Розділ 4. ЕЛЕМЕНТИ ГІДРОДИНАМІКИ
4.1. Основні поняття гідродинаміки
Гідродинаміка вивчає рух нестисливих рідин і їх взаємодію з твердими тілами. Основними поняттями гідродинаміки є:
Течія ( сукупність частинок рухомої рідини.
Лінії течії – лінії, дотичні до яких у кожній точці
співпадають за напрямом з векторами
швидкостей частинок рідини, а густина
проведення ліній течії (відношення числа
ліній N до величини перпендикулярної
до них площі S, через яку вони
проходять) пропорційна величині швид-
кості у даній точці.
Стаціонарна течія ( течія, для якої форма і розміщення
ліній течії, а також значення швид-
кості у кожній точці незмінне в
часі. У випадку стаціонарних течій лінії
течії співпадають з траекторіями части-
нок рухомої рідини.
Трубка течії ( поверхня, утворена лініями течії,
проведеними через усі точки малого
замкненого контура.
Струмінь ( частина рідини, обмежена трубкою
течії.
Ідеальна рідина – рідина, в якій повністю відсутнє
внутрішнє тертя.
4.2. Рівняння нерозривності струменя (потоку)
Розглянемо ділянку елементарного струменя, обмеженого двома довільно вибраними нормальними перерізами, площі яких дорівнюють S1 та S2, а швидкості рідини відповідно - v1 та v2 .
S2
S2

v1

v2
Рис.4.1
Якщо течія рідини стаціонарна, то маса рідини густиною , що міститься між цими перерізами, не залежить від часу. Отже маса рідини m = v1S1 , яка надходить за одиницю часу в цей об’єм через перший переріз, повинна дорівнювати масі рідини
m = v2S2, яка витікає з виділеного об’єму за той самий час через другий переріз :
v1S1 = v2S2 . (4.1)
У випадку нестисливої рідини (= const ) рівняння (1) набуває вигляду
v1S1 = v2S2. (4.2)
Оскільки перерізи S1 та S2 вибрані довільно, то
vS = const. (4.3)
Рівність (4.3) є виразом теореми про нерозривність струменя (потоку) :
Маса рідини, що проходить за одиницю часу через кожний поперечний переріз трубки течії, для всіх перерізів однакова.
4.3. Рівняння Бернуллі
Стаціонарний рух ідеальної нестисливої рідини в полі сил тяжіння описує рівняння Бернуллі.


L1


S1 L2

p1 S1І
S2
S2І

v1 v2

h1 p2
h2
Рис.4.2

Його отримують, застосувавши до руху рідини в тонкій трубці течії закон збереження енерґії. Нехай у місці перерізу S1 швидкість течії v1, тиск p1 і висота , на якій є цей переріз, h1 . Аналогічно у місці перерізу S2 швидкість течії v2, тиск p2 і висота перерізу h2. За малий проміжок часу t рідина переміщується від перерізів S1 і S2 до перерізів S1І і S2І.
Згідно з законом збереження механічної енерґії, зміна повної енерґії Е2 ( Е1 ідеальної нестисливої рідини повинна дорівнювати роботі А зовнішніх сил :
Е2 ( Е1 = А, (4.4)
де Е1 і Е2 ( повні енерґії рідини масою m у об‘ємах, обмежених перерізами S1(S2 і S1І(S2І відповідно.
З іншого боку, А ( це робота, яка виконується під час переміщення всієї рідини , розташованої між перерізами S1 і S2 за малий проміжок часу t. Для перенесення маси m від S1 до S1І рідина повинна переміститися на відстань L1 = v1t і від S2 до S2І - на відстань L2 = v2t . Зауважимо, що L1 і L2 настільки малі , що всі точки виділених об’ємів мають сталі значення швидкості v, тиску p і висоти h . Отже,
A = F1L1 + F2L2, (4.5)
де F1 і F2 сили тиску, що діють на рідину в місцях перерізів S1 і S2
F1 = p1S1 , (4.6)
F2 = – p2S2 . (4.7)
Сила F2 від’ємна, оскільки напрям її дії протилежний до напряму
руху рідини.
Отже: A = p1S1L1 – p2S2L2 . (4.8)
Повні енерґії Е1 і Е2 складаються з кінетичної та потенціальної енерґії маси m рідини:
E1 = mv+mgh1 ; (4.9)
E2 = mv+mgh2 . (4.10)
Підставивши вирази (4.9), (4.10), (4.8) у формулу (4.4), та врахувавши вирази для L1 і L2 , отримаємо
mv+mgh1+p1S1v1t = mv+mgh2+p2S2v2t. (4.11)
Згідно з рівнянням нерозривності струменя (4.3) об’єм рідини залишається сталим , тобто
V = S1v1t = S2v2t. (4.12)
Розділивши вираз (4.11) на V і врахувавши, що перерізи вибрані довільно, отримаємо рівняння Бернуллі
+ + p = const, (4.13)
де ( густина рідини.
Рівняння Бернуллі стверджує , що:
Для стаціонарної течії ідеальної нестисливої рідини сума динамічного , гідростатичного і статичного тисків залишається сталою вздовж довільної лінії течії.
Якщо трубка течії горизонтальна, то h = const і вираз (4.13) набуде вигляду:
+ p = const , (4.14)

тобто тиск виявляється більшим у тих місцях, де швидкість течії менша. Отже при протіканні рідини по трубі змінного перерізу згідно з (4.14) і рівнянням нерозривності струменя ( 4.3 ) тиск, а значить і ймовірність розриву труби, вищі в місцях більшого діаметру труби.