Диференціальні рівняння. План
1. Основні означення.
2. Задача Коші. Теореми про існування і єдність розв’язку.
3. Загальний і частковий розв’язок диференціального рівняння.
4. Диференціальні рівняння, розв’язні в квадратурах. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними (в перший семестр).
5. Однорідні диференціальні рівняння.
6. Лінійні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння Бернуллі.
Д.з.: Б-Н 403-411(перший семестр), 412-414, 418, 421-430.
Часто при вивченні процесів, які відбуваються в природі, техніці чи економіці неможливо знайти залежність між функціями, що описують даний процес, але можна знайти зв’язок між тими ж функціями і їх похідними.
Під похідною деякої величини в прикладних задачах розуміють швидкість зростання цієї величини відносно іншої.
Диференціальним рівнянням (ДР) називається рівняння, в якому зустрічається незалежна змінна х, невідома функція у (х) і похідні невідомої функції.
F (х, у(х), у?(х), ... , у (n)(х)) = 0
Порядок диференціального рівняння – це найвищий з порядків похідних, що входять в рівняння.
х · у? + cos х = 0, у? + х2у = 0 – ДР І порядку
у v – 4у? = 0 – ДР 5-го порядку
Приклад 1. Матеріальна точка m = 1г рухається прямолінійно під дією сили прямо пропорційної часу і обернено пропорційної швидкості руху точки. Знайти залежність швидкості точки від часу (при t = 10c, v = 0,5 м/с , F =4 · 10-5H).
Розв’язання: v = v(t) - ?
Дано: m =1г, v(10) = 0,5, F(10) =4 · 10-5

F = ma = mv?
– ДР І-го порядку відносно функції v(t).
t – незалежна змінна, v(t) – невідома функція, m, k – сталі.
Приклад 2.Знайти функцію, еластичність якої в кожній точці дорівнює -1.
Розв’язання: у(х) – невідома функція

– ДР І-го порядку.
Диференціальне рівняння першого порядку має такий вигляд: F(х,у(х),у?(х)) = 0.
У програму входять диференціальні рівняння тільки першого порядку.
В деяких випадках можна виразити похідну із диференціального рівняння:
у? = f (х,у). Рівняння, записане в такому вигляді, називається розв’язаним відносно похідної.
– ДР І порядку, розв’язане відносно похідної.
Проведемо деякі перетворення: dy – f(x,y)dx = 0 ? ? | · N(х,у)
N(x,y)dy – N(x,y) f(x,y)dx = 0
Позначивши підкреслену функцію M(x,y), отримаємо:
М (х,у)dx + N(x,y)dy = 0 – ДР І порядку, записане в симетричній формі.
Розв’язком диференціального рівняння називається функція у(х), x є I, для якої можна знайти потрібну кількість похідних і яка перетворює диференціальне рівняння у тотожність: F (х, у(х), у?(х), ... , у (n)(х)) ? 0, тобто,
F (х, у(х), у?(х), ... , у (n)(х)) = 0, x є I.
Приклад 3. Перевірити, чи функція у = се2х (с – деяка стала) є розв’язком ДР у? =2у.
Розвязання: у? = се2х · 2 = 2се2х
2се2х = 2се2х, х є ?
Дана функція є розв’язком диференціального рівняння на ?.
Якщо розв’язок вдається знайти в неявному вигляді G(x,y)=0, то він називається інтегралом диференціального рівняння.
Графік розв’язку у явному чи неявному вигляді називається інтегральною кривою диференціального рівняння.
У прикладі 3: при с = 1 у = е2х
с = 2 у = 2е2х
с = 0 у = 0
с = -1 у = -е2х
Зобразимо ці розв’язки в декартовій системі координат. В даному прикладі інтегральні криві покривають всю площину і ніде не перетинаються.
Процес розв’язування диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.
Основною задачею теорії диференціальних рівнянь є знаходження всіх їх розв’язків і вивчення їх властивостей.
Задача Коші
, де f (x,y) задана у відкритій області D на площині Оху
у(х0)=у0 – початкова умова для ДР.
Потрібно знайти такий розв’язок ДР, що задовольняє початкову умову.
З геометричної точки зору розв’язати задачу Коші означає знайти таку інтегральну криву, яка проходить через точку М0 (х0,у0).
Диференціальне рівняння, як правило, має безліч розв’язків, як видно з прикладу 3, а задача Коші , при деяких обмеженнях на праву частину f (x,y) має єдиний розв’язок.
Теорема (про існування і єдність розв’язку задачі Коші). Якщо f (x,y) неперервна на відкритій області D з площини Оху і її частинна похідна по другій змінній fy?(x,y)також неперервна на D, і точка М0(х0,у0) ? D, то задача Коші має єдиний розв’язок в деякому околі точки М0(х0,у0) і, два розв’язки, що проходять через цю точку, співпадають на спільній частині їх області визначення. (Без доведення.)
Отже, при виконанні умов теореми, розв’язки (інтегральні криві) повністю покривають область D і ніде не перетинаються
У прикладі 3: f (x,y) = 2у ОДЗ - вся площина Оху, то f – неперервна на Оху.
fy? = 2 також ОДЗ - вся площина Оху, то fy? – неперервна на Оху.
Тому для будь-якої точки М0 (х0,у0) за даною теоремою існує єдиний розв’язок задачі Коші.
Означення загального розв’язку ДР: у = ? (х,с) називається загальним розв’язком ДР першого порядку, якщо:
1) при будь-якому значенні сталої с ця функція є розв’язком ДР;
2) для довільної точки М0 (х0,у0) з області D можна так підібрати сталу с= с0, щоб функція при цій сталій у = ?(х,с0) була розв’язком задачі Коші з початковою умовою в точці (х0,у0).
З геометричної точки зору загальний розв’язок – це сімейство інтегральних кривих, що повністю покривають область D, в якій задана функція f(x,y).
Кожний окремий розв’язок диференціального рівняння називають частковим розв’язком. Частковий розв’язок можна отримати із загального, надавши сталій с конкретного значення.
Якщо формула G (x,y,c) =0 задає загальний розв’язок в неявному вигляді, то вона називається загальним інтегралом.
У прикладі 3: у = се2х – сім’я кривих, які покривають всю площину (D=Оху), тому
це є загальний розв’язок.
При с = 3 у = 3е2х – частковий розв’язок
у? = 2у, у(0) = 5 – задача Коші
5 = се2·0
5 = с
у = 3е2х
Якщо є загальний розв’язок або загальний інтеграл диференціального рівняння, то для того, щоб знайти розв’язок задачі Коші, підставляємо точку M(х0 ,у0) в загаль-ний розв’язок: у0 = ? (х0,с), і з цієї формули знаходимо значення сталої с : с = с0. Тоді у = ? (х,с0)- розв’язок задачі Коші.
Означення. Якщо вдається знайти загальний розв’язок або загальний інтеграл диференціального рівняння через скінченну кількість інтегралів від елементарних функцій, то таке рівняння називають розв’язним в квадратурах (інтегралах).
Розглянемо деякі типи ДР І-го порядку, розв’язних в квадратурах і методи їх інтегрування.
І тип – ДР з відокремлюваними змінними.
Диференціальне рівняння називається з відокремлюваними змінними, якщо його можна подати у вигляді f1(x)dx = f2(y)dy, тобто, відділити змінні.
Метод розв’язання:
- спочатку треба відокремити змінні.
Тоді це рівняння можна розглядати як рівність двох диференціалів.
- проінтегруємо обидві частини диференціального рівняння:
? f1(x)dx = ? f2(y)dy.
Можна брати інтеграли з двох сторін, пам’ятаючи про властивість інваріантності.
с + F1(x) = F2(y) – загальний інтеграл, тобто, розв’язок в неявному вигляді.
Якщо можна виразити у через х та с , то отримаємо загальний розв’язок.
Теорема 1. Нехай рівняння розв’язане відносно похідної у? = f (x,y), тоді це рівняння буде з відокремлюваними змінними тільки тоді, коли його права частина розбивається на множники, кожен з яких залежить тільки від однієї змінної: f(x,y) = g(x) · h(y).
Доведення: у? = g(x) · h(y)

– змінні відокремилися.
Теорема 2. Якщо рівняння записане в симетричній формі, то для того, щоб воно було з відокремлюваними змінними, потрібно, щоб обидві функції біля dx i dy розбилися на множники, , кожен з яких залежить тільки від однієї змінної: М1(х) · М2(у)dx + N1(x) · N2(y)dy = 0.
Доведення:
– змінні відокремилися.
У прикладі 2.
- рівняння з відокремлюваними змінними

- рівняння з уже відокремленими змінними

ln ?y? = - ln ?x? + ln ?c? – замість сталої c можна записати будь-яку функцію p(с), так щоб зручно було робити перетворення.
ln ?y? = ln ?c/x? - це вже є загальний інтеграл ДР.
у = с/х – загальний розв’язок диференціального рівняння.
Відповідь. Функція з еластичністю -1 в кожній точці має вигляд у =с/х.
ІІ тип – однорідні диференціальні рівняння.
Означення. Функція f (x,y) називається однорідною n - го степеня відносно х, у, якщо
f (? x,? y) = ?n · f(x,y).
Приклади: 1) f (x,y) = 3х – 4у
Перевірка: f (?x,?y) = 3 ? х - 4 ? у = ?(3х – 4 у) – ця функція
справді є однорідною першого степеня.
2) 3х – 4у +3 – не є однорідною ніякого степеня.
3) – однорідна функція 0 -го степеня, бо

Означення. Диференціальне рівняння у? = f(x,y) називається однорідним, якщо його права частина є однорідною функцією 0 - го степеня, тобто,
Якщо взяти , то f(x,y) можна перетворити
, тобто, вийшла функція однієї змінної g(t), де t – внутрішня функція, t = у/х. Отже, однорідну функцію 0 -го степеня можна подати у вигляді: g(у/х). Тоді однорідне рівняння можна завжди звести до вигляду:
Якщо рівняння в симетричній формі : М(х,у)dx +N(x,y)dy = 0, то воно буде однорідним, тільки якщо M i N – однорідні функції однакового степеня.
Справді, тоді
, тобто права частина є однорідною функцією 0 -го степеня.