Безкінченно малі функції
Визначення 1. Функція f(x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при х?х0), якщо EMBED Equation.3 f(x)=0. Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при EMBED Equation.3
Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю EMBED Equation.3 , то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f(x) називається нескінченно малою в точці х=х0, якщо для любого EMBED Equation.3 існує EMBED Equation.3 , таке, що для всіх EMBED Equation.3 , задовільняющих нерівності EMBED Equation.3 , виконується нерівність EMBED Equation.3 і на язику послідовності: функція EMBED Equation.3 називається безкінечно малою в точці х=х0, якщо для любої зводящоїсі до х0 послідовність EMBED Equation.3 являється нескінченно малою.
Теорема. Для виконання рівняння EMBED Equation.3 f(x)=A необхідно і достатньо, щоб функція була х?х0 нескінченно малою при х?х0 EMBED Equation.3
Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності.
Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при х?х0 , а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при х?х0 .
Нескінченно великі функції
Визначення. Функція f(x)називається безкінченно великою функцією в точці х=х0 (або при х?х0), якщо для любого EMBED Equation.3 існує EMBED Equation.3 таке, що для всіх EMBED Equation.3 задовольняючих нерівність EMBED Equation.3 , виконується нерівність EMBED Equation.3 .
В цьому випадку пишуть EMBED Equation.3 f(x)= EMBED Equation.3 і говорять, що функція стремиться до нескінченності при х?х0 або, що вона має нескінченну межу в точці х=х0.
Якщо виконується нерівність EMBED Equation.3 , то пишуть EMBED Equation.3 f(x)= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 і говорять, що функція має в точці х0 нескінченну межу, рівну EMBED Equation.3 .
Так наприклад, пишуть EMBED Equation.3 f(x)= EMBED Equation.3 , якщо для любого EMBED Equation.3 існує EMBED Equation.3 , таке, що для всіх EMBED Equation.3 , задовольняючих нерівностями EMBED Equation.3 , виконується нерівність EMBED Equation.3 .
“На язику послідовності” це визначення записується так: EMBED Equation.3 , якщо для любої зводящої ??? до х0 послідовності EMBED Equation.3 значення аргументу х, елементи хn який більше x0, відповідають послідовності EMBED Equation.3 значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака.
Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при EMBED Equation.3 . Так, наприклад: функція f(x)називається нескінченно великою при EMBED Equation.3 , якщо для любого EMBED Equation.3 існує EMBED Equation.3 таке, що для всіх EMBED Equation.3 задовольняючих нерівність EMBED Equation.3 , виконується нерівність EMBED Equation.3 . При цьому пишуть EMBED Equation.3 f(x)= EMBED Equation.3 . Якщо виконується нерівність EMBED Equation.3 , то пишуть EMBED Equation.3 f(x)= EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ).
На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же зв'язок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот.
Насправді, нехай EMBED Equation.3 f(x)=0 і f(x) EMBED Equation.3 0 при EMBED Equation.3 .
Докажем, що EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Задамо довільне EMBED Equation.3 . Так як f(х) – нескінченно мала функція в точці х0, то для числа 1/ EMBED Equation.3 існує EMBED Equation.3 таке, що для всіх EMBED Equation.3 , задовільняющих нерівностям EMBED Equation.3 , виконується нерівність EMBED Equation.3 . Но тоді для тих же х виконується нерівність EMBED Equation.3 , т.с. EMBED Equation.3 - нескінченно велика функція в точці х=х0, що і потрібно було доказати.