Лекція 1
Література
Конспект лекцій для студентів фаху 7.05.0204 «Адміністративний менеджмент». Теорія ймовірностей. Упорядник Кушнір О.О. - Рівне – УДАВГ. – 1997. – 49 с., 085-92.
Конспект лекцій для студентів заочної форми навчання економічних спеціальностей. Теорія ймовірностей. Упорядник: Кушнір О.О. - Рівне – УДАВГ. – 1997. – 58 с., 085-101.
Методичні поради і контрольні завдання з вищої математики для студентів заочників 2 – го курсу спеціальностей 7.050107, 7.050106, 7.050204. Упорядники: Бойчук В.С. , Давидюк Г.П., Зарівняк І.С., Кузьменко А.П. – Рівне – УДАВГ. – 1997. – 29 с.
Методичні вказівки і завдання до типового розрахунку з математичної статистики. Упорядник: Зарівняк І.С. – Рівне – УДАВГ. – 1997. – 27 с.
Конспект лекцій і завдання до контрольної роботи з математичної статистики для студентів-заочників 2 курсу економічних спеціальностей 7.050107, 7.050106, 7.050204. Упорядники: Зарівняк І.С., Сяський В.О. – Рівне – УДАВГ. – 1997. – 31 с., 085-102.
Вишневский Л.Д. и др. Математическая статистика и случайные процессы. Практикум. Киев: Вища школа. – 1992. – 144 с.
Недорезов С.С. Высшая математика. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. Программа, методические указания и контрольные задания. Харьков – 1991. – 57 с.
Математична статистика: конспект лекцій для студентів економічних спеціальностей денної форми навчання. Упорядник Кушнір О.О. – Рівне, УДАВГ. – 1998. – 52с., 085-107.
Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. М.-Наука – 1989. -- 318 с.
В.М. Турчин. Математична статистика. Посібник. К. Вид. Центр «Академія»-- 1999.
Вища математика. Завдання для самостійної роботи студентів. Частина 3. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики. Упорядник Антонюк Р.А. – Рівне – РДТУ. – 2002. – 40с., 085-116.
План
Вступ.
Означення випадкових подій та випадкових величин.
Операції над подіями.
Відносна частота та ймовірність події.
Класичне означення ймовірності.
Комбінаторика.
Геометричні ймовірності
Д.з. 085-116: 411,412,414,418,422,423,433,435а,439,440,442-448,455,457-459.
І. Людина в своїй практичній діяльності постійно стикається з випадковими явищами. Приклади: похибки вимірювань, відмови приладів, шуми при прийомі радіопередач, кількість клієнтів за даний проміжок часу і т. п.
Причина випадковості: кожне спостережуване явище пов'язане причинною залежністю з нескінченною кількістю інших явищ, які впливають на його протікання. Вивчаючи явище людина обмежується тільки основними факторами, не враховуючи величезну кількість другорядних причин. Роль випадковостей в різних явищах різна. Інколи її можна не враховувати, але є й такі явища, в яких не можна підмітити ніяких закономірностей і випадковість грає основну роль (Броунівський рух, прибуття суден у порт). Сама випадковість є закономірністю.
При багатократному спостереженні випадкових явищ в них можна знайти деякі закономірності. Вивчивши їх, можна в деякій мірі керувати випадковими явищами, обмежувати їх вплив, передбачувати їх результати і навіть цілеспрямовано використовувати їх в своїй практичній діяльності. Так можна проектувати радіоприймачі з мінімальною кількістю шумів, технічні системи із заданою надійністю.
Гнєденко Б.В. «Теорія ймовірності, подібно до інших розділів математики, розвинулася з потреб практики; в абстрактній формі вона відображає закономірності, властиві подіям масового характеру. Ці закономірності відіграють надзвичайно важливу роль у фізиці й інших галузях природознавства, військовій справі, найрізноманітніших технічних дисциплінах, економіці й т. д.», «Математична статистика, яка виникла спочатку для цілей демографії і страхування , перетворилася в один з основних засобів кількісного дослідження явищ природи, технічних процесів, економіки й лінгвістики.»
Бартлетт М. «Теорія ймовірностей – математична теорія, яка лежить в основі всієї статистичної теорії.»
Лаплас П. «Знаменна річ, що наука (теорія ймовірності), яка почалася з вивчення ігор, піднеслася до найважливіших об'єктів людського пізнання.», «Теорія ймовірностей є, по суті, не що інше, як здоровий розум, виражений у числах... немає науки, якої введення в систему громадського викладання принесло б більше користі, ніж наука про обчислення ймовірностей.»
Енгельс Ф. «Де на поверхні проходить гра випадковості, там сама ця випадковість завжди виявляється підпорядкованою внутрішнім, прихованим законам. Уся справа тільки в тому, щоб відкрити ці закони.»
Дж. Максвелл «Істинна логіка нашого світу – правильний підрахунок імовірностей.»
Масові випадкові явища – це такі, які можна хоча б принципово спостерігати практично необмежену кількість разів. Вивченням закономірностей масових випадкових явищ займається математична наука – теорія ймовірностей.
Методи її називають ймовірнісні або статистичні, дозволяють робити практичні висновки відносно випадкових подій. Як прикладна наука використовує вихідні експериментальні дані для розрахунків. Розділ теорії ймовірності, який вивчає методи обробки результатів дослідів і одержання з них необхідних даних називається математичною статистикою.
ІІ. Дослідом будемо називати спостереження будь-якого явища при виконанні деякої cталої сукупності умов.
Результати досліду можна характеризувати якісно і кількісно.
Якісно характеризують дослід з допомогою випадкових подій. Випадкова подія – це така подія, яка в даному досліді може відбутися або не відбутися. Позначається великими буквами із початку алфавіту: А, В, С ...
Приклад. А – відмова приладу в даний момент часу, B– завтра курс долара підвищиться.
Кількісна характеристика досліду полягає у визначенні числових значень деяких величин, одержаних у результаті досліду. Такі величини, які в результаті досліду можуть приймати різні числові значення називають випадковими величинами. Позначаються великими буквами з кінця алфавіту: Х, Y, Z
Приклад. X – кількість абонентів в даний проміжок часу, Y – кількість попадань при десяти пострілах, Z – час безвідмовної роботи приладу.
З кожною випадковою величиною можна пов'язати різні випадкові події. Наприклад подія, що полягає в тому, що випадкова величина прийме дане значення, або значення із даного проміжку.
Приклад. Дослід: кидаємо один раз кубик. Х – кількість очок на верхній грані кубика – випадкова величина.
А – кількість очок не більше трьох – випадкова подія. А=()
ІІІ. Неможлива подія – це така подія, яка в даному досліді не може відбутись. Позначається Ø.
Достовірна подія – це така подія, яка обов'язково відбувається в даному досліді. Позначається ?.
Протилежною подією до події А називають, таку подію, яка полягає в тому, що подія А не відбувається. Позначається .
Приклад. А – випала 1 при киданні кубика. - не випала 1.
Р- поїзд запізнюється більше ніж на 15 хвилин. - поїзд не запізнюється або запізнюється рівно на 15 хвилин, чи менше ніж15.
Круги Ейлера. Нехай є деякий прямокутник. Розглядають дослід – вибір точки прямокутника. Область А – деяка частина прямокутника. Подія А – вибір точки в області А. Сам прямокутник – область ?, тому що відповідає достовірній події ?.
? А
? А ? Ø
Сумою двох подій А і В називається подія, яка відбувається, коли станеться хоча б одна з подій А чи В, тобто відбулася подія А, або В, або обидві. Позначається: А+В=АUВ.
? ?
Сумою сукупності подій А1,А2, ...,An називається така подія, яка полягає в тому, що відбудеться хоча б одна з подій цієї сукупності. Позначається: А1+A2+...+An.
Добутком двох подій А і В наз. така подія, яка полягає в тому, що відбуваються обидві події А і В. Позначається: АВ=А?В= А*В.
?
Добутком сукупності подій А1,A2,...,An називається така подія, яка полягає в тому, що відбудуться всі події сукупності. Позначається: А1А2...An.
Різницею подій А і В називається подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А та не відбулася подія В. Позначається: А\В. Очевидно А\В=.
?
Кажуть, що з події А випливає подія В, якщо з того що сталася подія А випливає, що сталася і подія В. Позначається , або .
Інколи кажуть, що подія В вкладена в подію А. ?
В
Події А і В наз. несумісними, якщо вони не можуть відбутися разом, тобто виконання однієї з них виключає виконання іншої. Тоді очевидно АВ=Ø.
Події А1,A2,...,An називаються несумісними, якщо виконання однієї з них виключає виконання всіх інших.
?
?
Приклад. Кидання кубика один раз. А1 -- випала одиничка, А2 -- випала двійка, А3-- випала трійка. А1, А2, А3-- несумісні події. А1, А3 -- несумісні події.
Нехай є кілька несумісних подій А1,A2,..., An . Якщо хоча б одна з них обов'язково відбувається ( А1+А2+…+ Аn = ? ), то кажуть, що події А1, А2, ..., Аn утворюють повну групу несумісних подій. Їх може бути нескінченна кількість.
Приклад. У попередньому прикладі добавимо події А4, А5, А6 – випадання четвірки, п'я-тірки та шестірки відповідно. Тоді А1, А2, А3, А4, А5, А6 – повна група несумісних подій.
Приклад. А1 – збільшиться попит на продукцію підприємства,
А2 – зменшиться, А3 – не зміниться. Тоді події А1, А2, А3 утворюють повну групу несумісних подій: А1+А2 +А3 = ?.
?

Приклад. Завод складається з трьох цехів. Позначимо : Аі– і-тий цех працює, і=1,2,3.
1) Що означають такі події А1+А2+А3 , А1*А2*А3 ? 2)Виразити через Аі такі події: В – працює тільки перший цех, С – працює тільки один цех, D – завод стоїть.
1) А1+А2+А3 – працює або 1-ий, або 2-ий, або 3-ій цех, чи працює хоча б один цех;
А1*А2*А3 – всі цехи працюють.
2) В =
С =
D = .
Очевидною є властивість подвійного заперечення: =А.
Неважко переконатись у справедливості правил двоїстості:
.
Ці правила справджуються для будь-якої кількості подій.
Доведення: А1+А2 – відбудеться хоча б одна подія А1 чи А2. – протилеж-на, тобто не відбудеться жодна подія, тобто не відбудеться А1 і не відбудеться А2, тобто станеться подія
IV. Частота події.
Випадкові події порівнюватимемо за тим, як часто кожна із них відбувається при повторенні досліду. Нехай при n дослідах подія А відбулася рівно k разів. Це число k називається частотою події А, відносною частотою називається число – k/n. Позначається відносна частота: ? n(A)=?(A)=k/n.
Відносна частота ?(A) є мірою частоти події А.
Очевидні властивості відносних частот.
1) ?(Ø)=0/n=0
2) ?(?)=n/n=1
3) 0??(A)?1 (0?k?n), або у відсотках 0%??(A)?100%
Якщо події А і В – несумісні, то ?(A+B)=?(A)+?(B).
Доведення. Події А та В стаються тільки в різних дослідах і тоді для події А+В частоту можна підрахувати додавши частоти і .
?(A+B)= (+ )/n =/n + /n = ?(A)+?(B) .
Це правильно для будь-якої кількості несумісних подій, навіть нескінченної послідовності несумісних подій А1,A2 ,...,An ,... : .
(В правій частині цієї рівності отримали додатній ряд, збіжний і його сума).
Відносна частота ?(A) залежить від кількості дослідів n, але виявляється, що при достатньо великих n відносні частоти мало відрізняються між собою. Така властивість називається законом стійкості відносних частот. Цей закон дає можливість вважати, що з кожною подією пов’язане якесь число, біля якого стабілізуються відносні частоти, тобто наближаються до нього при великому n (n > ?).
Це число позначається Р(А) і називається ймовірністю події А. Це є статистичне означення ймовірності події: P(A)=.
Ймовірність події А є мірою частоти події А: якщо P(A)=30%, то це означає, що якщо провести дуже багато дослідів, то подія А трапиться приблизно в 30% цих дослідів.
В одному досліді можна розглядати різні події та їхні ймовірності. Ймовірності різних подій в одному досліді повинні бути узгодженими між собою. Для цього вводять аксіоми теорії ймовірностей.
Аксіоми теорії ймовірностей:
1) Р(Ø)=0
2) Р(?)=1
3) 0?Р(A)?1 (інколи виражають у відсотках 0%?Р(A)?100%)
Якщо А і В несумісні, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Ця аксіома правильна для будь-якої кількості несумісних подій, навіть для нескінченної послідовності несумісних подій А1,A2 ,...,An , ... : .
.
(В правій частині цієї рівності отримали додатній ряд, збіжний, S?1).
Ці аксіоми є наслідками властивостей відносних частот та властивостей границь, тобто, вони є природними.
Із аксіом 1 - 4 випливає властивість неперервності ймовірності:
якщо є послідовність вкладених подій (або ) то , тобто границю можна вносити під знак імовірності.
Ймовірності потрібно певним чином вимірювати. Можна вважати ймовірністю відносну частоту при досить великому n: , при великих n.
Ми можемо завжди збільшити точність такої оцінки, збільшивши кількість дослідів.
На кругах Ейлера ймовірність події ототожнюють з площею відповідної фігури P(A)=S(A), вважаючи S(?)=1. Аксіоми 1 - 4 очевидно виконуються для таких площ, і всі формули, які можна отримати для площ фігур, також можна отримати з аксіом 1 - 4, тобто, для ймовірностей подій. Займемося цим в лекції 2.
В деяких простих дослідах вдається безпосередньо обчислити ймовірність події виходячи із аксіом 1 – 4.
V. Припустимо, що даний дослід має n можливих результатів. Ці результати рівноможливі і несумісні. Їх називають елементарними подіями або шансами досліду. Називатимемо такі досліди простими.
Приклад. Підкидання монети – два шанси (Г, Р), кидання правильного кубика – 6 шансів (А1,A2 ,...,A6 ).
Якщо А1, A2 ,..., An – шанси простого досліду, то вони утворюють повну групу несумісних подій. Ймовірність кожного шансу повинна бути 1/n, тому що ймовірності повинні бути однаковими (події рівноможливі) і за аксіомою 4 давати в сумі 1.
В цьому досліді розглядаємо подію А, яка при настанні одних шансів відбувається (m шансів, позначимо їх А1, A2,..., Am), а при інших ( n-m шансів, позначимо їх Аm+1, Am+2,..., An) не відбувається. Тоді ймовірність події А рахуємо за формулою:
P(A)=P(А1+A2+...+Am)=(несумісні)=P(А1)+P(А2)+...+P(Am)=1/n+1/n + ... +1/n = m/n.
Р(А)=m/n – класичне означення ймовірності (Лаплас, 18 ст.)
Отже, ймовірність події А дорівнює відношенню кількості шансів, що сприяють події А до кількості всіх шансів.
Приклад. В ящику 10 куль: 3 білих і 7 чорних. З ящика виймаємо одну кулю. Яка ймовірність того, що вона біла? n = 10, m = 3 P = 3/10 = 0,3 = 30 %.
Для обчислення кількості шансів використовується комбінаторика.
VІ. Перше правило комбінаторики – правило множення: Якщо потрібно виконати дві дії і першу з них можна виконати n1 способами і при будь-якому виконанні першої дії другу дію можна виконати – n2 способами, то ці обидві дії можна виконати n1*n2 способами.
Приклад. Два рази кидають кубик. Скільки елементарних шансів в цьому досліді?
6*6 = 36, а саме
Приклад. З міста А в місто В веде 3 дороги, з В до С – 5 доріг. Скількома способами можна добратись з А в С через В? 3*5 = 15 способів.
Аналогічно для k дій. Якщо кожну з k дій можна виконати n1, n2, ..., nk способами відповідно, то всі ці k дій можна виконати n1*n2*…*nk способами.
Приклад. Скільки трьохцифрових чисел можна скласти з цифр 0, 2, 3, 1?
3*4*4 = 48.
Кількість розміщень з n елементів по k. Нехай є n різних елементів, вибираємо з них k елементів (0?k?n) і розміщуємо їх в певному порядку. Такі вибірки називаються розміщеннями. Їх кількість позначається Akn і обчислюється за формулою Akn = n!/(n-k)!
Приклад. Скількома способами можна зробити триколірний прапорець з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є 6 кольорів.
А36 = 6!/(6-3)! = 4*5*6 = 120.
Кількість перестановок з n елементів. Кількість перестановок з n елементів познач. Pn
Pn = Апn = n!/(n-n)! = n!
Приклад. Скількома способами можна скласти список з 8 учнів.
P8 = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320
Кількість комбінацій з n елементів по k. З n різних елементів вибирають k елементів (0?k?n), але порядок вибору не важливий. Такі вибірки називають комбінаціями з n елементів по k. Кількість комбінацій з n елементів по k позначають Ckn і обчислюють за формулою:Ckn = Akn/k! = (n!/(n-k)!)/k! = n!/((n-k)! k!)
(тому що з однієї комбінації можна утворити k! розміщень)
Приклад. Скількома способами можна вибрати делегацію три чоловіка з групи 15 чоловік? C315 = 15!/(12!3!)=13*14*15/ (1*2*3)=13*7*5.
Приклад. Скільки діагоналей є у n-кутнику?
C2n – n = n!/((n – 2)!2!) – n = (n – l) x n / 2– n = (n2 –3n) / 2.
Приклад. В лотереї 15 білетів, з них 5 виграшних. Закуплена партія з 4 білетів. Яка ймовірність, що серед них є 3 виграшні білети?
Р(А) = m/n,
n – скількома способами можна купити 4 білети,
m – скільки є способів, що серед куплених є 3 виграшні, тобто 3 виграшні і 1 програшний. n= С415 m=С35 * С110 Р(А) = С35 * С110 / С415 .
(Ймовірність в таких ситуаціях називають гіпергеометричною.)
Вправа. Дорахувати.
VІІ. В деяких випадках в досліді є нескінченна кількість рівноможливих шансів, тоді ймовірності деяких подій можна знаходити геометрично, як відношення довжин відрізків, площ чи об’ємів відповідних фігур: Р(А) = lA / l? = SA / S? = VA / V? .
Приклад. Поїзди метро їдуть в даному напрямку з інтервалом 1 хв. Яка ймовірність, що пасажиру прийдеться ждати більше 20 с? P = 40c / 60c=2/3.
Приклад. Площа проекції літака на площину, перпендикулярну до траєкторії снаряду 100 м2. Площа проекції вразливих місць 12 м2. Знайти ймовірність враження літака при попаданні в нього одного снаряду. Р = 12 м2 / 100 м2 = 3/25 = 12 %.
Домашнє завдання: Зубков. Гл.1:1,7-9,15,26,29,30,38,39,41,44,55,61-63,70,71,73-78.
Лекція 2. Формули для ймовірностей подій
План
1. Властивості ймовірностей
2.П’ята властивість відносних частот. Множення ймовірностей.
3.Незалежні і залежні події.
4.Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
5.Повторні випробовування і формула Бернуллі.
6.Наближені формули обчислення ймовірності k успіхів у n дослідах.
Домашнє завдання 085-116: 462-464,467,471,479,480,484,485,487,491,493,499,501,502,504, 510,512,528,534. Зубков. Гл.2: 1-3,7,8,15,18,24-28.
1. В деяких випадках ймовірність одних подій задана і потрібно знайти ймовірності інших.
Теорема 1. Р()=1-Р(А) S()=S(?)-S(A)=1-S(А)
?
Доведення. З малюнка: S()=S(?)-S(A)=1-S(А).
З аксіом ТЙ: +А=?-несумісні. Тоді за аксіомою 4
Р(А)+Р()=Р(?), тобто за аксіомою 2
Р(А)+Р()=1
Теорема 2. Р(А\В)=Р(А)-Р(А*В)
Доведення. Для площ виконується.
А=(А\В)+(А*В)-несумісні доданки, тоді за аксіомою Р(А)=Р(А\В)+Р(А*В).
Теорема 3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В) –формула для додавання
ймовірностей будь-яких подій.
Доведення. Для площ виконується.
А+В=(А\В)+В- несумісні, то Р(А+В)=Р(А\В)+Р(В)=(Теорема 3)=Р(А)-Р(А*В)+Р(В).
Приклад. Ймовірність високого врожаю озимої пшениці 0,7, а ячменю – 0,75. Ймовірність неврожаю і пшениці і ячменю одночасно дорівнює 0,2. Яка ймовірність високого врожаю і пшениці і ячменю? Яка ймовірність того, що вродить лише пшениця?
Позначимо
Я-високий врожай ячменю,
П-високий врожай пшениці.
Р(П)=0,7 Р(Я)=0,75 Р()=0,2 .
1)Р=(П*Я)-? 2)Р(П \Я)-?
1)Р(П+Я) = Р(П) + Р(Я) - Р(П*Я)
За правилами двоїстості і подвійного заперечення:
Р(П+Я) = Р()=1-0,2=0,8
0,8=0,7+0,75-Р(П*Я)
Р(П*Я)=0,65
2) Р(П\Я)=Р(П)-Р(П*Я)=0,7-0,65=0,05.
Відносні умовні частоти
В деяких випадках частоту чи ймовірність події треба визначати при додатковій умові, що вже відбулась якась інша подія. Щоб знайти відносну частоту події В при умові що відбулась подія А потрібно враховувати не всі досліди, а тільки ті з них, в яких відбулась подія А. Ця частота називається умовною частотою події В при умові А і позначається INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET .
П’ята властивість відносних частот
INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET (B) – формула множення відносних частот.
Доведення. Нехай провели n дослідів і m разів відбулась подія А та l разів відбулися А і В одночасно. Тоді
. Підставивши ці вирази у формулу множення частот переконуємося в її правильності.
Умовною ймовірністю події В відносно події А називають ймовірність події В, при умові, що подія А відбулася. Отже, до умов початкового досліду добавляють ще одну – настання події А.
Враховуючи п’яту властивість відносних частот маємо теорему множення ймовірностей:
Р(А*В)=Р(А)*РА(В)- формула множення ймовірностей.
( Р(А*В)=Р(В)*РВ(А) )
РА(В)=з – це формула для умовної ймовірності.
Із цієї формули слідує, що умовні ймовірності подій відносно однієї і тієї ж події А
(Р(А)?0) задовольняють аксіоми 1-4 і тому всі формули теорії ймовірностей справедливі і для умовних ймовірностей. Наприклад
РА()=1-РА(В)
РС(А+В)=РС(А)+РС(В)-РС(А*В)
РA(ВC)=РA(B) РAB(C)
З правила множення ймовірностей легко отримати формулу для n подій
Р(А1*А2*…*Аn)=Р(А1)*РА1(А2*А3*…Аn)=Р(А1)*РА1(А2)*РА1*А2(А3*…Аn)=
=Р(А1)*РА1(А2)* РА1*А2(А3)* *РА1*А2*А3(А4)*…РА1*А2…An-1(Аn)
Приклад. У ящику 16 куль: 5 білих, 7 чорних і 4 червоних. Знайти ймовірність того що серед вийнятих чотирьох куль перша біла, друга чорна і дві останні червоні?
Позначимо
А1 -- I біла
А2 -- II чорна
А3 -- Ш червона
А4 -- IV червона
Р(А1А2А3А4)=Р(А1)*РА1(А2)*РА1А2(А3)* РА1А2А3(А4)=5/16*7/15*4/14*3/13=1/52.
Залежні і незалежні події
Дві події називаються незалежними , якщо поява однієї з них не змінює ймовірності другої події: PВ(А)=Р(А).
Властивість: PВ(А)=Р(А)?0 => РА(В)=Р(В)
Доведення. Р(А*В)=Р(А)*РА(В)= Р(В)* PВ(А)= P(В)* Р(А)
РА(В)= Р(В)-незалежні
Приклад. А, В – незалежні. Чи будуть незалежними і В?
PВ()=1-PВ(А)=1-Р(А)=Р().
Дві події називаються залежними, якщо поява однієї з них впливає на ймовірність другої . РВ(А)?Р(А)-залежні
Приклад. Чи залежні несумісні події з ненульовими ймовірностями?
Так, бо Р(А) не рівна нулю, а PВ(А)=0.
Р(А*В)=Р(А)*Р(В) – формула множення для незалежних подій
Цю формулу часто вважають означенням незалежних подій, тому що вона еквівалентна формулі PВ(А)=Р(А).
Події А1,А2…,Аn називаються незалежними в сукупності, якщо кожна з них не залежить від кожної з інших і від всіх можливих їх добутків.
Події причинно незалежні є також незалежними в сукупності.
Р(А1А2…Аn)=Р(А1)Р(А2)...Р(Аn) – формула множення для незалежних подій в сукупності.
Приклад (на незалежні події). Ймовірність отримання замовлення від першого клієнта 0,8, від другого – 0,7, від третього – 0,6. Клієнти роблять замовлення незалежно один від одного. Знайти ймовірність таких подій: 1) замовлення від усіх клієнтів, 2) жодного замовлення, 3) хоча б одне замовлення, 4) не менше двох замовлень.
Позначимо
А1 -- буде замовлення від першого клієнта, Р(А1)=0,8,
А2 -- від другого клієнта, Р(А2)=0,7,
А3 -- від третього клієнта, Р(А3)=0,6
1.Р(А1* А2* А3)(незалежні)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)=0,8*0,7*0,6=0,336
2.Р()(незалежні)=0,2*0,3*0,4=0,024, бо
Р()=1-Р(А1)=1-0,8=0,2 і т.д.
3. А1+ А2+ А3
Якщо розписувати через несумісні випадки, то буде 7 випадків. Перейдемо до протилежної події – жодного замовлення.
Р(А)=1-Р()
Р(А1+ А2+А3)=1-0,024=0,976
4.Р(А1А2+ А1А3+ А2А3+ А1А2А3)(несумісні доданки)=
=Р(А1А2)+ Р(А1А3)+Р(А2А3)+ Р(А1А2А3)=0,8*0,7*0,4+0,8*0,3*0,6+0,2*0,7*0,6+0,336=0,788.
Формула повної ймовірності і формула Байєса
Нехай з даним дослідом пов’язана повна група несумісних подій Н1,...,Нn. Їх ще називають гіпотезами. Їхні ймовірності відомі: Р(Н1), Р(Н2),…, Р(Нn). В цьому досліді розглядається подія А, для якої відомі умовні ймовірності при кожній з гіпотез, тобто
РН1(А),..., РНn(А). Потрібно знайти ймовірність події А (кажуть повну ймовірність події А):
Р(А)-?
Н1+…+Нn=?
А* ?=А
А(Н1+…+Нn)=А
А=А Н1+А Н2+….+А Нn- доданки несумісні, бо Н1,..., Нn-несумісні.
Р(А)=Р(А Н1)+ Р(А Н2)+…+Р(А Нn)=Р(Н1)РН1(А)+ Р(Н2)РН2(А)+…+Р(Нn)РНn(А)
Р(А)=Р(Н1)РН1(А)+ Р(Н2)РН2(А)+…+ Р(Нn)Рнn(А) – формула повної ймовірності.
Приклад. У складальний цех надходять деталі: 40%-з першого верстату, 35%-з другого верстату, 25%-з третього верстату. Ймовірність виготовлення бракованої деталі І-им верстатом дорівнює 0,03, ІІ-0,02, ІІІ-0,04. Скільки відсотків бракованих деталей у складальному цеху?
Позначимо
Н1 -- деталь з першого верстату,
Н2 -- з другого верстату,
Н3 -- з третього верстату.
Н1,Н2,Н3 утворюють повну групу несумісних подій, їх вважатимемо гіпотезами.
Р(Н1)=0,4 Р(Н2)=0,35 Р(Н3)=0,25
А – вибрали браковану деталь. Р(А)-?
РН1(А)=0,03 РН2(А)=0,02 РН3(А)=0,04.
Р(А)= Р(Н1)* РН1(А)+ Р(Н2)* РН2(А)+ Р(Н3)* РН3(А)= =0,4*0,03+0,35*0,02+0,25*0,04= =0,012+0,007+0,100=0,029.
В тій ж ситуації (як у формулі повної ймовірності) відомо, що після проведення досліду сталась подія А. Знайти ймовірність конкретної гіпотези Нк, тобто знайти РА(Нк).
Р(А*Нк)=Р(А)*РА(Нк)=Р(Нк)*РНк(А)
РА(Нк) = , але Р(А) можна знайти за формулою повної ймовірності.
РА(Нк)= - формула Байєса
(рахує ймовірність гіпотези Нк при умові, що сталась подія А)
Продовження прикладу. При отриманні бракованої деталі знайти ймовірність, що вона з ІІІ верстату.
РА(Н3)=Р(Н3)*РНз(А)/Р(А)=0,25*0,04/0,029=0,01/0,029=10/29=0,34.
Приклад. Ймовірність того, що виріб задовольняє стандарт 0,9. Пропонується спрощена система перевірки виробу, яка дає позитивний результат з ймовірністю 0,98 для стандартних виробів та з ймовірністю 0,01 для нестандартних. Яка ймовірність того, що виріб, який пройшов перевірку, є нестандартним? Яка ймовірність того, що виріб, який не пройшов перевірку є стандартним?
Позначимо
С – виріб стандартний
– нестандартний
А – виріб пройшов перевірку
Р(С)=0,9
Р()=1-0,9=0,1
С і утворюють повну групу несумісних подій
Рс(А)=0,98
=0,01
1) РА() -? 2)-?
1) РА()= Р() (А)/(Р(С) РС(А)+Р()(А))=
= 0,1*0,01/(0,9*0,98+0,1*0,01)=1/833=0,0012
Дом. завдання.
Домашнє завдання: Зубков, Гл. 2: 46-48,54,60,63,68,69,71.
Повторні випробування і формула Бернуллі
Нехай проводиться n незалежних однакових дослідів – повторні випробування. В кожному з них спостерігається одна і та ж подія А. Відома ймовірність події А в одному досліді. Треба знайти ймовірність того, що подія А появиться рівно k разів в цих n дослідах (0? k ? n). Ця ймовірність позначається Рn(k).
Рn(k) -?
Приклад. n =6, k=2. Позначимо
А1 -- в І-му досліді відбулась подія А,
А2 -- в ІІ-му, ...
А6 -- в VІ-му.
Р6(2)=Р(А1А2)+Р(А4А5)+…=С62 p2 q4
Pn(к)=Ckn pk q n - k – формула Бернуллі (q=1-p – ймовірність протилежної події).
Приклад. Знайдемо ймовірність того, що при чотирьох киданнях монети буде рівно два герби.
n=4 р=1/2= 0,5 к=2
Р4(2)=С24 р2 q 4-2 =4!/((4-2)! 2!) (1/2)2 (1-1/2)2=6*1/4*1/4=3/8.
Зауваження. Формулу Бернуллі можна використовувати, якщо треба знайти ймовірність того, що з n незалежних подій А1,А2 ,..., Аn з однаковими ймовірностями р станеться рівно k подій.
Приклад . Чотири машини незалежно одна від одної привозять пісок на будмайданчик з однаковими ймовірностями 0,6. Знайти ймовірність того, що пісок привезуть а) рівно 3 машини, б) не менше трьох машин.
Позначимо
А1 – І машина привезе пісок
А2 – IІ машина привезе пісок
А3 – ІІІ машина привезе пісок
А4 – IV машина привезе пісок
А1, А2 , А3 , A4 -- незалежні події
Р(А1)=…=Р(А4)=0,6
1) к=3, n=4, р=0,6, q=1-0,6=0,4
Р4(3)=С34 р3 q1=4*0,63*0,4=0,3456
С34=4!/((4-3)!3!)=4/1!=4
2) 3 або 4 (несумісні події)
Р4(3)+Р4(4)
Р4(4)=С44 р4 q0=1*0,64*0,40=0,1296
Р=0,3456+0,1296=0,4752.
Наближені формули до формули Бернуллі
1.Фомула Пуассона
Якщо n-дуже велике, k-мале порівняно з n, р теж дуже мале, тоді справедлива формула Пуассона:
Рn(к)? , де =n*p
Відносна похибка цієї формули ?(n p2+k2/n)/2, якщо pk<1.
Зауваження. Якщо ймовірність події А дуже близька до 1 (р?1), а k?n, то можна використовувати формулу Пуассона, замінивши А на , р на q, k на (n-k).
Приклад. Нехай 99,9% виробів якісні. Яка ймовірність того, що серед 1000 виробів буде 995 якісних?
Р1000(995) -- ? Це все одно, що 5 бракованих виробів. Так і порахуємо. Р1000(5) -- ?
n=1000 – велике
р=0,001 – мале
q = 1-р=0,999
k=5 – мале порівняно з n
?(103*(10-3)2+25/1000)/2=13/1000=0,013=13% – похибка мала
= n р=1000*0,001=1; е?2,72
Р1000(5)=15/5!* е-1=1/(120*2,72)=0,0031.
Оскільки ?13%, то третя значуща цифра ненадійна і ми її не пишемо.
2. Локальна формула Лапласа
Коли п –дуже велике, а пр INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET . Тоді Рn(k) ?, де
, INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET .
Складені таблиці значень функції .
Якщо INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET , то відносна похибка формули INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET .
3. Інтегральна формула Лапласа
Позначимо Рn(k1,k2) ймовірність того, що подія А станеться в n випробуваннях k разів, де k1?k?k2. Тоді Рn(k1, k2)? Ф(х2) – Ф(х1)
Ця формула використовується, коли np близьке до k1 і k2 .
INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET ,
– функція Лапласа, таблична.
В таблицях є значення тільки для додатних х. Тому треба пам’ятати, що функція Лапласа непарна Ф(- х)= - Ф(х).
Зауваження. Якщо , то обчислюють , де . Тоді при відносна похибка інтегральної формули .
Приклад . Знайти ймовірність появи події рівно 20 разів у 100 дослідах, якщо ймовірність події в одному досліді 0,2.
Локальна формула: n=100, р=0,2, k=20, q =0,8.
nр=20= k -- дуже добре для формули Лапласа
= =4 =0
INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET =1%
Р100(20) ? INCLUDEPICTURE "%20" \* MERGEFORMATINET =? 0,1.