25.загальний розв’язок і загальний інтеграл ДР 1-го порядку. Розв’язування задачі Коші при відомому загальному розв’язку. Частковий і особливий розв’язки.відомий загальний розвязок ДР у’-2х=0:
у = х2 +с . знайти розвязок задачі Коші для цього рівняння з початковою умовою у(1)=0.
Загальним розв’язком ДР є вираз виду:
у=f(х)+с
,де с – const.
Розв’язати задачу Коші означає знайти єдиний розвязок,який би задовільнив умову задачі.
Наприклад прийнявши константу с=0 отримаємо у=f(х)- конкретний розвязок ДР 1-го порядку.
Якщо загальний розвязок одержано в неявному вигляді Ф(х,у,с)=0 то його називають загальним інтегралом.
Розвязок,який отримують із загального при конкретному значенні довільної сталої,називається частковим розв’язком.
Відомий аг.розвязок ДР: у’-2х=0, у=х2+с.
Розвяжемо задачу Коші зпочатковою умовою:
у(1)=0
у(1)=12 +с=0; 1+с=0; с=-1.
У=х2 -1 – розвязок задачі Коші.

26.ДР розв’язані в квадратурах. Др із зміними,що виокремлюються
ДР розв’язані в квадратурах-ДР 1-го порядку,які мають вигляд
????
????
=
??(??)
??(??)
, тощо
Далі ДР зводяться до обчислення простих інтегралів
g(y)dy=f(x)dx
ДР із змінними,що відокремлюються-це рівняння виду:
f1(x)g1(y)y’x + f2(x)g2(y)=0;
ділимо на добуток функцій f1g2 і після інтегрування отримаємо:
g1
y
g2
y
????
+
f2
x
f1
x
????
=с.
Вибрати рівняння з відокремлюваними змінними із заданих рівнянь:
y’=
??
??
????
??
??
x3y’ + y=6 – рівняння з відокремленими змінними
y’ +
??
??
+ xy2 = 0
y’ +
??
3+??
=
ln
5??

27.однорідні функції n-го степеня(приклад). Однорідні ДР 1-го порядку.
а) чи є однорідною і якого степеня функція
х2+у2
?
б) вибрати однорідне рівняння із заданих рівнянь(список в попередньому питанні).
Функція f(x,y) називається однорідною функцією n-го виміру,якщо при заміні в ній змінних х і у відповідно на tx,ty, де t-довільна величина(параметр), одержується та ж функція поміняна на tk,тобто:
f(tx,ty)= tkf(x,y)
показник k називають виміром,або степенем однорідної функції.
Рівняння M(x,y)dx+ N(x,y)dy = 0,в якому функції M(x,y) та N(x,y) – однорідні функції одногой того ж виміру,також є однорідними рівняннями відносно х і у.
а)f(x,y)=
х2+у2
;
f(tx,ty)=
t2х2+t2у2
=??
х2+у2
функція однорідна, першого виміру
б) вибрати однорідне ДР
y’=
??
??
????
??
??
- однорідне ДР.

28.Лінійні ДР 1-го порядку. Метод варіації довільної сталої.
Вибрати лінійне рівняння із заданих рівнянь(список в попередніх питаннях)
Лінійними називають ДР яке є лінійним щодо шуканої функції та похідної, воно має вигляд:
????
????
=??
??
???=??
??
Якщо ??
??
=0, то рівняння називається лінійним однорідним,в іншому випадку- лінійним неоднорідним.
Метод варіації довільної сталої спочатку розв’язують відповідне однорідне ДР
????
????
=??
??
???=0
Його загальний розвязок
у= се?
??
??
????
далі С з попереднього рівняння розглядають як функцію від х, С=С(х), підбирають цю функцію так, щоб функція була розв’язком неоднорідного рівняння.
Загальний розвязок рівняння виражається формулою:
y = е?
??
??
????
(
??(??)
е
??
??
????
dx+C1)
Обрати лінійне рівняння
y’ +
??
3+??
=
ln
5??