Числення висловлень
Числення висловлень (ЧВ) згідно з поданою у розділі 1 схемою означається таким чином.
1. Алфавіт числення висловлень складається з елементарних і змінних висловлень (пропозиційних змінних): a,b,c,d,...,x,y,z (можливо з індексами), знаків логічних операцій ?,?,?,? і круглих дужок ( та ).
2. Поняття формули означається аналогічно алгебрі висловлень.
а) всі пропозиційні змінні та елементарні висловлення є формулами;
б) якщо A і B - формули, то вирази (слова) (A?B), (A?B), (?A), (A?B) також є формулами;
в) інших формул, ніж побудовані за правилами а) і б) немає.
Відзначимо важливу властивість даного означення. Можна довести, що існує формальна процедура, яка, будучи застосована до будь-якого слова у розглядуваному алфавіті, за скінченну кількість кроків встановить, чи є дане слово формулою, чи ні. Більш того, за записом формули ця процедура дасть повний її синтаксичний розбір, тобто дасть опис послідовності кроків побудови формули за означеними вище правилами.
Зауважимо також, що з метою зменшення кількості (економії) дужок у формулах вводять порядок виконання (або пріоритети, старшинство) операцій. Зокрема, звичайно, опускають зовнішні дужки формул та замість (?A) записують ?A;
3. Аксіомами числення висловлень будуть такі формули:
A1. a?(b?a)
A2. (a?b)?((a?(b?c))?(a?c))
A3. (a?b)?a
A4. (a?b)?b
A5. (a?b)?((a?c)?(a?(b?c)))
A6. a?(a?b)
A7. b?(a?b)
A8. (a?c)?((b?c)?((a?b)?c))
A9. (a??b)?(b??a)
A10. ??a?a
4. Правилами виведення є:
правило підстановки. Якщо A - вивідна формула, яка містить літеру p (позначимо цей факт A(p)), то вивідною є і формула A(B), що здобувається з A заміною всіх входжень літери p на довільну формулу B; записується
A(p)
A(B)
2) правило висновку (modus ponens). Якщо A і A?B - вивідні формули, то вивідною є й формула B; записується
A, A?B
B
У поданому описі числення висловлень аксіоми є формулами числення (відповідними до означення формули); формули, що використовують у правилах виведення (A, A?B тощо), є метаформулами, або так званими схемами формул.
Схема формул - це вираз метамови для позначення нескінченної множини всіх тих формул числення, які отримують після заміни змінних метамови (метазмінних) цієї схеми певними формулами числення.
Наприклад, для схеми формул A?B, якщо замінити A на p, а B - на p?q, то з даної схеми отримаємо формулу числення p?(p?q); якщо ж метазмінну A замінити на p?q, а B - на (p?q)?p, то дістанемо формулу (p?q)?((p?q)?p) тощо.
Використання схем формул можна поширити і на всі аксіоми. Наприклад, якщо в системі аксіом пропозиційні змінні a,b,c замінити метазмінними A,B,C, то отримаємо десять схем аксіом, що задають десять нескінченних множин аксіом. Таким чином приходимо до іншого способу побудови числення висловлень: з нескінченною множиною аксіом (що задається скінченним числом схем аксіом), але без правила підстановки, оскільки воно неявно міститься у поясненні (інтерпретації) схем аксіом.
Перший спосіб є більш послідовно конструктивним: всі його засоби явно зафіксовані і скінченні; при введенні числення в ЕОМ (наприклад, для автоматизації доведень теорем та побудови виведень для заданих формул) він виглядає природнішим.
З іншого боку, другий спосіб більш відповідає математичній традиції тлумачення (інтерпретації) формул: наприклад, алгебраїчна тотожність (a+b)2=a2+2ab+b2 або відомі логарифмічні чи тригонометричні тотожності тлумачаться саме як схеми тотожностей, а не конкретні тотожності, справедливі лише для конкретних літер. Правило підстановки при цьому мається на увазі і присутнє неявно. Втім, досить очевидно, що перехід від одного способу побудови числення до іншого є нескладним.
Аксіоми числення висловлень разом з правилами виведення повністю визначають поняття довідної (вивідної) формули у ЧВ, або теореми ЧВ.
Вивідними формулами, або теоремами числення висловлень є ті і тільки ті формули, які можуть бути виведені з аксіом за допомогою означених правил виведення.
Розглянемо приклади виведення теорем ЧВ.
Приклад 5.2. Доведемо, що формула a?a є теоремою ЧВ.
1) Підставляючи в аксіому A2 змінну a замість змінної c і b?a замість b, матимемо вивідну формулу
(a?(b?a))?((a?((b?a)?a))?(a?a))
2) Підформула a?(b?a) є аксіомою A1. Тоді з вивідних формул
a?(b?a) і (a?(b?a))?((a?((b?a)?a))?(a?a))
за правилом висновку виводимо формулу
(a?((b?a)?a))?(a?a)).
3) Замінимо в аксіомі A1 b на (b?a):
a?((b?a)?a).
4) Знову, застосовуючи правило висновку до двох останніх формул, матимемо, що формула a?a є вивідною.
Для зручності приймемо таку форму запису виведення формул у ЧВ:
а) послідовність формул виведення писатимемо в стовпчик, нумеруючи їх у порядку слідування F1, F2,....
б) поряд з кожною формулою після двокрапки писатимемо пояснення, що встановлює законність її появи у виведенні.
Правило підстановки EMBED Equation.2 записуватимемо у вигляді EMBED Equation.2 A = A(B), а правило висновку EMBED Equation.2 - у вигляді MP(A, A?B) = B.
Тоді останнє виведення набере вигляду:
F1: EMBED Equation.2 A2 = (a?(b?a))?((a?((b?a)?a))?(a?a))
F2: MP(A1,F1) = ((a?((b?a)?a))?(a?a))
F3: EMBED Equation.2 A1 = (a?((b?a)?a))
F4: MP(F3,F2) = (a?a)
Отже, ми довели таку метатеорему числення висловлень: ?? (a?a).
Важливим і зручним у численні висловлень є означене вище правило виведення формули з певної множини заданих формул, яке дозволяє значно скорочувати подальші виведення.
Наведемо приклади виведення деяких формул зі заданих множин формул.
Приклад 5.3. 1). a ?? (b?a)
F1: a
F2: MP(F1,A1) = b?a
2). a,b,a?(b?c) ?? c
F1: a
F2: b
F3: a?(b?c)
F4: MP(F1,F3) = b?c
F5: MP(F2,F4) = c
3). a,b ?? (a?b)
F1: EMBED Equation.2 A5 = ((a?a)?((a?b)?(a?(a?b))))
F2: (a?a) (див.приклад 5.2)
F3: MP(F2,F1) = ((a?b)?(a?(a?b)))
F4: b
F5: EMBED Equation.2 A1 = (b?(a?b))
F6: MP(F4,F5) = a?b
F7: MP(F6,F3) = (a?(a?b))
F8: a
F9: MP(F8,F7) = (a?b)
Безпосередньо з означення поняття вивідності випливають такі очевидні твердження для довільної множини формул Г.
Лема 1. Якщо ?? B, то Г ?? B.
Лема 2. Якщо A1,A2,...,An ?? B, то A1,A2,...,An,Г ?? B.
Лема 3. Якщо Г ?? A і A ?? B, то Г ?? B (транзитивність відношення вивідності).
Будь-яку доведену у численні вивідність вигляду Г ?? A, де Г - множина формул, A - довільна формула, можна розглядати як правило виведення EMBED Equation.2 , яке можна додати до заданої множини правил.
Наприклад, доведену у прикладі 3(1) вивідність a ?? b?a разом з правилом підстановки можна розглядати як правило EMBED Equation.2 , що може бути інтерпретовано так: «якщо формула A є вивідною, то вивідною є і формула B?A, де B - довільна формула». Це правило надалі можна використовувати для побудови нових виведень. Такі правила називатимемо похідними правилами. За допомогою додаткових похідних правил дістаємо можливість скоротити виведення формул, не виконуючи повного виведення. Маючи скорочене виведення, завжди можна побудувати повне виведення, замінюючи кожну формулу, яка є результатом застосування похідного правила виведення, на повне її виведення. Такою формулою є, наприклад, формула F2 у прикладі 3(3). Iнакше кажучи, похідні правила - це будівельні блоки при побудові виведень формул ЧВ, кожен з яких замінює кілька кроків звичайного виведення.
Могутнім засобом одержання ряду важливих і корисних похідних правил виведення є так звана метатеорема дедукції (МТД); зокрема, сама МТД може розглядатись як таке похідне правило.
Теорема 3 (метатеорема дедукції). Якщо Г,A ?? B, то Г ?? A?B, де Г - множина формул (можливо, порожня), A і B - формули.
Доведення. Зауважимо, що доведення метатеорем на відміну від теорем числення проводиться змістовно як звичайне математичне доведення.
Будемо виходити з того, що задані аксіоми є схемами аксіом, тобто не будемо користуватись правилом підстановки.
Нехай Г,A ?? B. Тоді існує виведення B1,B2,...,Bn з Г,A таке, що Bn=B. Доведемо за індукцією, що для будь-якого k?n Г ?? A?Bk.
Розглянемо спочатку випадок k=1, тобто формулу B1. B1, як перша формула виведення, повинна або бути аксіомою, або міститися в Г, або співпадати з A.
Зі схеми аксіоми A1 випливає, що B1?(A?B1) є аксіомою. Якщо B1 - аксіома або міститься в Г, то за правилом висновку A?B1 є вивідною з Г. Якщо ж B1=A, то з прикладу 2 маємо, що A?A, тобто A?B1 є вивідною формулою. Отже, у будь-якому випадку отримаємо Г ?? A?B1.
Відтак, припустімо, що Г ?? A?Bі для довільного i<k і розглянемо формулу Bk. Можливі чотири ситуації:
а) Bk - аксіома;
б) Bk  міститься у Г;
в) Bk = A;
г) Bk є вивідною з деяких попередніх формул Bj та Bl за правилом висновку; у цьому випадку формула Bl повинна мати вигляд Bj?Bk.
У випадках а), б), в) доведення твердження Г ?? A?Bk здійснюється аналогічно доведенню для B1 (випадки а) і б) - за допомогою схеми аксіоми A1; випадок в) - за допомогою результату прикладу 5.2).
У випадку г) за індуктивним припущенням маємо Г ?? A?Bj і Г ?? A?Bl, де Bl - це Bj? Bk, тобто Г ?? A?(Bj ?Bk).
Підставимо у схему аксіоми A2 A замість a, Bj замість b і Bk замість c. Дістанемо (A?Bj) ? ((A?(Bj ? Bk)) ? (A?Bk)).
Застосовуючи до останньої вивідної формули двічі правило висновку, отримаємо Г ?? A?Bk. Залишилось покласти k=n.
Розглянемо декілька застосувань метатеореми дедукції.
1. Дуже поширеним методом математичних доведень є метод доведення від супротивного: припускаємо, що A є вірним (істинним твердженням), і доводимо, що, по-перше, з A виводиться B, а по-друге, що з A виводиться ?B, що неможливо; отже, A невірно, тобто вірно ?A.
У термінах числення висловлень цей метод формулюється так:
«якщо Г, A ?? B і Г,A  ??  ?B, то Г ??  ?A».
Доведемо справедливість цього правила у численні висловлень.
Справді, за теоремою дедукції, якщо
Г, A ?? B і Г, A ??  ?B, то Г ?? A?B і Г ?? A? ?B
F1: A?B
F2: A? ?B
F3: EMBED Equation.2 A9 = (A? ?B)?(B? ?A)
F4: MP(F2,F3)=B? ?A
F5: EMBED Equation.2 A2 = (A?B)?((A?(B?C))?(A?C))
F6: MP(F1,F5) = (A?(B?C))?(A?C)
F7: EMBED Equation.2 F6 = ((A?B)?(B? ?A))?((A?B)? ?A))
F8: EMBED Equation.2 A1 = (B? ?A)?((A?B)?(B? ?A))
F9: MP(F4,F8) = (A?B)?(B? ?A)
F10: MP(F9,F7) = (A?B)? ?A
F11: MP(F1,F10) = ?A
Доведене твердження (метатеорему) часто називають правилом введення заперечення і записують у вигляді
Г, A ?? B; Г, A ?? ?B
Г ?? ?A
Крім того, неважко переконатись у справедливості для числення висловлень такого твердження або метатеореми, яку можна вважати оберненою до метатеореми дедукції (ОМТД): «якщо Г ?? A?B, то Г, A ?? B»
Послідовно маємо
F1: A
F2: A?B
F3: MP(F1,F2) = B
2. Доведемо тепер закон виключення третього:  ?? A ? ?A.
F1: EMBED Equation.2 A6 = A?(A? ?A)
F2: EMBED Equation.2 (a?a) = (?(A? ?A))?(?(A? ?A)) (див.приклад 2)
З формул F1 і F2 маємо (за ОМТД)
F3: ?(A? ?A),A  ??  A? ?A
F4: ?(A? ?A), A  ??  ?(A? ?A)
За доведеним правилом введення заперечення у формула з F3 і F4 отримаємо:
F5: ?(A? ?A)  ??  ?A.
Аналогічно використовуємо аксіому A7, в якій замість b підставляємо ?A.
EMBED Equation.2 A7 = ?A?(A? ?A)
?(A? ?A), ?A  ??  A? ?A
?(A? ?A), ?A  ??  ?(A? ?A)
Отримуємо
F6: ?(A? ?A)  ??  ??A.
За правилом введення заперечення з F5 і F6 дістанемо:
F7:  ??  ?? (A? ?A)
F8: EMBED Equation.2 A10 = ??(A? ?A)?(A? ?A)
F9: MP(F7,F8) = A? ?A, тобто  ?? A? ?A.
Iснують й інші числення висловлень, тобто числення з іншими системами аксіом і правилами виведення.
Наприклад, розглянемо числення висловлень ЧВ1, яке використовує тільки логічні операції ? і ? і має таку систему аксіом:
S1. a?(b?a)
S2. (a?(b?c))?((a?b)?(a?c))
S3. (?a??b)?((?a?b)?a)
Правилами виведення в новому численні є ті самі правила, що і в старому, тобто правило підстановки і правило висновку.
Якщо в системі аксіом першого числення замінити підформули (a?b) на (?a?b), а підформули (a?b) - на ?(a? ?b), то справедливою є така теорема.
Теорема 4. Обидва наведені числення висловлень ЧВ і ЧВ1 є рівносильними в тому смислі, що множини формул вивідних у кожному з цих числень (множини теорем цих числень) співпадають між собою.
Доведення теореми полягає в тому, що доводиться вивідність усіх аксіом першого числення з аксіом другого, і навпаки (з урахуванням зауважень відносно ? і ?).
Яке з двох числень краще? Однозначної відповіді на це питання немає. Друге числення є більш компактним і наочним; відповідно більш компактними є доведення різних його властивостей. У той же час, у багатшому першому численні виведення різноманітних формул є, взагалі кажучи, коротшими.
Можливі й інші числення, що рівносильні двом наведеним.