Лекція № 20
План
Функція верхньої межі інтеграла. Теорема про неї.
Наслідки з цієї теореми і формула Ньютона Лейбніца.
Заміна змінної у визначеному інтегралі.
Застосування визначених інтегралів.
А) Знаходження площі.
Б) Довжина кривої.
В) Об’єми тіл.
Г) План застосування визначених інтегралів до прикладних і економічних задач.
Д) Площа поверхні обертання.
6) Невласні інтеграли І роду.
7) Невласні інтеграли ІІ роду.
Нехай f(х) інтегрована відрізку [a;b]( f(х)0) і точка х є [a;b]. Розглянемо інтеграл із змінною верхньою межею:
Sx=Ф(х)= а?х f(x)dx= а?х f(t)dt,
тобто Ф(х) – це площа криволінійної трапеції на відрізку від а до х.
Ф(х) називається функцією верхньої межі інтеграла.
Теорема: Якщо f неперервна на відрізку[a;b] , то функція Ф(х) є первісною для f(х) на [a;b], тобто: Ф'(x)=f(x), або (а?хf(t)dt) 'х= f(x)
Доведення: Ф'(x)= ?Ф/?x,
?Ф=Ф(х+?х)-Ф(х)= а?х+?хf(t)dt- а?хf(t)dt= х?х+?хf(t)dt=f(c)* ?x,
c є (x; x+?x) (за властивістю 6 визн. інт. про середнє значення).
Тоді Ф'(x)= f(c)?х/?х=f(x).
Зауваження. Для інтегрованої (не обов’язково непер.) на відрізку [a;b] функції маємо ?Ф= х?х+?хf(t)dt – площа під обмеженою кривою на відрізку [x; x+?x]., отже, для інтегрованої функції функція верхньої межі інтеграла Ф(х) є неперервною функцією.
Наслідки:1. З теореми випливає, що будь-яка неперервна функція має первісну.
2.Справедлива формула: (а?хf(t)dt) 'х= f(x).
3.d(а?хf(t)dt)= f(x)dx
4.(х?bf(t)dt) 'х=(-а?хf(t)dt) 'х = -f(x)
5.(u(x)?v(x)f(t)dt) 'х = f(v(x))*v'-f(u(x))*u' -- формула Лейбніца.
6.Формула Ньютона-Лейбніца. Якщо F(x) будь-яка первісна f(x) на [a;b] і існує інтеграл на [a;b], то а?b f(x)dx = F(x)a|b = F(b)-F(a).
Доведення 1: (оскільки, проміжні точки можна вибирати будь-які, то можна вибрати їх так, щоб за теоремою Лагранжа було , де -- приріст первісної на проміжку ) = - приріст первісної на відрізку [a;b].
Доведення 2 (для неперервної функції). а?b f(x)dx=Ф(b)=Ф(b)-Ф(а), бо Ф(а)=0, оскільки а?а f(x)dx=0.
Ф(х) – первісна для f(x) і F(x) – також первісна для f(x). З властивості первісних
Ф(х) =F(x)+с, де с – деяка стала. Тоді а?b f(x)dx=Ф(b)-Ф(а)= F(b)+с-( F(а)+с)= F(b)-F(a).
Приклад: 0?1(х2-х+1)dx =(f непер. на R,то непер. і інтегрована на [0;1])==x3/3|01 – х2/2|01 +х|01=(1/3-0)-
– (1/2-0) + (1-0)= -1/6+1=5/6.
Заміна змінної у визначеному інтегралі.
Приклад. =
При заміні змінної у визначеному інтегралі можна не вертатись до старої змінної х, а підставити перераховані межі для змінної t.
Доведення.
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
а?budv=uv a|b – а?bvdu (u, v – диференційовані функції на [a;b]).
Приклад. 0??/2 xcosx dx= |ОДЗ: х ЄR, неперервна і інтегрована на [0; ?/2]
|I тип, u=x, dv=cosxdx, du=dx, v=? cosxdx=sinx| = xsinx|0 ?/2- 0??/2sinxdx=?/2*1– 0+cosx|0 ?/2= =?/2-1,
?/2-1>0. (Цього і слід було очікувати, бо cosx невід’ємний на [0, ?/2].)
Застосування визначеного інтегралу. Знаходження площ.

A)S= а?b f(x)dx. Б) S= а?b(g(x)-f(x))dx
В) Крива задана параметрично ? :
t Є [t1;t2]
S= а?bydx=== - ця формула справедлива навіть тоді, коли крива замкнута.
Приклад: 3найти площу еліпса: . Параметричні рівняння еліпса:t Є [0;2?].
Через симетрію, можна шукати площу тільки четвертини еліпса, розташованої в першому квадранті.
S=4S1=40?аydx==4= 4ab 0??/2 sin2tdt=4ab=4(t-
- sin2t)= =*?/2=?ab – S еліпса
Довжина кривої
Означення: Довжина дуги АВ – це границя довжини вписаної ламаної М1М2М3 …Мn з
вершинами на дузі, якщо довжина найбільшої ланки нескінченно
наближається до нуля.
Теорема: Якщо похідна функції f '(x) неперервна на [a;b], то довжина дуги графіка функції на відрізку [a,b] : L=.
Доведення. Виберемо розбиття на відрізку [a;b], тоді крива
також розіб'ється на куски, позначимо ці точки М1, М2,
М3,…,Мn. Позначимо прирости функції ?у1, ?у2 ,…, ?уn , що
відповідають приростам аргументів ?x1, ?x2 ,…, ?xn. Довжина першої ланки М1М2 ламаної : .
Просумуємо всі ланки, отримаємо довжину ламаної М1М2М3 …Мn . Перейдемо до границі, коли діаметр розбиття прямує до нуля, отримаємо довжину графіка функції:
L=.
Якщо крива задана параметрично , то L=.
Об’єми тіл
Нехай деяке тіло розміщене вздовж осі Ох, х Є [a;b]. Для х із [a;b] відома площа поперечного перерізу тіла S(х) – інтегрована функція на [a;b], тоді об’єм тіла можна обчислити за формулою: V=.
Доведення. Вибираємо розбиття відрізка [a;b] і проміжні точки с1,с2,…сn. Об’єм циліндра з площею основи S(сі) і висотою ?xі дорівнює S(сі)?xі , інтегральна сума: .
Тоді V= .
Об’єм тіла обертання
f(x) інтегрована функція на [a;b], f(x) 0, xЄ [a;b]. Криволінійна трапеція, обмежена прямими х=а, х=b, y=0, та кривою y=f(x) обертається навколо осі Ох.
Знайдемо об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції навколо осі Ох. Поперечні перерізи в точках х – це круги, з радіусами r =f(x). Площа перерізу S(x)=S(круга)=? f 2(x).
Тоді обєм тіла V=.
Аналогічно можна розв’язувати прикладні, фізичні задачі на знаходження маси кривої, статистичних моментів, роботи сили і т. д. та економічні задачі.
План.
Вводимо вісь Ох.
Розбиваємо відрізок [a;b] на проміжки і вибираємо проміжні точки.
Знаходимо потрібну величину на кожному з проміжків.
Сумуємо по проміжках і переходимо до границі , отримуємо визначений інтеграл.