Завдання 36
Знакозмінні ряди- ряди, які містять як додатні так і відємні значення.
Ряд
??=1
?
an
з довільним чергуванням знаків його членів називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд
??=1
??
|an|
.
Збіжний ряд
??>1
?
|an|
.називають умовно збіжним, якщо ряд
??>1
?
|an|
розбігається.
Ознака Вейєрштраа: функціональний ряд
??>1
?
??n(x)
збігається на множині х рівномірно і абсолютно, якщо |un(x)|<an для всіх х Є х і числовий ряд
??=1
?
an
збігається.
Ознаки Д’Аламбера див завд №32 п.3.
Ознака Коші див завд №33
Завдання 37
Функціональні ряди. Озн. областей збіжності
Функціональним рядом називають ряд
??=1
?
??n(x)
,де un(x) – функції визначені на деякому проміжку.
Ряд
??>1
?
??n(x)
називається збіжним у точці хо , якщо збігається числовий ряд
??>1
?
??n(x0)
.
Степеневі ряди:
Функціональний ряд вигляду
ax+a1x+a2x2+…+anxn+…+
??>0
?
????x^n
,
де aі-дійсні числа називають степеневим рядом
Область збіжності степеневого ряду як і довільного функціонального, можна знаходити користуючись достатніми умовами збіжності знакододатних числових рядів.
Число R?0 називають радіусом збіжності,якщо для |х|>R ряд збігається, а для |х|<R розбігається.
Інтервал( -R;R) називається інтервалом збіжності степеневого ряду.
Теорема Абеля:
Якщо ряд
??>0
?
????x^n
= ax+a1x+a2x2+a3x3+… збігається для х=х1, то він абсолютно збігається для |х|<|x1| якщо ряд розбігається для х=х2 то він розбігається для х|<|x2|.
а). Із заданих рядів вибрати степеневий
??>1
?
1
ln?(x+n)


??>1
?
(x?1)^n
n^2?+1
– степеневий
б).Проінтнгрувати почленно ряд
S(x)=
??>1
?
x^n
2n+1
нв відрізку [0,1]
Теорема: якщо степеневий ряд має радіус збіжності R( суму S(х))то ряд отриманий його почленним диференціюванням, має той же радіус зб R і сума його похідна від ф-ції S(х).
Теорема: Ряд отриманий в результаті почленного інтегрування ряду в межах від 0 до х має такий же радіус збіжності і його сума рівна інтегралу S(x) dlx
??>1
?
x^n
2n+1
=
??
3
+
??^2
5
+
??^3
7
+…
0
1
x
n
2n+1
=
(
??
3
+
??^2
5
+
??^3
7
+…)|01=
1
6
+
1
15
+
1
28
Завдання 38
Розклад функції в ряд Тейлора і Маклорена
Нехай f(x) є нескінченно диференційованою функцією в околі точки х0.
Рядом Тейлора функції f(x) називається ряд вигляду f(x)=
??=1
?
1
??!
f(n)(x0)(x-x0)n= f(x0)+ f `(x0) (x-x0)+1/2*fn(x0) (x-x0)2+…
Для x0= 0 ряд Тейлора називають рядом Маклорена
Теорема: Якщо ф-цію f(x) в інтервалі (x0-R, x0+R) тобто щоб справджувалась рівність
f(x)=
??=1
?
f^(n)(x0)
??!
(x-x0)n необхідно й достатньо щоб ф-ція f(x) мала в цьому інтервалі похідні всіх порядків і залишковий член її ряду Тейлора прямував до нуля при n>? для всіх х з даного інтервалу.
? Знайти перші 3 члени розкладу в ряд Маклорена ф-ції f(x)=3x
Розв.
f `(x)= 3xln3
f```(x)= 3xln2 3
f `` `(x)= 3xln3 3
3x=31+x ln3+1/2(x2 ln2 3)+1/6(x3 ln3 3)+…
Завдання 39
Ряди Маклорена для функцій
ex=1+
x
1!
+
x^2
2!
+
x^3
3!
+… (R=?)
sinx=
x
1!
-
x^3
3!
+
x^5
5!
?
x^7
7!
+… (R=?)
cosx= ex=1 -
x^2
2!
+
x^4
4!
-
x^6
6!
+… (R=?)
ln(1+x)=
x
1
-
x^2
2
+
x^3
3
- … (R=1)
(1+x)?=1+?x+
?(??1)
1?2
x2+
?
??1
(??2)
1?2?3
x3+… (R=1)
Arctgx= x -
x^3
3
+
x^5
5
?
x^7
7
+… (R=1)
Використовуючи попередні ряди розкласти в ряд Маклорена ф-цію:
e2x^2=1+
2x^2
1!
+
4x^4
2!
+
8x^6
3!
+…