Метод Гауса
Базується на тому, шо вичислення площі підінтегральної функції може бути виконане з >Т, якщо положення вузлових точок вибирати виходячи з мінімуму відхилень між інтегралом і площею, обмеженою апроксимуючою залежністю.
На відміну від попередніх методів тут визначаються не лише коефіцієнти апроксимуючої залежності, а також положення вузлових точок.
Розглянемо формули Гауса для двох вузлових точок.При відповідному виборі цих точок формула Гауса дозволить одержати точний результат для многочленів до третього порядку; поліномна апроксимуюча залежність має чотири незалежних параметра (два коефіцієнти і два )
Нехай інтегрується на [-1;1] вибрано для зручності випадок, проте цим не обмежується загальність формул, поскільки для переходу від довільного інтегралу [a,b] до [-1;1] достатньо замінити змінні
(1)
Тоді
(2)
-змінна в діапазоні [-1;1]
Для вузлових точок можна записати
(3)
-невідомі
Ці величини визначають розмежування системи рівнянь, яка одержується підстановкою:

В праву і ліву частини
(4)
Система (4) розвязується аналітично, одержимо

Тепер формулу (1) можемо записати у вигляді
(5)
Це є формула Гаусса для двох вузлових точок
Аналітично можна одержати для трьох вузлових точок
(6)
В залежності від числа вузлових точок диференційна степінь полінома, для якого формула дає точне значення інтегралу – найвища степінь полінома = 2n-1-число вузлових точок.
Т додавання /Т- збільшить степінь полінома на 2 /
Для довільного числа m вузлових точок формула Гауса має вигляд
(7)
-можна шукати аналітично(або числовим методом) з системи рівнянь
Але можна знайти простіше:
Виявляється –є коренями поліномів Лагранджа
(8)
З (6) можна заздалегідь знайти корені, тобто визначити вузлові точки з умови ,або
Наприклад: для
n=2

n=3

n=4

-треба визначати з системи (2) див. також Крашевич і визначається з (2)
, або ,
Також можна протабулювати
n=2

n=3

Формули Гауса доволі ефективні при визначенні інтеграла по небагатьох вузлових точках за умови, що функція добре апроксимується многочленом
Значення вузлових точок і коефіцієнтів для n>4 приведені в:
1.Кроглов В.И. Шульчина А.Т. «Сравочная книга по численному интегрированию» М: Наука, 1966 стр. 158
2.Кронрод А.С. Узли и веса квадратурних формул М: Наука, 1969
Порівняня формул числового інтегрування
Всяка формула числового інтегрування дозволяє одержати як правило наближене значення тому

R-похибка використовуваної формули інтегрування
Від h(n), а також класу підінтегральних функцій
Чим < h (>n) тим>T(<R)
Похибку формули доцільно оцінювати використовуючи більш високу степінь підінтегральної функції,ніж та для якої вона дає точне значення інтегралу.
Наприклад:для формул прямокутника і трапецій ця формула виду
для формул Сімпсона і Гауса
Визначимо R для інтегралу від вказаних функцій на [0;1]
Формула прямокутників для вузлових точок всередині інтервалу дає

Формула трапецій (вузлові точки- границі інтегралів )-тобто дві
Якщо три вузлові точки

Формула Сіипсона для трьох вузлових точок

Формула Гауса з двома вузловими точками

Порівняння R показує найвищу Т формули Гауса, незважаючи на те що використовуються тільки дві вузлові точки.
При вичисленні інтегралу звичайно згори задається потрібна Т і в програмі передбачаються заходи для її забезпечення.
Наприклад: розраховується значення інтеграла при різному числі вузлових точок або різних h (крок) тобто при зменшенні h поки два останні інтеграли відрізняються на величину більшу R
Якщо підінтегральна функція має відносно простий вид, то вибір методу інтегрування не має принципового значення, поскільки необхідна Т може бути забезпечена збільшенням числа вузлових точок
Якщо підінтегральна функція вимагає великого обсягу обчислень, то в тому випадку доцільно зразу використовувати метод Гауса, або Сімпсона
Для таблично заданої функції метол Гауса не надається.