21. Ознаки невласних інтегралів 1-го роду, та геометричний зміст.
Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування для функції у=f(x) визначаються так:
?ва f(x)dx=lim ?ва f(x)dx,
b>?
?в-? f(x)dx=lim ?ва f(x)dx,
a>?
Якщо відповідна границя існує і є скінченною, то невласний інтеграл називають збіжним, в іншому випадку-розбіжним.
Геометричний зміст.
Інтеграл ??0 f(x)dx
В разі збільшення ординати площа фігури зростає, але не безмежно. У називають площею нескінченної смуги.
Sn = ?в-? f(x)dx
Обрати серед даних інтегралів невласні інтеграли 1-го роду і виразити їх через границі:
??1
dx
X2+x
= lim ?a1
dx
X2+x
a>?
22.Означення невласного інтеграла 2-го роду, та геометричний зміст.
Невласний інтеграл з нескінченними межами для підінтегральної функції визначається так:
?+?-? f(x)dx=?а-? f(x)dx+?+?а f(x)dx
Дана сума інтегралів не залежить від вибору а.
Геометрично: площа нескінченої полоси збігання до максимально великого числа, але вона точно є обмеженою.
Якщо = lim ?na f(x)dx -розбіжний, то маємо невласний інтеграл 2-го роду
n>?
lim ?a1
dx
X2+x
= lim(arctg(a)-arctg(1))=П/4
a>?
Невласних інтегралів 2-го роду в переліку немає.
23. Означення ДР, його порядку, розв’язку, інтегралу.
Диф. Рівнянням називають р-ння, незлежну змінну,невідому функцію та її похідну або диференціали різних порядків.
Порядком диф. р-ння називається порядок найстаршої похідної, що входить до рівняння.
Розв’язком диф. р-ння називається диференційована функція, підставлення якої разом з її похідними перетворє його в тотожність.
Процес відшукання розв’язків диф. р-ння називається розв’язуванням або інтегруванням диф. р-ння.
Диф. р-ння 1-го порядку має вигляд:
F(x,y,y’)=0
Або y’=f(x,y)
Диф. р-ння зі змінними, що відокремлюються:
f1 (x)g1(y)yx’+ f2 (x)g2(y)=0
Однорідні диф. р-ння: y’=f(
y
x
)
Визначити порядок ДР y’-2xy=0 і перевірити, чи є функція y=ex2+3 його розв’язком.
Розв’язання :
Маємо ДР 1-го порядку,
Y’=2x* ex2 ; підставляємо в рівняння:
2x* ex2-2x(ex2+3 )=0;
0=0
y= ex2+3 є розв’язанням р-ння y’-2xy=0
24. Задача Коші. Теорема про існування та єдність розв'язку задачі Коші для ДР 1-го порядку.
Розглянемо р-ння
??y
dx
=f(x,y)
Серед цих розв’язків даног р-ння знайти такий, який при заданому значенні аргумента х=х0 приймає задане значення у(х)=у0. Числа х0 та у0 називають початковими умовами.
Теорема: Якщо ф-ція f(x,y) неперервна в деякій області, що містить точки(х,у), має у цій точці обмежену частинну похідну по у, то існує тільки один розв’язок р-ння y’=f(x,y), який задовольняє умову Коші: у= у0 при х=х0
Чи виконуються умови теореми про існування і єдність розв’язку задачі Коші для такої задачі
Y’=
???y2
x+1
, y(0)=1, в деякому околі т.(0,1)
Розв'язання:
??y
dx
=
???y2
x+1
;

??y
y2
=
??????
x+1
? y-2dy=? dx- ?
????
x+1
(??)?1
?1
= x- ln|x+1|+C
1
y
= ln|x+1|-x+C
Y=
1
x? ln|x+1|+C
Y(0)=
1
?c
=1
C=1
Y=
1
ln
x+1
?X+1
В-дь: Y=
1
ln
x+1
?X+1