25.загальний розв’язок і загальний інтеграл ДР 1-го порядку. Розв’язування задачі Коші при відомому загальному розв’язку. Частковий і особливий розв’язки.відомий загальний розвязок ДР у’-2х=0: у = х2 +с . знайти розвязок задачі Коші для цього рівняння з початковою умовою у(1)=0. Загальним розв’язком ДР є вираз виду: у=f(х)+с ,де с – const. Розв’язати задачу Коші означає знайти єдиний розвязок,який би задовільнив умову задачі. Наприклад прийнявши константу с=0 отримаємо у=f(х)- конкретний розвязок ДР 1-го порядку. Якщо загальний розвязок одержано в неявному вигляді Ф(х,у,с)=0 то його називають загальним інтегралом. Розвязок,який отримують із загального при конкретному значенні довільної сталої,називається частковим розв’язком. Відомий аг.розвязок ДР: у’-2х=0, у=х2+с. Розвяжемо задачу Коші зпочатковою умовою: у(1)=0 у(1)=12 +с=0; 1+с=0; с=-1. У=х2 -1 – розвязок задачі Коші.
26.ДР розв’язані в квадратурах. Др із зміними,що виокремлюються ДР розв’язані в квадратурах-ДР 1-го порядку,які мають вигляд ???? ???? = ??(??) ??(??) , тощо Далі ДР зводяться до обчислення простих інтегралів g(y)dy=f(x)dx ДР із змінними,що відокремлюються-це рівняння виду: f1(x)g1(y)y’x + f2(x)g2(y)=0; ділимо на добуток функцій f1g2 і після інтегрування отримаємо: g1 y g2 y ???? + f2 x f1 x ???? =с. Вибрати рівняння з відокремлюваними змінними із заданих рівнянь: y’= ?? ?? ???? ?? ?? x3y’ + y=6 – рівняння з відокремленими змінними y’ + ?? ?? + xy2 = 0 y’ + ?? 3+?? = ln 5??
27.однорідні функції n-го степеня(приклад). Однорідні ДР 1-го порядку. а) чи є однорідною і якого степеня функція х2+у2 ? б) вибрати однорідне рівняння із заданих рівнянь(список в попередньому питанні). Функція f(x,y) називається однорідною функцією n-го виміру,якщо при заміні в ній змінних х і у відповідно на tx,ty, де t-довільна величина(параметр), одержується та ж функція поміняна на tk,тобто: f(tx,ty)= tkf(x,y) показник k називають виміром,або степенем однорідної функції. Рівняння M(x,y)dx+ N(x,y)dy = 0,в якому функції M(x,y) та N(x,y) – однорідні функції одногой того ж виміру,також є однорідними рівняннями відносно х і у. а)f(x,y)= х2+у2 ; f(tx,ty)= t2х2+t2у2 =?? х2+у2 функція однорідна, першого виміру б) вибрати однорідне ДР y’= ?? ?? ???? ?? ?? - однорідне ДР.
28.Лінійні ДР 1-го порядку. Метод варіації довільної сталої. Вибрати лінійне рівняння із заданих рівнянь(список в попередніх питаннях) Лінійними називають ДР яке є лінійним щодо шуканої функції та похідної, воно має вигляд: ???? ???? =?? ?? ???=?? ?? Якщо ?? ?? =0, то рівняння називається лінійним однорідним,в іншому випадку- лінійним неоднорідним. Метод варіації довільної сталої спочатку розв’язують відповідне однорідне ДР ???? ???? =?? ?? ???=0 Його загальний розвязок у= се? ?? ?? ???? далі С з попереднього рівняння розглядають як функцію від х, С=С(х), підбирають цю функцію так, щоб функція була розв’язком неоднорідного рівняння. Загальний розвязок рівняння виражається формулою: y = е? ?? ?? ???? ( ??(??) е ?? ?? ???? dx+C1) Обрати лінійне рівняння y’ + ?? 3+?? = ln 5??