Завдання 36 Знакозмінні ряди- ряди, які містять як додатні так і відємні значення. Ряд ??=1 ? an з довільним чергуванням знаків його членів називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд ??=1 ?? |an| . Збіжний ряд ??>1 ? |an| .називають умовно збіжним, якщо ряд ??>1 ? |an| розбігається. Ознака Вейєрштраа: функціональний ряд ??>1 ? ??n(x) збігається на множині х рівномірно і абсолютно, якщо |un(x)|<an для всіх х Є х і числовий ряд ??=1 ? an збігається. Ознаки Д’Аламбера див завд №32 п.3. Ознака Коші див завд №33 Завдання 37 Функціональні ряди. Озн. областей збіжності Функціональним рядом називають ряд ??=1 ? ??n(x) ,де un(x) – функції визначені на деякому проміжку. Ряд ??>1 ? ??n(x) називається збіжним у точці хо , якщо збігається числовий ряд ??>1 ? ??n(x0) . Степеневі ряди: Функціональний ряд вигляду ax+a1x+a2x2+…+anxn+…+ ??>0 ? ????x^n , де aі-дійсні числа називають степеневим рядом Область збіжності степеневого ряду як і довільного функціонального, можна знаходити користуючись достатніми умовами збіжності знакододатних числових рядів. Число R?0 називають радіусом збіжності,якщо для |х|>R ряд збігається, а для |х|<R розбігається. Інтервал( -R;R) називається інтервалом збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля: Якщо ряд ??>0 ? ????x^n = ax+a1x+a2x2+a3x3+… збігається для х=х1, то він абсолютно збігається для |х|<|x1| якщо ряд розбігається для х=х2 то він розбігається для х|<|x2|. а). Із заданих рядів вибрати степеневий ??>1 ? 1 ln?(x+n)
??>1 ? (x?1)^n n^2?+1 – степеневий б).Проінтнгрувати почленно ряд S(x)= ??>1 ? x^n 2n+1 нв відрізку [0,1] Теорема: якщо степеневий ряд має радіус збіжності R( суму S(х))то ряд отриманий його почленним диференціюванням, має той же радіус зб R і сума його похідна від ф-ції S(х). Теорема: Ряд отриманий в результаті почленного інтегрування ряду в межах від 0 до х має такий же радіус збіжності і його сума рівна інтегралу S(x) dlx ??>1 ? x^n 2n+1 = ?? 3 + ??^2 5 + ??^3 7 +… 0 1 x n 2n+1 = ( ?? 3 + ??^2 5 + ??^3 7 +…)|01= 1 6 + 1 15 + 1 28 Завдання 38 Розклад функції в ряд Тейлора і Маклорена Нехай f(x) є нескінченно диференційованою функцією в околі точки х0. Рядом Тейлора функції f(x) називається ряд вигляду f(x)= ??=1 ? 1 ??! f(n)(x0)(x-x0)n= f(x0)+ f `(x0) (x-x0)+1/2*fn(x0) (x-x0)2+… Для x0= 0 ряд Тейлора називають рядом Маклорена Теорема: Якщо ф-цію f(x) в інтервалі (x0-R, x0+R) тобто щоб справджувалась рівність f(x)= ??=1 ? f^(n)(x0) ??! (x-x0)n необхідно й достатньо щоб ф-ція f(x) мала в цьому інтервалі похідні всіх порядків і залишковий член її ряду Тейлора прямував до нуля при n>? для всіх х з даного інтервалу. ? Знайти перші 3 члени розкладу в ряд Маклорена ф-ції f(x)=3x Розв. f `(x)= 3xln3 f```(x)= 3xln2 3 f `` `(x)= 3xln3 3 3x=31+x ln3+1/2(x2 ln2 3)+1/6(x3 ln3 3)+… Завдання 39 Ряди Маклорена для функцій ex=1+ x 1! + x^2 2! + x^3 3! +… (R=?) sinx= x 1! - x^3 3! + x^5 5! ? x^7 7! +… (R=?) cosx= ex=1 - x^2 2! + x^4 4! - x^6 6! +… (R=?) ln(1+x)= x 1 - x^2 2 + x^3 3 - … (R=1) (1+x)?=1+?x+ ?(??1) 1?2 x2+ ? ??1 (??2) 1?2?3 x3+… (R=1) Arctgx= x - x^3 3 + x^5 5 ? x^7 7 +… (R=1) Використовуючи попередні ряди розкласти в ряд Маклорена ф-цію: e2x^2=1+ 2x^2 1! + 4x^4 2! + 8x^6 3! +…