Теорія ймовірностей. (М 1) Випадкові події. Теоретичні завдання.
1. Класичне означення ймовірності події.
2. Правило множення комбінаторики.
3. Кількість розміщень з n елементів по k.
4. Кількість перестановок з n елементів.
5. Кількість комбінацій з n елементів по k.
6. Відносна частота і її властивості.
7. Статистичне означення ймовірності.
8. Означення неможливої та достовірної подій.
9. Означення протилежної події.
10. Означення суми і добутку подій.
11. Означення несумісних подій.
12. Означення повної групи несумісних подій.
13. Аксіоми теорії ймовірностей.
14. Формула для ймов. протилежної події.
15. Формула ймовірності суми для будь-яких двох подій.
16. Умовна відносна частота і формула для відносної частоти добутку подій.
17. Умовна ймовірність і формула для ймовірності добутку подій.
18. Незалежні події і формула для ймовірності їх добутку.
19. Формула повної ймовірності.
20. Формула Байєса.
21. Повторні випробування і формула Бернуллі.
22. Формула Пуассона.
23. Локальна формула Лапласа.
24. Інтегральна формула Лапласа.
Практичні завдання.
1. Задача на класичне означення ймовірностей. Яка ймовірність випадання не менше п’яти очок при одному киданні кубика.
2. Задача на гіпергеометричну ймовірність. В урні 5 білих і 7 чорних куль. Яка ймов. того, що з п’яти витягнутих куль дві будуть білими.
3.Задача на незалежні події. На буд. майданчик завозять пісок три машини незалежно одна від одної. Ймовірність завозу для кожної машини 0,5; 0,7; 0,9 відповідно. Знайти ймовірність привозу піску а) рівно одною машиною; б) хоча б одною машиною; в) не менше ніж двома машинами.
4. Розрахувати ймовірність безвідмовної роботи блок-схеми, якщо прилади працюють незалежно один від одного.
0,7 0,6
0,9
0,7
5. Задача на формулу множення ймовірностей. В ящику є деталі трьох сортів: 3, 5, 7 відповідно першого, другого і третього сортів. Послідовно виймають три деталі. Яка ймовірність того, що перша з них буде першого сорту, друга – другого, третя – третього.
6. Задача на формулу повної ймовірності. У цех надходять деталі з трьох верстатів: 40% з першого, 35% з другого та 25% з третього. Ймовірність виготовлення бракованої деталі першим верстатом 0,03, другим – 0,02, третім – 0,04. Який процент браку в цеху?
7. Задача на формулу Байєса. В задачі 6 після вибору бракованої деталі знайти ймовірність того, що вона виготовлена третім верстатом.
8. Задача на формулу Бернуллі. Вважаючи ймовірність народження хлопчика 0,5 знайти ймовірність того, що серед шести новонароджених буде а) три хлопчика; б) не менше п’яти хлопчиків.
9. Задачі на наближені формули до формули Бернуллі. а) Нехай 1% деталей браковані. Знайти ймовірність того, що серед двохсот деталей буде не більше двох бракованих; б) Ймовірність виготовлення робітником деталі першого сорту 0,7. Яка ймовірність виготовлення рівно 340 ( від 340 до 360) деталей першого сорту із 500 виготовлених за зміну?
(М 2) Випадкові величини. Теоретичні питання.
1. Означення випадкової величини.
2. Означення функції розподілу випадкової величини.
3. Властивості функції розподілу.
4. Означення дискретної випадкової величини.
5. Означення неперервної випадкової величини. Щільність розподілу.
6. Властивості щільності розподілу.
7. Формула для математичного сподівання дискретної випадкової величини.
8. Формула для математичного сподівання неперервної випадкової величини.
9. Властивості математичного сподівання.
10. Формула для дисперсії та середнього квадратичного відхилення випадкової величини.
11. Властивості дисперсії.
12. Моменти, асиметрія та ексцес.
13. Мода, медіана і квантилі.
14. Біноміальний розподіл Бернуллі. Формули для MX, DX.
15. Розподіл Пуассона. Формули для MX, DX.
16. Гіпергеометричний розподіл.
17. Геометричний розподіл.
18. Рівномірний розподіл.
19. Нормальний розподіл.
20. Числові характеристики нормального розподілу.
21. Властивості нормальних розподілів.
22. Центральна гранична теорема.
23. Показниковий розподіл.
24. Найпростіші потоки однорідних подій.
25. Розподіли Хельметра-Пірсона та t-розподіл Стьюдента.
26. Нерівність Чебишова.
27. Закон великих чисел.
28. Двовимірна випадкова величина. Функція розподілу.
29. Дискретний двовимірний розподіл.
30. Умовне математичне сподівання однієї випадкової величини відносно іншої.
31. Властивості умовного математичного сподівання.
32. Математичне сподівання, коваріація , кореляційна матриця двовим. випадкової величини.
33. Коефіцієнт кореляції. Незалежні і некорельовані випадкові величини.
34. Властивості коефіцієнта кореляції.
35. Регресія однієї випадкової величини на іншу. Кореляційне відношення.
36. Рівняння лінійної регресії.
37. Властивості кореляційного відношення.
38. Властивості нормально розподіленої двовимірної випадкової величини.
Практичні завдання.
1. Задача на складання дискретного закону розподілу і обчислення його числових характеристик (біноміальний або кількість незалежних подій). Для кожного із трьох працівників отримати виклик на протязі зміни дорівнює 0,6 ( або 0,5; 0,6; 0,7 відповідно). Знайти закон розподілу кількості працівників, що отримають виклик на протязі зміни. Обчислити MX, DX, ?X і побудувати многокутник розподілу.
2. Задача 1 для гіпергеометричного або геометричного розподілів.
3. Задача на складання функції розподілу дискретної випадкової величини. В задачі 1 скласти і побудувати графік функції розподілу. Знайти моду, медіану та квантиль рівня 0,2.
4. Задача на неперервну випадкову величину. Неперервна випадкова величина задана функцією розподілу. Знайти щільність розподілу. Побудувати графіки обох функцій. Знайти MX, DX, ?X. Знайти ймовірність того, що 4<X<7 і зобразити її на графіках. F(x)=
5. Задача 4 але функція розподілу не обов’язково многочлен або задана щільність розподілу. Знайти моду, медіану, квантиль заданого рівня. Знайти AsX, ExX.
6. Задача на нормальний розподіл. Середня маса яблук у ящику 25 кг, а середнє квадратичне відхилення 2 кг. Знайти ймовірність того, що маса яблук у вибраному ящику а) буде в межах від 24 до 27 кг; б) відхилиться від середньої не більше ніж на 3 кг.
7. Задача на найпростіший випадковий потік. На склад надходить у середньому 2 замовлення за день. Знайти ймовірність того, що за наступні 3 дні а) не буде жодного замовлення; б)буде більше трьох замовлень.
8. Задача на нерівність Чебишова. Оцінити за цією нерівністю ймовірність того, що герб появиться від 40 до 60 раз при 100 киданнях монети.
9.Задача на двовимірний дискретний розподіл. Знайти математичне сподівання, кореляційну матрицю, коефіцієнт кореляції. Побудувати умовне математичне сподівання Y відносно X, знайти кореляційне відношення та охарактеризувати зв'язок випадкових величин. Знайти рівняння лінійної регресії Y на X.
X\Y
0.5
0.7
0.8
1

10
0.2
0.1



20

0.1
0.2


30

0.1
0.1
0.2


(М 3) Математична статистика
1. Означення статистики вибірки.
2. Означення оцінки параметра розподілу.
3. Означення міри розсіювання оцінки відносно значення параметра.
4. Незміщена оцінка.
5. Асимптотично незміщена послідовність оцінок.
6. Конзистентна послідовність оцінок.
7. Оцінка ймовірності події. Її властивості.
8. Оцінка математичного сподівання. Її властивості.
9. Оцінка дисперсії з невідомим математичним сподіванням. Її властивості.
10. Виправлена дисперсія. Її властивості.
11. Емпірична функція розподілу та емпіричний розподіл.
12. Емпіричне значення параметра розподілу.
13. Вибіркові оцінки математичного сподівання та моменту к-го порядку.
14. Вибіркові оцінки дисперсії та середнього квадратичного відхилення.
15. Вибіркові оцінки коефіцієнта кореляції та лінійної регресії Y на X.
16. Теорема про вибіркову оцінку.
17. Метод моментів оцінки параметрів.
18. Властивість оцінок, отриманих методом моментів.
19. Метод максимальної правдоподібності.
20. Властивість оцінок, отриманих методом максимальної правдоподібності.
21. Асимптотично нормальна оцінка.
22. Означення надійного інтервалу. Його точність.
23. Найточніший надійний інтервал для математичного сподівання для великих вибірок.
24. Надійний інтервал для ймовірності події для великих вибірок.
25. Надійний інтервал для дисперсії нормального розподілу.
26. Надійний інтервал для математичного сподівання нормального розподілу при невідомій дисперсії.
27. Помилка першого роду.
28. Помилка другого роду.
29. Означення рівня значущості критерію.
30. Як знаходять теоретичні частоти для критерію Пірсона?
31. Як обчислюють ? Коли приймається основна гіпотеза за критерієм Пірсона?
32. Критерій Пірсона для перевірки гіпотези про незалежність випадкових величин.
33. Перевірка гіпотез з допомогою надійних інтервалів.
34. Метод найменших квадратів.
Задачі рівня 1.
Дана вибірка або розподіл частот значень дискретної вип. величини. Побудувати емпіричну функцію розподілу, емпіричний розподіл, полігон. Знайти вибіркові оцінки математичного сподівання, дисперії, середнього квадратичного відхилення. Знайти виправлену дисперсію виправлене середнє квадратичне відхилення.
Дана вибірка або інтервальний розподіл частот значень неперервної вип. величини. Побудувати емпіричну функцію розподілу, кумуляту, емпіричний інтервальний розподіл, гістограму. Знайти вибіркові оцінки математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення. Знайти виправлену дисперсію і виправлене середнє квадратичне відхилення.
Побудувати надійний інтервал заданої надійності для математичного сподівання при великій вибірці, якщо задані вибіркові оцінки математичного сподівання і дисперсії та об'єм вибірки.
Задані емпіричні та теоретичні частоти. Перевірити за критерієм Пірсона гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини, якщо його параметри були оцінені за вибіркою.
Задачі рівня 2.
1. Побудувати оцінки параметрів заданого виду розподілу методом моментів чи методом найбільшої правдоподібності (рівномірний, нормальний, Пуассона, показниковий, біноміальний і т.п.).
2. Побудувати надійні інтервали а) для ймовірності події та для математичного сподівання при великих об’ємах вибірок; б) для математичного сподівання та для дисперсії нормального розподілу.
3. Використовуючи критерій Пірсона перевірити гіпотезу про належність випадкової величини до заданого класу розподілів або гіпотезу про незалежність випадкових величин.
4. Методом найменших квадратів побудувати криву регресії заданого виду.
Завдання на колоквіумДослід, якісна та кількісна характеристика досліду. Неможлива та достовірна події.Протилежна подія.
Які з перечислених позначень є подіями, випадковими величинами в даному досліді:
- на протязі дня в банку буде не менше десяти клієнтів,
- кількість клієнтів на протязі дня.
Для випадкової події сформулювати протилежну.
Сума, добуток, різниця подій. Несумісні події. Повна група несумісних подій.
Знайти суму та добуток вказаних подій:
-працює перший цех,
-працює другий цех,
-працює третій цех.
Виразити через ці події таку подію
-працює тільки один з трьох цехів.
Частота та відносна частота події. Властивості відносних частот.
Знайти частоту та відносну частоту події якщо відомо, що вона сталась 10 разів в 200 дослідах.
Статистична ймовірність події. Аксіоми теорії ймовірностей. Вимірювання ймовірності на практиці.
Оцінити ймовірність події в пункті 3.
Властивості ймовірностей.
Знайти ймовірність суми та різниці двох подій, якщо відомі їх ймовірності та ймовірність їх добутку.
Умовна відносна частота. Відносна частота добутку подій. Умовна ймовірність події. Формула множення ймовірностей та формула для умовної ймовірності.
Знайти умовну відносну частоту події А при умові В та відносну частоту їх добутку, якщо відомо, що в 10 дослідах 6 раз сталась подія В і в цих шести дослідах подія А сталась 4 рази.
Залежні та незалежні події. Теорема множення для незалежних подій.
Знайти ймовірність добутку трьох незалежних подій в сукупності, якщо відомі їх ймовірності.
Простий дослід. Класичне означення ймовірностї. Геометричні ймовірності.
В ящику є 7 білих та 8 чорних куль і витягують одну кулю. Знайти ймовірність того, що вона біла.
Формули комбінаторики.
Скількома способами можна розсадити 10 учнів на 15 місцях?
Формула повної ймовірності та формула Байєса.
На фабриці ймовірність браку в кожному з цехів 0,01, 0,05 та 0,04 відповідно в першому ,другому й третьому. В першому цеху виготовляється 40% продукції, а в другому і третьому порівну. Знайти ймовірність браку на фабриці.
Повторні випробування та формула Бернуллі.
Знайти ймовірність появи трьох гербів при шести киданнях монети.
Наближені формули до формули Бернуллі.
Знайти наближено ймовірність того, що подія з ймовірністю 0,01(0,6) станеться рівно 3 (65) рази в 100 дослідах.
Випадкова величина. Функція розподілу та її властивості.
Зобразити на даному графіку функції розподілу ймовірність попадання в даний проміжок чи ймовірність попадання в дану точку.
Дискретна випадкова величина. Закон розподілу, полігон, функція розподілу.
Побудувати функцію розподілу випадкової дискретної вип. величини якщо відомий закон розподілу.
Абсолютно неперервна випадкова величина, її функція розподілу та щільність розподілу. Властивості щільності.
Задана функція розподілу абс. неперервної вип. величини. Знайти щільність розподілу.
Математичне сподівання випадкової величини та його властивості.
Відомі середні значення незалежних вип. величин X, Y. Знайти M(2X-3Y), M(2XY).
Дисперсія випадкової величини та її властивості.
Знайти DX, якщо відомий закон розподілу дискретної вип. величини.
Моменти, асиметрія, ексцес. Мода, медіана та квантилі.
Знайти моду, початковий та центральний моменти третього порядку і асиметрію, якщо відомий закон розподілу дискретної вип. величини. Знайти медіану та квантиль заданого рівня, якщо задана функція розподілу випадкової величини
Рівномірний розподіл.
Вибрати розподіли, які можна вважати рівномірними та знайти їх середні значення:
-кількість шісток при двох киданнях кубика,
-час очікування поїзду метро, якщо інтервал між поїздами 5хв.
Стандартний нормальний розподіл.
Знайти значення функції стандартного нормального розподілу в заданих точках.
Нормальний розподіл та його властивості. Центральна гранична теорема.
Знайти ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал, якщо відомі її середнє значення та середнє квадратичне відхилення.
Показниковий розподіл, його властивості.
Знайти ймовірність того що телефонна розмова буде тривати ще 3хв, якщо вважати її середній час 5хв.
Біноміальний розподіл.
Вибрати серед даних розподілів в питанні 19 біноміальний та знайти його MX, DX,та середнє квадратичне відхилення.
Розподіл Пуассона. Потоки найпростіших подій.
В середньому на кілограм тіста кидають 20 родзинок. Знайти ймовірність того, що в стограмовій булці буде три родзинки.
Геометричний та гіпергеометричний розподіли. Розподіл Пірсона.
Х – кількість парних чисел з трьох навмання вибраних з чисел 1,2,3,4,5. Який це розподіл? Знайти Р(Х=1).
Нерівність Маркова та Чебишова.
Оцінити ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого середнього значення менше ніж на 5, якщо її дисперсія 4.
Теореми Хінчина, Чебишова та Бернуллі.
Двовимірна випадкова величина. Основні означення.
Скласти закони розподілу випадкових величин X, Y, якщо відомий двовимірний дискретний розподіл (X, Y).
Числові характеристики двовимірної випадкової величини.
Знайти за законом розподілу двовимірної вип. величини cov(X,Y).
Означення регресії. Теорема про лінійну регресію. Властивості коефіцієнта кореляції.
Скласти рівняння лінійної регресії, знайти її похибку та оцінити лінійний зв'язок, якщо задані M(X,Y), K(X,Y).
Умовне математичне сподівання та його властивості.
Скласти закон розподілу умовного математичного сподівання Y відносно Х, якщо задано закон розподілу двовимірної вип. величини.
Теорема про умовне математичне сподівання. Властивості кореляційного відношення.
Заданий закон розподілу умовного математичного сподівання Y відносно Х і DY. Знайти кореляційне відношення, похибку регресії, залишкову дисперсію та охарактеризувати функціональний зв'язок.
Двовимірний нормальний розподіл та його властивості.
Задані нормальні розподіли 2X-3Y +1 та 4X+Y-4, де X,Y – незалежні стандартні нормальні розподіли. Знайти кореляційну матрицю, коефіцієнт кореляції та кореляційне відношення. Оцінити тісноту зв'язку.
Означення вибірки, статистики, оцінки параметра, міри розсіювання параметра. Теорема про міру розсіювання.
Із заданої генеральної сукупності отримати вибірку заданого обсягу.
Означення незміщеної, асимптотично незміщеної, конзистентної та ефективної оцінок. Оцінки
ймовірності події та середнього значення випадкової величини. Їх властивості.
Знайти оцінку ймовірності події якщо відомо, що вона сталась 15 разів у 100 дослідах, або знайти оцінку математичного сподівання, якщо задана вибірка вип. величини.
Оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія. Їх властивості.
Знайти оцінку дисперсії, середнього квадратичного відхилення та виправлену дисперсію і виправлене сореднє квадратичне відхилення, якщо задана вибірка вип. величини.
Емпірична функція розподілу. Емпіричний розподіл. Кумулята, полігон, гістограма.
Побудувати емпіричну функцію розподілу та полігон, якщо задана вибірка вип. величини.
Емпіричні оцінки параметрів розподілу та їх властивість.
Плбудувати вибіркові оцінки початкових моментів до третього порядку, якщо задана вибірка вип. величини.
Метод моментів для побудови оцінок.
Знайти оцінку методом моментів параметра розподілу Пуассона.
Метод найбільшої правдоподібності.
Скласти функцію найбільшої правдоподібності для розподілу із заданою щільністю.
Надійний інтервал. Його побудова, якщо відомий розподіл оцінки параметра.
Відома функція розподілу оцінки параметра. Побудувати надійний інтервал для параметра із заданою надійністю.
Надійні інтервали для параметрів з стандартно нормально розподіленими оцінками.
Знайти найточніший надійний інтервал заданої надійності, якщо відомо, що його оцінка стандартно нормально розподілена.
Надійні інтервали для параметрів нормального розподілу.
Побудувати інтервал заданої надійності для серднього значення нормального розподілу при відомих вибірковому середньому, вибірковій дисперії та заданому обсязі вибірки.
Асимптотично нормальні оцінки. Приклади та їх надійні інтервали.
Побудувати інтервал заданої надійності для серднього значення при відомих вибірковому середньому, вибірковій дисперії та заданому великому обсязі вибірки.
Поняття критерію згоди. Критерій згоди Пірсона.
Задані емпіричні частоти та теоретичні частоти, побудовані з допомогою оцінок двох параметрів розподілу методом найбільшої правдоподібності. Перевірити за допомогою критерію Пірсона гіпотезу про відповідність теоретичному закону розподілу при заданому рівню значущості.
Перевірка гіпотез з допомогою надійних інтервалів. Метод найменших квадратів.
Побудувати методом найменших квадратів оцінку лінійної регресії для заданої вибірки двовимірної вип.величини.