Лабораторна робота №6 Оптимізаційні задачі Особливості задач оптимізації Якщо графік цільової функції паралельний графіку одного з обмежень, для ЦФ буде існувати велика кількість оптимальних рішень. Але розхід ресурсів при максимумі ЦФ в різних точках є різним. Нехай дано цільову функцію (ЦФ) Z=7x1+21x2, а також обмеження x1+3x2?12 2x1+x2?11,5 x1?0, x2?0 Потрібно максимізувати ЦФ. Результат графічного розв’язання наведено на рис.1
Рис.1 У цьому випадку при переміщенні графіка ЦФ у напряму вектору зростання ЦФ до границі полігона дозвільних рішень, пряма ЦФ співпаде з графіком першого обмеження. Таким чином, оптимальним рішенням є всі точки відрізку АВ. Для аналітичного находження оптимуму дослідимо границі знайденого відрізку – точки А та В. Точка А знаходиться на перетині прямих x1+3x2=12 та 2x1+x2=11,5. Обчислимо координати точки А методом підстановок, у результаті отримаємо: х1=4,5; х2=2,5. Точка В знаходиться на перетині прямої x1+3x2=12 та прямої x1=0. Її координати х1=0, х2=4. Значення ЦФ, тобто, наприклад, прибуток у точках А та В однаковий, але розхід ресурсів може бути різним. Підставимо координати точки А у ліві частини обмежень на ресурси (перше та друге обмеження): x1+3x2= 4,5 + 3*2,5 = 12. Можливий розхід ресурсу не більший за 12 одиниць, а при підстановці отримали також 12, тобто цей ресурс вичерпано повністю. Друге обмеження виглядає так: 2x1+x2?11,5. Розрахунок використання ресурсу дає: 2x1+x2 = 2*4,5 + 2,5 = 11,5. Бачимо, що другій ресурс також вичерпано повністю. Тепер підставимо координати точки В у ліві частини обмежень. x1+3x2= 0 + 3*4 = 12. Перший ресурс також використано повністю. 2x1+x2 = 2*0 + 4 = 4. Вийшло 4 < 11,5, тобто другій ресурс в точці В можна зекономити (а саме на 11,5 – 4 = 7,5 одиниць). Кількість одиниць зекономленого ресурсу необхідно вказати у звіті. Висновок: оптимальними є значення х1=0, х2=4, ЦФ=84. Якщо розв’язувати цю задачу за допомогою Excel, то не завжди буде вибрано точку оптимуму. Це відбувається тому, що Excel не враховує економію ресурсів, а тільки максимізує ЦФ. На всьому відрізку АВ цільова функція приймає максимальне значення. Тому Excel у якості відповіді запише будь-яку точку, що належить відрізку АВ (це залежить від початкових значень х1 та х2). Треба зауважити, що ця особливість є недоліком Excel. Варіант Цільова ф. Обмеження Варіант Цільова ф. Обмеження
Особливості задач оптимізації для кількох ЦФ Якщо задано наприклад три ЦФ, то завдання потрібно виконати з кожною з них окремо, тобто спочатку знайти максимум ЦФ Z1, після цього –максимум ЦФ Z2, зрештою – максимум ЦФ Z3. Можливо побудувати три ЦФ на одному графіку. Це показує, що оптимальний розв’язок змінюється зі зміною цільової функції. В реальних випадках ЦФ змінюється, наприклад, зі зміною ринкових цін виробляємої продукції. Графіки деяких ЦФ можуть бути паралельні графіку якогось із значень. В такому випадку точка оптмума знаходиться з врахуванням економії ресурсів. Тоді у звіт слід записати кількість одиниць зекономленого ресурсу. У звіті потрибно надати три значення ЦФ, а також координати кожної знайденої точки.
Варіант Цільова ф. Обмеження Варіант Цільова ф. Обмеження
