
Розглянемо задачу оптимального вибору структури розподілу керуючого сигналу в лінійній системі з метою мінімізації норми матриці коефіцієнтів підсилення в оберненому зв’язку закону модального регулювання.
Нехай в системі
EMBED Equation (3.1)
де EMBED Equation.3 – n - вимірний, u – m - вимірний вектори, необхідно визначити обернений зв’язок
EMBED Equation (3.2)
згідно умови модального керування
EMBED Equation (3.3)
при оптимізації EMBED Equation за рахунок вибору як елементів матриці С , так і елементів матриці B з відповідних множин EMBED Equation
Методи визначення матриці підсилення модального регулятора наводяться в роботах [2, 4, 6, 9, 11] . Один з можливих методів визначення матриці модального регулятора зводиться до представлення шуканої матриці у вигляді EMBED Equation EMBED Equation [ 10, 11 ] . Це представлення матриці підсилення звужує множину можливих модальних регуляторів, але дає можливість порівняно просто визначати коефіцієнти модального регулятора. Пропонується наступний підхід по визначенню матриці C . Представимо систему (3.1) у вигляді
EMBED Equation
де
EMBED Equation
Спочатку розглянемо систему
EMBED Equation
і визначимо коефіцієнти характеристичного рівняння
EMBED Equation
по формулі [ 9 ]
EMBED Equation
де
EMBED Equation
елементами вектора p є коефіцієнти характеристичного рівняння розімкнутої системи.
На наступному кроці розглядається система
EMBED Equation
з коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи
EMBED Equation
де
EMBED Equation
На кроці m розглядається наступна система рівнянь
EMBED Equation
де
EMBED Equation
для замкнутої системи, якій необхідно забезпечити наступні коефіцієнти характеристичного рівняння
EMBED Equation
вибираючи відповідним чином вектор EMBED Equation [ 9 ] . Компоненти вектора EMBED Equation.2 є коефіцієнтами характеристичного рівняння (3.3).
Таким чином, у випадку обмежень виду
EMBED Equation
наведена задача оптимізації модального регулятора зводиться до наступної задачі керування системою з дискретним аргументом
EMBED Equation (3.4)
з початкового стану
EMBED Equation (3.5)
в кінцевий
EMBED Equation (3.6)
при умові оптимізації наступного функціоналу
EMBED Equation (3.7)
Вектор EMBED Equation визначається з умови
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
Для розв’язання поставленої задачі запишемо чисельну процедуру знаходження матриць EMBED Equation З цією метою запишемо функцію Гамільтона [12] для системи (3.4)
EMBED Equation
EMBED Equation
Спряжені змінні EMBED Equation задовільняють наступним системам рівнянь
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation

Матриці EMBED Equation розмірності EMBED Equation мають наступну структуру
EMBED Equation
де EMBED Equation одиничні орти розмірності n . Тоді
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
` EMBED Equation
для градієнтних обчислювальних процедур
EMBED Equation
Після знаходження нових параметрів, в результаті градієнтного спуску, EMBED Equation значення функціоналу (3.7) зменшиться, але при цих параметрах кінцева умова (3.6) не буде виконуватися. Для коректування параметрів, при яких буде задовольнятися кінцева умова (3.6), пропонується наступна процедура. Ліанеризуємо систему (3.4) в околі векторів EMBED Equation в результаті для приростів отримаємо наступну систему рівнянь
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
Тоді кінцевий стан системи для приростів має наступний вигляд
EMBED Equation
де EMBED Equation – імпульсна перехідна функція системи,
EMBED Equation
EMBED Equation
Спроектуємо вектор EMBED Equation , використовуючи операцію псевдообернення [1, 7], отримаємо, що при
EMBED Equation
з точністю до величин другого порядку малості кінцевий стан системи (3.4) задовільняє умові (3.6) , де EMBED Equation – операція псевдообернення матриці до матриці T.