РОЗДІЛ 4. ЕЛЕМЕНТИ ГІДРОДИНАМІКИ
4.1. Основні поняття гідродинаміки
Гідродинаміка вивчає рух нестисливих рідин і їх взаємодію з твердими тілами. Основними поняттями гідродинаміки є:
Течія ? сукупність частинок рухомої рідини.
Лінії течії – лінії, дотичні до яких у кожній точці
співпадають за напрямом з векторами
швидкостей частинок рідини, а густина
проведення ліній течії (відношення числа
ліній EMBED Equation.3 N до величини перпендикулярної
до них площі EMBED Equation.3 S, через яку вони
проходять) пропорційна величині швид-
кості у даній точці.
Стаціонарна течія ? течія, для якої форма і розміщення
ліній течії, а також значення швид-
кості у кожній точці незмінне в
часі. У випадку стаціонарних течій лінії
течії співпадають з траекторіями части-
нок рухомої рідини.
Трубка течії ? поверхня, утворена лініями течії,
проведеними через усі точки малого
замкненого контура.
Струмінь ? частина рідини, обмежена трубкою
течії.
Ідеальна рідина – рідина, в якій повністю відсутнє
внутрішнє тертя.
4.2. Рівняння нерозривності струменя (потоку)
Розглянемо ділянку елементарного струменя, обмеженого двома довільно вибраними нормальними перерізами, площі яких дорівнюють S1 та S2, а швидкості рідини відповідно - v1 та v2 .
S2
S2

v1

v2

Якщо течія рідини стаціонарна, то маса рідини густиною EMBED Equation.3 , що міститься між цими перерізами, не залежить від часу. Отже маса рідини EMBED Equation.2 m = EMBED Equation.3 v1S1 , яка надходить за одиницю часу в цей об’єм через перший переріз, повинна дорівнювати масі рідини
EMBED Equation.2 m = EMBED Equation.3 v2S2, яка витікає з виділеного об’єму за той самий час через другий переріз :
EMBED Equation.3 v1S1 = EMBED Equation.3 v2S2 (4.1)
У випадку нестисливої рідини ( EMBED Equation.3 = const ) рівняння (1) набуває вигляду
v1S1 = v2S2 (4.2)
Оскільки перерізи S1 та S2 вибрані довільно, то
vS = const. (4.3)
Рівність (4.3) є виразом теореми про нерозривність струменя (потоку) :
Маса рідини, що проходить за одиницю часу через кожний поперечний переріз трубки течії, для всіх перерізів однакова.
4.3. Рівняння Бернуллі
Стаціонарний рух ідеальної нестисливої рідини в полі сил тяжіння описує рівняння Бернуллі.


L1


S1 L2

p1 S1І
S2
S2І

v1 v2

h1 p2
h2

Його отримують, застосувавши до руху рідини в тонкій трубці течії закон збереження енерґії. Нехай у місці перерізу S1 швидкість течії v1, тиск p1 і висота , на якій є цей переріз, h1 . Аналогічно у місці перерізу S2 швидкість течії v2, тиск p2 і висота перерізу h2. За малий проміжок часу EMBED Equation.2 t рідина переміщується від перерізів S1 і S2 до перерізів S1І і S2І.
Згідно з законом збереження механічної енерґії, зміна повної енерґії Е2 ? Е1 ідеальної нестисливої рідини повинна дорівнювати роботі А зовнішніх сил :
Е2 ? Е1 = А (4.4)
де Е1 і Е2 ? повні енерґії рідини масою m у об‘ємах, обмежених перерізами S1?S2 і S1І?S2І відповідно.
З іншого боку, А ? це робота, яка виконується під час переміщення всієї рідини , розташованої між перерізами S1 і S2 за малий проміжок часу EMBED Equation.2 t. Для перенесення маси m від S1 до S1І рідина повинна переміститися на відстань L1 = v1 EMBED Equation.2 t і від S2 до S2І - на відстань L2 = v2 EMBED Equation.2 t . Зауважимо, що L1 і L2 настільки малі , що всі точки виділених об’ємів мають сталі значення швидкості v, тиску p і висоти h . Отже,
A = F1L1 + F2L2, (4.5)
де F1 і F2 сили тиску, що діють на рідину в місцях перерізів S1 і S2
F1 = p1S1 (4.6)
F2 = – p2S2 (4.7)
Сила F2 від’ємна, оскільки напрям її дії протилежний до напряму
руху рідини.
Отже: A = p1S1L1 – p2S2L2 (4.8)
Повні енерґії Е1 і Е2 складаються з кінетичної та потенціальної енерґії маси m рідини:
E1 = EMBED Equation.3 mv EMBED Equation.2 +mgh1 (4.9)
E2 = EMBED Equation.3 mv EMBED Equation.2 +mgh2 (4.10)
Підставивши вирази (4.9), (4.10), (4.8) у формулу (4.4), та врахувавши вирази для L1 і L2 , отримаємо
EMBED Equation.3 mv EMBED Equation.2 +mgh1+p1S1v1 EMBED Equation.2 t = EMBED Equation.3 mv EMBED Equation.2 +mgh2+p2S2v2 EMBED Equation.2 t. (4.11)
Згідно з рівнянням нерозривності струменя (4.3) об’єм рідини залишається сталим , тобто
EMBED Equation.2 V = S1v1 EMBED Equation.2 t = S2v2 EMBED Equation.2 t. (4.12)
Розділивши вираз (4.11) на EMBED Equation.2 V і врахувавши, що перерізи вибрані довільно, отримаємо рівняння Бернуллі
EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + p = const, (4.13)
де EMBED Equation.2 ? густина рідини.
Рівняння Бернуллі стверджує , що:
Для стаціонарної течії ідеальної нестисливої рідини сума динамічного EMBED Equation.3 , гідростатичного EMBED Equation.3 і статичного EMBED Equation.3 тисків залишається сталою вздовж довільної лінії течії.
Якщо трубка течії горизонтальна, то h = const і вираз (4.13) набуде вигляду:
EMBED Equation.3 + p = const , (4.14)

тобто тиск виявляється більшим у тих місцях, де швидкість течії менша. Отже при протіканні рідини по трубі змінного перерізу згідно з (4.14) і рівнянням нерозривності струменя ( 4.3 ) тиск, а значить і ймовірність розриву труби, вищі в місцях більшого діаметру труби.