1.Р(А)=m/n – класичне означення ймовірності
Отже, ймовірність події А дорівнює відношенню кількості шансів, що сприяють події А до кількості всіх шансів
2. правило множення: Якщо потрібно виконати дві дії і першу з них можна виконати n1 способами і при будь-якому виконанні першої дії другу дію можна виконати – n2 способами, то ці обидві дії можна виконати n1*n2 способами.
3. Кількість розміщень з n елементів по k. Нехай є n різних елементів, вибираємо з них k елементів (0?k?n) і розміщуємо їх в певному порядку. Такі вибірки називаються розміщеннями. Їх кількість позначається Akn і обчислюється за формулою Akn = n!/(n-k)!
4. Кількість перестановок з n елементів. Кількість перестановок з n елементів познач. Pn
Pn = Апn = n!/(n-n)! = n!
5. Кількість комбінацій з n елементів по k. З n різних елементів вибирають k елементів (0?k?n), але порядок вибору не важливий. Такі вибірки називають комбінаціями з n елементів по k. Кількість комбінацій з n елементів по k позначають Ckn і обчислюють за формулою:Ckn = Akn/k! = (n!/(n-k)!)/k! = n!/((n-k)! k!)
(тому що з однієї комбінації можна утворити k! розміщень)
6. відносною частотою називається число – k/n. Позначається відносна частота: ? n(A)=?(A)=k/n.
Відносна частота ?(A) є мірою частоти події А.
Очевидні властивості відносних частот.
1) ?(Ø)=0/n=0
2) ?(?)=n/n=1
3) 0??(A)?1 (0?k?n), або у відсотках 0%??(A)?100%
Якщо події А і В – несумісні, то ?(A+B)=?(A)+?(B).
7. Це є статистичне означення ймовірності події: P(A)=. Limn-? v n(А)
Відносна частота ?(A) є мірою частоти події А
8. Неможлива подія – це така подія, яка в даному досліді не може відбутись. Позначається Ø.
Достовірна подія – це така подія, яка обов'язково відбувається в даному досліді. Позначається ?.
9. Протилежною подією до події А називають, таку подію, яка полягає в тому, що подія А не відбувається. Позначається ?А?
10. Сумою двох подій А і В називається подія, яка відбувається, коли станеться хоча б одна з подій А чи В, тобто відбулася подія А, або В, або обидві. Позначається: А+В=АUВ
Добутком двох подій А і В наз. така подія, яка полягає в тому, що відбуваються обидві події А і В. Позначається: АВ=А?В= А*В.
11. Події А і В наз. несумісними, якщо вони не можуть відбутися разом, тобто виконання однієї з них виключає виконання іншої. Тоді очевидно АВ=Ø.
Події А1,A2,...,An називаються несумісними, якщо виконання однієї з них виключає виконання всіх інших.
12. Нехай є кілька несумісних подій А1,A2,..., An . Якщо хоча б одна з них обов'язково відбувається ( А1+А2+…+ Аn = ? ), то кажуть, що події А1, А2, ..., Аn утворюють повну групу несумісних подій. Їх може бути нескінченна кількість.
13. Аксіоми теорії ймовірностей:
1) Р(Ø)=0 ;2) Р(?)=1;3) 0?Р(A)?1 (інколи виражають у відсотках 0%?Р(A)?100%)Якщо А і В несумісні, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Ця аксіома правильна для будь-якої кількості несумісних подій, навіть для нескінченної послідовності несумісних подій А1,A2 ,...,An , Р(А1+А2+А3…)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)..
(В правій частині цієї рівності отримали додатній ряд, збіжний, S?1).
Р(limn-?(А1+А2+А3+)= limn-?((Р(А1)+Р(А2)+..)
Ці аксіоми є наслідками властивостей відносних частот та властивостей границь, тобто, вони є природними.
14. Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають дві єдино можливі події, що складають повну групу
Р(А)+Р(?А)=1
15. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В) –формула для додавання ймовірностей будь-яких подій
16. В деяких випадках частоту чи ймовірність події треба визначати при додатковій умові, що вже відбулась якась інша подія. Щоб знайти відносну частоту події В при умові що відбулась подія А потрібно враховувати не всі досліди, а тільки ті з них, в яких відбулась подія А. Ця частота називається умовною частотою події В при умові А і позначається VA(В). формула множення відносних частот v(A*B)=v(A)*vA(B)
17. Умовною ймовірністю події В відносно події А називають ймовірність події В, при умові, що подія А відбулася. Отже, до умов початкового досліду добавляють ще одну – настання події А.
Враховуючи п’яту властивість відносних частот маємо теорему множення ймовірностей:
Р(А*В)=Р(А)*РА(В)- формула множення ймовірностей
18. Дві події називаються незалежними , якщо поява однієї з них не змінює ймовірності другої події: PВ(А)=Р(А).
Р(А*В)=Р(А)*Р(В) – формула множення для незалежних подій
Цю формулу часто вважають означенням незалежних подій, тому що вона еквівалентна формулі PВ(А)=Р(А).
19. Нехай з даним дослідом пов’язана повна група несумісних подій Н1,...,Нn. Їх ще називають гіпотезами. Їхні ймовірності відомі: Р(Н1), Р(Н2),…, Р(Нn). В цьому досліді розглядається подія А, для якої відомі умовні ймовірності при кожній з гіпотез, тобто РН1(А),..., РНn(А).
Р(А)=Р(Н1)РН1(А)+ Р(Н2)РН2(А)+…+ Р(Нn)Рнn(А) – формула повної ймовірності.
20. формула Байєса
(рахує ймовірність гіпотези Нк при умові, що сталась подія А)
21. Нехай проводиться n незалежних однакових дослідів – повторні випробування. В кожному з них спостерігається одна і та ж подія А.
Pn(к)=Ckn pk q n - k – формула Бернуллі (q=1-p – ймовірність протилежної події)
Зауваження. Формулу Бернуллі можна використовувати, якщо треба знайти ймовірність того, що з n незалежних подій А1,А2 ,..., Аn з однаковими ймовірностями р станеться рівно k подій
22. Фомула Пуассона
Якщо n-дуже велике, k-мале порівняно з n, р теж дуже мале, тоді справедлива формула Пуассона
Відносна похибка цієї формули E?(n p2+k2/n)/2, якщо pk<1.
Зауваження. Якщо ймовірність події А дуже близька до 1 (р?1), а k?n, то можна використовувати формулу Пуассона, замінивши А на A?, р на q, k на (n-k).
23Локальна формула Лапласа
Коли п –дуже велике, а пр?kТоді
де
Складені таблиці значень функції ?(x)
Якщо ,
то відносна похибка формули
24. Інтегральна формула Лапласа
Позначимо Рn(k1,k2) ймовірність того, що подія А станеться в n випробуваннях k разів, де k1?k?k2. Тоді Рn(k1, k2)? Ф(х2) – Ф(х1)
Ця формула використовується, коли np близьке до k1 і k2 .

функція Лапласа, таблична.
В таблицях є значення тільки для додатних х. Тому треба пам’ятати, що функція Лапласа непарна Ф(- х)= - Ф(х).