Тема 4. Прогнозування часових рядів
1. МЕТОДИЧНІ ПОРАДИ ДО ВИВЧЕННЯ ТЕМИ
З даної теми передбачається вивчення таких питань:
методи згладжування часових рядів;
- методи фільтрації сезонної компаненти;
методи прогнозування випадкових компонент;
інструменти аналізу ARІMA моделей
Для самостійного вивчення цієї теми рекомендується література:
[2,4,7,9].
Вивчення теми надаст студентам можливість знати: механічні та аналітичні методи згладжування часових рядів, методи фільтрації сезонної компоненти; вміти прогнозувати випадкові компоненти часових рядів.
Методи згладжування часових рядів розділяються на дві основні групи:
механічне згладжування окремих рівнів часового ряду, яке не потребує знань про аналітичний вид згладженої фукції;
аналітичне згладжування із використанням кривої, проведеної між певними рівнями ряду так, щоб вона відбивала тенденцію, притаманну ряду, і одночасно позбавляла його від незначних коливань.
Механічні методи згладжування часових рядів використовують фактичні значення сусідніх рівнів ряду і не досліджують аналітичний вид згладженої функції. До механічних методів належать: згладжування по двом точкам, метод простої ковзкої середньої, метод зваженої ковзкої середньої, метод экспоненційного згладжування.
Аналітичні методи згладжування часових рядів грунтуються на припущенні, що відомий загальний вигляд невипадкової складової часового ряду. Вони реалізуються за допомогою регресійних та адаптивних методів.
Регресійні методи є основою побудові кривих зростання. Щоб правильно підібрати найкращу криву для моделювання і прогнозування економічного явища, необхідно знати особливості кожного виду кривих (табл.2.2.1[ ]). Універсальним методом попереднього вибору кривих зростання, який дає можливість вибрати криву із широкого класу, є метод характеристик приросту. Він заснований на використанні окремих характерних властивостей кривих. При цьому методі вхідний часовий ряд попередньо згладжується методом простої ковзкої середньої.
Адаптивні методи прогнозування застосовуються в ситуації змінення
зовнішніх умов, коли найбільш важливими стають останні реалізації досліджуваного процесу. Загальна схема побудови адаптивних методів може бути представлена наступним чином:
За кількома першими рівнями ряду будується модель і оцінюються її
параметри.
На основі побудованої моделі розраховується прогноз на один крок
вперед, причому його відхилення від фактичного рівня ряду розцінюється як помилка прогнозування, яка враховується у відповідності з прийнятою схемою коректування моделі.
За моделлю з відкоректованими параметрами розраховується
прогнозна оцінка на наступний момент часу тощо.
Таким чином, модель постійно вбирає в себе нову інформацію і до кінця періоду навчання відбиває тенденцію розвитку процесу, що існує на даний момент. Прогноз отримується як екстраполяція останньої тенденції. Численні адаптивні методи відрізняються один від одного лише способами числової оцінки прараметрів моделі і визначення параметрів адаптації. Базовими адаптивними методами вважаються методи Хольта, Брауна і Хольта-Уінтерса.
Методи фільтрації сезонної компоненти st. Проблема аналізу
Сезонності (та/або циклічності) полягає у дослідженні сезонних коливань і у вивченні зовнішнього циклічного механізму, що їх породжує. Для дослідження суто сезонних коливань необхідно виділити з часового ряду уt сезонну компоненту st і потім вже аналізувати її динаміку. Більшість методів фільтрації побудовано таким чином, що попередньо виділяється тренд, а потім вже сезонна компонента. Тренд в чистому вигляді необхідний і для аналізу динаміки сезонної хвилі. Оскільки індекси сезонності сезонної хвилі величини безрозмірні і не змінюються з року в рік, то їх можна використовувати для визначення рівня сезонності у часовому ряду. При використанні квартальних даних їх буде чотири, а при місячних спостереженнях – 12.
Для повного дослідження тренд-сезонного часового ряду потрібно розв’язати наступну сукупність і послідовність задач:
1.Визначення наявності тренду і визначення ступені його гладкості.
2.Виявлення наявності у часовому ряду сезонних коливань.
При підтвердженні сезонного процесу здійснюється фільтрація сезонної компоненти.
4. Проводиться аналіз динаміки (еволюції) сезонної хвилі. вилі.
5. Дослідження факторів, які визначають сезонні коливання.
6. Розробка прогнозу тренд-сезонного процесу.
Найбільш поширеними методами фільтрації є ітераційні та гармонічного аналізу.
Методи прогнозування випадкових компонент. На відміну від
прогнозів, які, наприклад, використовують класичну регресійну модель у прогнозі часових рядів суттєво використовується взаємозалежність і прогноз самих випадкових залишків. Отже, мова йде про моделювання не самих часових рядів, а лише їх випадкових залишків. Для описання поведінки випадкових залишків і прогнозування їх значень використовується клас стаціонарних часових рядів, для яких розроблені спеціальні лінійні параметричні моделі такі, як авторегресійні (AR), ковзкої середньої (MA) та ARMA. Однак реальні часові ряди, що зустрічаються в макроекономіці, є у багатьох випадках нестаціонарними. Правда їх нестаціонарність частіш за все проявляється в наявності невипадкової складової ft. У таких випадках говорять про нестаціонарні однорідні часові ряди. Одже нестаціонарний однорідний часовий ряд yt може бути перетворений у стаціонарний часовий ряд процедурою віднімання від ряду yt його невипадкової складової ft. Для моделювання нестаціонарних часових рядів з означеними властивостями використовується ARIMA-модель (авторегресійна інтегрована модель ковзкої середньої) або, її ще називають, модель Бокса-Дженкінса. При цьому AR, MA та ARMA моделі представляють окремі випадки ARIMA моделі.
Інструменти аналізу ARІMA моделей. Щоб визначити структуру
динамічного процесу, дуже важливо розділити часовий ряд на розглянуті три складові і встановити рівень автокореляції, інтегрованості та порядку ковзкої середньої.
Перевірка автокореляції. Для визначення міри автокореляції часових
рядів треба визначити силу зв’язку між поточними та минулими значеннями змінної, що аналізується. Способами цього виміру є коефіцієнти автокореляції та Q-критерій Бокса-Пірса. Порядок авторегресії визначається за допомогою розрахунку взаємної кореляційної (автокореляційної) функції (АКФ) між вихідним рядом уt і цим самим рядом, зрушеним у часі на величину ? (лаг), та часткової автокореляційної функції (ЧАКФ).
Перевірка процесу ковзкої середньої. Якщо знати поведінку коефіцієнта автокореляції та часткового коефіцієнта автокореляції, то можна спробувати визначити, чи містить ряд елемент ковзкої середньої. Якщо значення часткових коефіцієнтів автокореляції спадає за експонентою, а не різко падає до нуля, то можна припустити, що ряд характеризує процес ковзкої середньої, а не AR. Якщо ряд скоріше MA ніж AR, то автокореляція не буде показувати порядок МА-процеса. Для перевірки автокореляції в рядах, де є елементи і авторегресії і ковзкої середньої, використовується критерій Люнга-Бокса (LB).
Перевірка степені інтеграції та стаціонарності. Інтеграція показує в якій степені ряд повинен бути перетворений за допомогою різниць будь-якого порядку, щоб стати стаціонарним, що дуже важливо, оскільки багато методів аналізу часових рядів працюють тільки із стаціонарними рядами.
Простішим способом визначення найбільш підходящого різницевого ряду є розрахунок для кожного ряду його дисперсії, тобто усередненої сумми квадратів розходжень його рівнів з середнім значенням . Для подальшої обробки обирається ряд, в якого величина цього показника є мінімальною.
Перевірка стаціонарності виконується також за допомогою аналіза коренів характеристичного рівняння. Проблеми перевірки на стаціонарність при існуванні автокореляції залишків вирішується завдяки застосуванню розширеного критерія Дікі-Фуллєра[].
2.ТЕМІНОЛОГІЧНИЙ СЛОВНИК
Регресійні методи - методи підібрання найкращої кривої для моделювання і прогнозування економічного явища.
Адаптивні методи прогнозування – методи, які застосовуються в ситуації
змінення зовнішніх умов, коли найбільш важливими стають останні реалізації досліджуваного процесу.
Сезонною хвилею - відношення середнього значення показника в кожному сезонному періоді до середньосезонного значення.
Індекси сезонності vj - ступінь відхилення рівня сезонного часового ряду від ряду середніх yi (тренду) або, кажучи інакше, ступінь коливань відносно 100%.
Ступінь гладкості тренду - мінімальна ступінь поліному функції ft.
Ітераційні методи фільтрації - багаторазове застосування ковзкої середньої і одночасне оцінювання сезонної компоненти в кожному циклі.
Метод гармонічного аналізу - перевірка наявністі сезонних коливань та оцінювання значущісті гармонік ряду Фурьє, які відображують ці коливання.
Авторегресійний процес - процес у якому значення ряду знаходиться в лінійній залежності від попередніх значень.
Процес ковзкої середньої - це процес де змінна є функцією від попередніх помилок, тобто різниць між попередніми розрахованими значеннями та відповідними фактичними спостереженнями.
Інтегрування - різниці яки повинні бути розраховані для того, щоб отримати стаціонарний часовий ряд.
3. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ
1. Які існують методи згладжування часових рядів?
У чому полягає суть механічних методів згладжування часових рядів?
У чому полягає суть аналітичних методів згладжування часових рядів?
Які типи кривих найчастіше використовуються в макроекономічних дослідженнях?
Як здійснується попередній вибір кривої зростання?
6. Дайте характеристику адаптивних методів прогнозування.
7. Дайте характеристику прогнозування тренд-сезонних економічних процесів.
8. У чому полягає сутність метода фільтрації сезоної компаненти?
9. Які існують методи фільтрації сезоної компаненти?
10. Дайте характеристику методів прогнозування випадкових компанент.
11. інструменти аналізу АРІМА моделей?
4. ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ
Завдання 1. У таблиці Д.1.8. подано данні індексу споживчих цін з січня 1997 року по грудень 1999 року. Розрахувати зважені ковзкі середні для СРІ .
Завдання 2. У таблиці Д.1.8. подано данні індексу фізичного обсягу виробництва з січня 1997 року по грудень 1999 року. Розрахувати прости ковзкі середні для РFI.
Завдання 3. Виконайте просте експоненційне згладжування на прикладі щоквартальних даних про індекс оптових цін табл. Д.1.3. Проінтерпретуйте та проаналізуйте отримані результати. Побудуйте графіки. Спрогнозуйте зміну РРІ в першому кварталі 2000 року.
Завдання 4. У таблиці Д.1.8. подано данні індексу споживчих цін з січня 1997 року по грудень 1999 року. Побудуйте лінійну регресійну модель, яка найкраще видображає фактичні зміни.
Завдання 5. У таблиці Д.1.14 наведени щоквартальні даних ВВП у ринкових цінах. Необхідно підібрати найкращу криву зростання для прогнозування ВВП у 2000 році
Завдання 6. У табл. Д.1.1 наведено щоквартальні дані ВВП за категоріями доходу. Пеобхідно підібрати криві, які найбільше підходять для опису тенденції.
Завдання 7. Виконайте адаптивне згладжування Брауна на прикладі щоквартальних даних ВВП табл. Д.1.14. Проінтерпретуйте та проаналізуйте отримані результати. Побудуйте графіки та спрогнозуйте зміну ВВП в першому і другому кварталах 2001 року.
Завдання 8. Виконайте адаптивне згладжування Холта на прикладі щоквартальних даних про оплату праці найманих працівників табл. Д.1.1. Проінтерпретуйте та проаналізуйте отримані результати. Побудуйте графіки та спрогнозуйте оплату праці найманих працівників в 2002 року.
Завдання 9. На основі щоквартальних спостережень рівня безробіття в південному регіоні країни (% від економічно активного населення) за останні 5 років була побудована мультиплікативна модель часового ряду. Відкориговані значення сезонної компоненти за кожний квартал наведені нижче:
I квартал.....1,4 III квартал....0,7
II квартал....0,8 IV квартал.....?
Рівняння тренду виглядає наступним чином:
T = 9,2 - 0,3t
(у розрахунку параметрів тренду для нумерації кварталів використовувалися натуральні числа t = 1,2,3,…,20).
1) Визначити значення сезонної компоненти за IV квартал.
2) На основі побудованої моделі розрахувати точкові прогнози рівня безробіття на I і II квартали наступного року.
Завдання 10. За даними ВВП таблиці Д.1.14, користуючись адитивною моделлю декомпозиційного аналізу часових рядів, розрахувати:
сезонну компоненту часового ряду (S);
помилку прогнозу (Е), якщо відомі сезонна компонента (S) та рівняння
тренду.
Завдання 11. За щосісячними даними номінального ВВП наведеної таблиці Д.1.8. і користуючись мультиплікативною моделлю декомпозиційного аналізу часових рядів, розрахувати: сезонну компоненту часового ряду (S);
помилку прогнозу (Е), якщо відомі сезонна компонента (S) та рівняння тренду.
Завдання 12. За даними показників табл.Д.1.8. зробити повне дослідження тренд-сезонних часових рядів, тобто:
визначити наявність тренду у показників і визначити ступені його гладності;
виявіть наявність у часових рядів сезонних коливань;
при підтвердженні сезонного процесу здійснити фільтрацію сезонних компанент;
здійснити аналів динаміки сезонної хвилі;
здійснити дослідження факторів, які визначають сезонні коливання;
розробити прогноз тренд-сезонного процесу.