Метод заміни змінної чи підстановки.
Полягає в тому, що деякий вираз позначають новою змінною, а потім весь підінтегральний вираз виражають через цю нову змінну.
Приклад: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
В загальному випадку
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Якщо останній інтеграл виявиться простішим від початкового, то заміна вдала.
Для цього методу бажано знати, які заміни змінних в тих чи інших випадках приведуть до спрощення інтегралу.
Такі вказівки розглянемо пізніше.
Метод інтегрування частинами.
Базується на використанні формули інтегрування частинами:
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Відома формула: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Проінтегруємо обидві частини.
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
За цим методом.
Підінтегральний вираз розбивають на дві частини u та dv, а потім інтеграл перетворюється згідно формули інтегрування частинами.
Корисні вказівки для цього методу.
I EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Позначаємо EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Інтегруємо частинами n разів.
II EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 Позначаємо EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . III EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Інтегрують два рази частинами, обидва рази позначаючи за u або показникову або тригонометричну функцію і отримують рівняння відносно невідомого інтегралу.
IV EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Інтегрують частинами один раз і приходять до рівняння відносно невідомого інтегралу.
Приклад 1: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Приклад 2: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0

Приклад 3: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Позначимо I= EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Отримаємо рівняння:
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Приклад 4: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Позначимо I= EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 . Отримаємо рівняння:
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Інтегрування деяких класів елементарних функцій
План.
Інтегрування раціональних функцій:
а. Основні означення.
б. Виділення цілої частини в неправильному дробі.
в. Прості раціональні дроби та їх інтегрування.
г. Розклад правильного раціонального дробу на прості дроби.
Інтегрування тригонометричних виразів:
а. Інтеграли виду EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 та EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 і т. п.
б. Інтеграли виду EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 та універсальна тригонометрична підстановка.
в. Підстановка EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Інтеграли від деяких ірраціональностей.
Д.З.:Б-Н 153-162, 165-172.
Інтегрування раціональних функцій
Означення: Раціональна функція, це така, де зустрічаються тільки дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального степеня змінної. Позначається R(x).
Її можна подати у вигляді частки многочленів.
Тому, R(x)= EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 - Pn(x), Qm(x)-многочлени зі степенями n і m відповідно.
Раціональну функцію називають ще раціональним дробом.
Означення: Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочленна в чисельнику строго менший від степеня многочленна в знаменнику: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Інакше дріб називається неправильним: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 .
Виділення цілої частини в неправильному дробі
Неправильний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (ціла частина) і правильного дробу. Для цього треба поділити чисельник на знаменник з остачею.
Приклад: f(x)= EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 -- неправильний дріб.
х5-2х3+3х І х3-3
- (х5-3х2) І х2-2 – ціла частина.
-2х3+3х2+3х
- (-2х3 +6)
3х2+3х-6 -- остача.
f(x) = x2-2+ EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Отже, треба навчитись інтегрувати правильні дроби.
Прості раціональні дроби
Це дроби таких чотирьох типів.
I EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 ; ІІ EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 ІІІ EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 ІV EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 n EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 1.
Всі букви, крім х - сталі числа, n- натуральне число.
В ІІІ і ІV типах дискримінант знаменника від’ємний.
Інтегрування простих дробів.
І EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 ІІ EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
ІІІ EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Спочатку виділяють повний квадрат у знаменнику, тобто подають його у вигляді
(х EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 а)2 EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 b, а потім підведення під знак диференціалу або заміну змінної х EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 a=t.
Приклад 1: При А=0: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0
Приклад 2: При А EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 0: EINBETTEN Microsoft Equation 3.0 Інтегрування дробів ІV типу не входить в програму. Але при їх інтегруванні також отримують степеневі функції, ln і arctg.